慧雅數(shù)學(xué)理念下思維導(dǎo)圖的應(yīng)用讓學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)更豐厚

羅銳

摘 要：慧雅數(shù)學(xué)教學(xué)追求慧的方法和雅的品質(zhì)，思維導(dǎo)圖是慧雅數(shù)學(xué)教學(xué)的一個有效手段。思維導(dǎo)圖是學(xué)生學(xué)習(xí)直觀化重要形式，它能幫助學(xué)生整理知識、疏通思路、鏈接方法、打通知識界限，形成完整的結(jié)識結(jié)構(gòu)、方法體系、思維策略，智慧的運用數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：思維導(dǎo)圖;總復(fù)習(xí);認知全面;思維靈動;數(shù)學(xué)素養(yǎng)豐厚

六年級總復(fù)習(xí)教材中安排一課時的復(fù)習(xí)容量太大，一節(jié)課是很難讓學(xué)生復(fù)習(xí)透徹的，課前指導(dǎo)學(xué)生用思維導(dǎo)圖來整理復(fù)習(xí)，從學(xué)習(xí)內(nèi)容上說從記憶中提取出有關(guān)知識的形態(tài)與意義;從學(xué)習(xí)時空上來說打通課堂內(nèi)外以往的閑環(huán)斷層，形成順暢的連貫式學(xué)習(xí);從學(xué)生的學(xué)情上來看，讓學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)有準備、有目標、有自信，更有相互間的啟迪，教師的教從學(xué)生的課前學(xué)習(xí)成果為起點，在分享與辨別中引領(lǐng)學(xué)生知識不斷深化、能力不斷升華。課堂教學(xué)組織形式是：課前：回憶整理—繪制思維導(dǎo)圖。課內(nèi)：老師瀏覽學(xué)生思維導(dǎo)圖，選擇代表性成果—同學(xué)間的交流—優(yōu)秀成果的分享—評析欣賞再認識—老師總結(jié)豐富再建構(gòu)—題目練習(xí)解釋技能再提高。課后：整理典型數(shù)學(xué)題目—同學(xué)間交互式解答—數(shù)學(xué)能力再提升。

小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課一般有“整理復(fù)習(xí)、題型復(fù)習(xí)和方法復(fù)習(xí)”三種形式，一般時可根據(jù)某一主題內(nèi)容采用融合在一起作為課堂上三種教學(xué)版塊進行，有些重點和難點可以進行專項復(fù)習(xí)。

復(fù)習(xí)課不是學(xué)過知識的簡單重復(fù)和機械的刷題，復(fù)習(xí)課目的在于一個“新”字——“溫故而知新”，要有新認識、新視野、新思維，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新穎而有新意。筆者和同事從“知、識、解、思、歸”五個層面結(jié)合思維導(dǎo)圖引導(dǎo)學(xué)生進行六年級數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的自主嘗試探索。

一、“知”：數(shù)學(xué)的“點”“線”“面”“體”——有學(xué)識

通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光看世界，這是學(xué)習(xí)者有學(xué)識的表現(xiàn)，小學(xué)數(shù)學(xué)四個領(lǐng)域的知識是分散在12冊教材，用12個學(xué)期分段學(xué)習(xí)的，每一個知識點和能力是“螺旋式上升”的，在六年級的總復(fù)習(xí)中首先要聚焦于“知”——把散落在課本中的點點知識珍珠串成線、把條條知識珍珠鏈編織成網(wǎng)，構(gòu)架成知識晶體。讓學(xué)生的數(shù)學(xué)認知有“新意義、新結(jié)構(gòu)”，我們從“理解”和“架構(gòu)”兩個維度引導(dǎo)學(xué)生進行“知識源頭的追溯”、“知識意義的回憶”、“把分散知識聯(lián)系串成線織成網(wǎng)”、“把相關(guān)知識模塊構(gòu)造成框架”，成為有學(xué)識的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者。

如《平面圖形的復(fù)習(xí)一》：①追溯知識之源。一上課老師提出一個問題：“平面上最簡單的圖形是（ ）”，有的學(xué)生說長方形、有的學(xué)生說正方形，有的說四邊形;又有一個學(xué)生說線段，這時老師插話“嗯！從面想到了線啦！”，一語點醒夢中人，立即有學(xué)生說“老師，我認為是點”。②串連和架構(gòu)。于是老師從點出發(fā)，課件演示點“動”成“直的和彎曲”的兩種線;并演示三種直的線，接著演示線圍成面，還向?qū)W生說明，這些平面圖形可以說是由許多點構(gòu)成的;最后演示面圍成體。③意義的再認識。給你一點你能畫出哪些線？由這個問題引發(fā)出“線段、射線、直線”、“垂線、平行線”、“角”的直線圖與特征、意義、分類等整體知識有序的問題引導(dǎo)讓學(xué)生獲得知識專題式模塊。

二、“識”：數(shù)學(xué)的“上下”“前后”“左右”“內(nèi)外”——有見識

數(shù)學(xué)的眼光看世界，不只是看一個點、一條線、一個面和一個體，應(yīng)該讓學(xué)生的復(fù)習(xí)著力于“識”字上，看到數(shù)學(xué)的“上下、前后、左右、內(nèi)外”，建立數(shù)學(xué)的新關(guān)系、轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)的新視角，從“識別”和“見識”兩個維度，通過“用‘前基’知識夯實‘后升’知識”、“用‘后升’知識賦新‘前基’知識”、“不同視角審視新舊知識”、“同一視角比對不同知識”，開拓學(xué)生的視野，成為有見識的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者。

如《平面圖形的周長和面積復(fù)習(xí)二》，①按類別重新整理知識。課前讓學(xué)生把相關(guān)知識做成思維導(dǎo)圖，在課前投放讓大家欣賞;②前后知識的相互對接：上課時提問：你是從哪些方面復(fù)習(xí)周長和面積的？讓學(xué)生互補回答出重點內(nèi)容：周長和面積的意義、計算公式，公式的推導(dǎo)過程，單位進率，典型題的應(yīng)用。然后把優(yōu)選出學(xué)生的思維導(dǎo)圖進行分享，讓大家汲取收獲。其中有學(xué)生提供給大家新的認識內(nèi)容：半圓和扇形的周長與面積（都是圓的一部分——圓的幾分之幾）③同一視角看數(shù)學(xué)：練習(xí)時注意思維的提升與問題解決策略的融合（一個梯形如果上底減少4厘米，就變成一個三角形，面積比原來少8平方厘米;如果上底增加4厘米，就變成平行四邊形，求原來梯形的面積。）④不同視角看問題：圓中方，方中圓是五年級學(xué)習(xí)的內(nèi)容，受當時知識的局限，它們的關(guān)系學(xué)生理解得并不深刻了，有個學(xué)生在介紹自己復(fù)習(xí)時指出可以用比來表達圓與方的關(guān)系。

小學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域的知識始于“加、減、乘、除”四則運算的意義。我把它們稱為前基知識。它是學(xué)習(xí)更高層次后升知識的本源和基石?！坝们盎R 后升知識、 用后升知識賦新前基知識”的主線是“意義”和關(guān)系。以乘除法在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位與價值為例，筆者一直認為：二年級是關(guān)鍵：關(guān)鍵在乘除法意義的深刻理解和本質(zhì)認識，不是乘法口訣的死記硬背。三年級為什么分化——沒有基于二年級的基礎(chǔ)，用生長與發(fā)展的數(shù)學(xué)眼光看待教學(xué)內(nèi)容。解決分化的關(guān)鍵在于——從三年級開始的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)著力引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)“關(guān)系的鏈接”與“模型的建構(gòu)”。

以上表為例，乘除法意義是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要主線之一，其中乘法的意義和意義模式“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”核心，乘除法關(guān)系、乘除法各部分之間的關(guān)系是重要的鏈接，它們撐起以后眾多涉及乘除法知識的學(xué)習(xí)，比如求一個數(shù)的倍幾倍是多少，就是求幾個幾、比如速度、時間和路程，速度就是每份數(shù)、時間就是份數(shù)、路程就是總數(shù)，在學(xué)習(xí)“螺旋式上升”后升知識時要借用前基知識理解，并用后升知識深度體悟前基知識以達到深度掌握數(shù)學(xué)知識。

知識點與思維方法的鏈接與融合——“不同視角審視新舊知識”、“同一視角比對不同知識”，是培養(yǎng)學(xué)生把多種知識當作問題解決的策略與方法，從多個角度分析研究問題，體現(xiàn)知與識在復(fù)習(xí)時的一體化和多元性。如：“這是一張長寬是整厘米數(shù)的長方形紙按一定比例的縮小圖，從這張長方形紙上剪下一個最大正方形折玩具，剩下的長方形紙的面積是36平方厘米。求原來長方形的面積?！边@一題從表面信息看涉及“整數(shù)、長方形、放大與縮小、圖形長寬比例”等知識。我們再來看看它的分析解答方法：

從長方形認識想起：長方形長用字母a表示，寬用字母b表示，按題意作圖2，剩下部分用陰影標注，依據(jù)它的面積是36平方厘米，可以列出等式，結(jié)合相關(guān)條件信息從找36的因數(shù)中尋找答案：

看似每一組數(shù)據(jù)都符合36平方厘米的要求，實際題目信息中還有一句“按一定比例的縮小圖”，結(jié)合直觀圖長寬比較為符合要求的長是15厘米、寬是12厘米。

這樣的分析研究引導(dǎo)學(xué)生從多個視角分析問題——涉及的策略方法有畫圖、假設(shè)、一一列舉;用到的知識還有用字母表示數(shù)與式、面積公式、找一個數(shù)的因數(shù)、圖形的縮小、比例，而這些知識在這里不只是一個靜態(tài)的知識而是一種研究數(shù)學(xué)問題的方法、一種思維的工具，涉及到的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有直觀想象、數(shù)感、符號感、數(shù)據(jù)分析能力等。

三、數(shù)學(xué)的價值應(yīng)用——有見解

學(xué)有用的數(shù)學(xué)、學(xué)有價值的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)是我們生活和學(xué)習(xí)的工具，再生活和其它學(xué)習(xí)中有重要的作用，復(fù)習(xí)時我們要從“解”的視點，從“解析”和“解題”兩個維度，讓學(xué)生從新的視角解讀數(shù)學(xué)知識、從新的方法分析研究數(shù)學(xué)，讓學(xué)生在“用數(shù)學(xué)再解釋數(shù)學(xué)現(xiàn)象”“用數(shù)學(xué)視角再探尋數(shù)學(xué)規(guī)律”“用數(shù)學(xué)方法解決典型數(shù)學(xué)問題”“數(shù)學(xué)問題解決的一元與多元”四個教學(xué)策略中成為有見解的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者。

如：《解決問題的策略復(fù)習(xí)》，①數(shù)學(xué)意義解釋數(shù)學(xué)現(xiàn)象：回顧小學(xué)學(xué)習(xí)的解決問題的策略有哪些？學(xué)生找出“從條件想起、從問題想起、列表、畫圖、轉(zhuǎn)化”等策略名稱后，逐一追問：你認為什么是……？②數(shù)學(xué)視角探尋數(shù)學(xué)現(xiàn)象：課前讓學(xué)生先找出適合每一策略的題目類型有哪些？③數(shù)學(xué)方法解決典型問題：每一個策略都選用學(xué)生例舉的題目，讓大家分析解答，老師則適時點化讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)問題解決的結(jié)構(gòu)模型。④數(shù)學(xué)問題解答的一元與多元：就是可以用一種策略方法解決多種問題或用多種方法解決同一個問題上。學(xué)生在列舉策略運用時幾乎都說到“從條件想起和從問題想起適合所有題目”，老師還引導(dǎo)學(xué)生歸納出從條件想起是“能求出什么問題？”“從問題想起是需要求什么問題”。平時可以從看條件提問題和看問題想條件進行訓(xùn)練。這從認識論和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度來說是完全正確的，從條件出發(fā)——綜合法，從問題出發(fā)——分析法，是邏輯思維的基本方法，是每一個人應(yīng)該具備的基本素養(yǎng);而能用多種策略解決問題，讓問題分析解決從一元向多元發(fā)展，這才是有見解的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

再如：在指導(dǎo)學(xué)生解決教材80頁的思考題：“有兩支蠟燭，當?shù)谝恢既ィ诙既r，剩下的部分一樣長。這兩支蠟燭原來長度的比是幾比幾？”

學(xué)法一：一位老師是這樣引思與縱深拓展的。

根據(jù)題意可以列出乘法等式：第一支×（1-）=第二支×（1-）

根據(jù)比例的基本性質(zhì)就能求出它們的比了。

第一支：第二支=（1-）：（1-）=5：3

學(xué)生在分數(shù)乘法意義、比例基本性質(zhì)、求兩個數(shù)的比這三個相關(guān)聯(lián)的知識維度很容易理解和解決，而為了讓學(xué)生的數(shù)學(xué)視野更開闊、見解更深刻。老師又將原題向內(nèi)進行一深度的拓展，讓學(xué)生的思維再向前走一步。

有兩支蠟燭，當?shù)谝恢既?，第二支燃去時，剩下的部分一樣長。原來第一支比第二支長8厘米，原來各長多少厘米？

學(xué)法二：另一位老師除了用上一方法引導(dǎo)學(xué)生理解，還這樣多元引導(dǎo)與拓展的。

第一種：用分數(shù)乘除法意義理解：“當?shù)谝恢既?，第二支燃去時，剩下的部分一樣長?！笨梢缘玫健暗谝恢У?第二支的，用假設(shè)的方法把乙當作1，條件就轉(zhuǎn)化成第一支的=1的，這樣就求出第一支是第二支的幾分之幾：÷=，也就是5：3?！?/p>

第二種：根據(jù)“第一支的=第二支的”假設(shè)其結(jié)果是1，即“第一支的=第二支的=1”，根據(jù)倒數(shù)的意義，可以列式：。

第三種：假設(shè)第一根是10厘米，算出第二根的長度，求它們的比，根據(jù)比的基本性質(zhì)，求出來的是正確結(jié)果。

這三種思維都是運用學(xué)生學(xué)習(xí)過的知識作為問題解決的方法，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識不只是記住一個概念和結(jié)論，這個概念和結(jié)論還是解決相關(guān)問題的策略方法。為了讓學(xué)生能熟練掌握這樣多元化解決問題的意識和能力，這位老師接著讓合作學(xué)生分析研究同結(jié)構(gòu)不同情境的數(shù)學(xué)問題，嘗試用剛才的方法解決。在學(xué)生用三種方法解答后，老師又與學(xué)生合作探究新的兩種方法，共同完成思維導(dǎo)圖。

這樣讓學(xué)生養(yǎng)成多元思考的良好習(xí)慣，把復(fù)習(xí)變成知識的再度組合與方法的綜合運用，體會知識不只是一種標識，也是一種思維、一種方法、一種問題解決的工具……。

四、“思”：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心是思維——有智慧

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心是思維，學(xué)習(xí)中“猜”“想”“驗”“悟”等思考，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)與思維水平的提升有融合，學(xué)生的思維靈活就可以理解成他是有智慧的人，所以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能讓人變得更有智慧。

如《平面圖形的周長和面積復(fù)習(xí)》，①觀察、分析、比較，再構(gòu)數(shù)學(xué)認知。小學(xué)學(xué)習(xí)了哪些平面圖形？學(xué)生說出圖形后，老師把準備好的相應(yīng)圖形紙片按序一排貼在黑板上？接著追問：你們是從兩個維度研究它們的？②抽象、想像、綜合，重建數(shù)學(xué)模型。展示幾種學(xué)生享課前制作的思維導(dǎo)圖，讓大家評價，選出字母表示的完整的兩個同學(xué)向同學(xué)介紹周長和面積公式。在學(xué)生介紹、評價、相互補充后，老師把原來一排的平面圖形，按公式推導(dǎo)的進階順序擺放，重新建構(gòu)更為全面的數(shù)學(xué)模型（平面直觀圖、計算公式、公式的推導(dǎo)、不同面積公式之間的關(guān)系）③向后重構(gòu)鏈接思維，向前探尋增長思維。機智生成在學(xué)生分享面積計算公式推導(dǎo)時都說出看看長方形里有多少個1平方厘米的小正方形，這時馬校引導(dǎo)點明：其實面積計算是從測量開始的，用1個單位面積的正方形來量長方形，怎么量呢？就是看長方體長有幾個1平方厘米的小正方形，再看寬里有幾行，讓學(xué)生把學(xué)習(xí)向后回溯起點，建立思維鏈條。④向內(nèi)部挖掘深化思維，向周邊發(fā)散拓展思維：a.角三角形三條邊分別是6厘米、8厘米和10厘米，求斜邊上的高。在解釋學(xué)生解法6×8÷10，用三角形面積計算公式內(nèi)部知識研究為什么三角形面積的除以2看不到了，引導(dǎo)學(xué)生從列式過程中有乘2和除以2相互抵消來理解，增強數(shù)據(jù)分析能力;b.還可以怎么分析呢？引導(dǎo)學(xué)生利用“三角形面積一定，底和高成反比例。直角邊×直角邊=斜邊×斜邊上的高”，體現(xiàn)思維向前向上的生長，這就是我們現(xiàn)在常聽說的高階思維。c.方法向周邊發(fā)散，從基本思考和數(shù)學(xué)方法出發(fā)，解決相近的題目上，讓學(xué)生的思維不斷拓寬，視野不斷開闊。

五、“歸”：數(shù)學(xué)的表達與歸類——有思想

史寧中先生說“數(shù)學(xué)思想，我認為有三個：抽象、推理和模型。數(shù)學(xué)是把現(xiàn)實生活中的一些東西抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部來，而數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展則完全依賴假設(shè)和推理，然后再借助模型把數(shù)學(xué)的結(jié)果應(yīng)用到外部世界。抽象只是針對兩種情況，一是數(shù)量和數(shù)量關(guān)系;二是圖形和圖形關(guān)系。”我們認為在總復(fù)習(xí)中要讓學(xué)生進行一次整體的數(shù)學(xué)思想的感知、體驗與洗禮。我們從數(shù)學(xué)的表達與數(shù)學(xué)的歸類兩個維度，通過“辨析、歸納實現(xiàn)數(shù)學(xué)表達的靈活性”“比較歸納體驗數(shù)學(xué)的變與不變”“聯(lián)系融合形成數(shù)學(xué)研究方法的歸一”“推理抽象實現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)建模的歸一”四種形式來培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生能真正用數(shù)學(xué)語言表達和用數(shù)學(xué)的方法解決問題。

如：《立體圖形的表面積和體積的復(fù)習(xí)》，①辨析、歸納，數(shù)學(xué)表達靈活化。從真實情境中引出表面積和體積的研究指向：老師上課隨手拿一支粉筆，問它是什么形狀？然后把它折成兩段，問學(xué)生：什么變了？什么沒變？要復(fù)習(xí)的內(nèi)容。接著讓學(xué)生交流和分享課前自己整理的思維導(dǎo)圖。讓學(xué)生辨析歸納表面積在計算中一定算所有的面嗎？哪些情況不是求所有的面？②比較、歸納數(shù)學(xué)的變與不變。分享到圓柱體積推導(dǎo)時，引導(dǎo)學(xué)生把圓柱拼成長方體后，圓柱和長方體比較，什么變了什么沒變？③聯(lián)系、整合把數(shù)學(xué)研究方法歸一。聯(lián)系平面圖形面積推導(dǎo)和立體圖形體積推導(dǎo)方法，讓學(xué)生比較研究時有什么共同之處——轉(zhuǎn)化，從未知轉(zhuǎn)向已知。實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維方法的歸一。④推理、抽象把數(shù)學(xué)本質(zhì)建模歸一。整體分析，抽象數(shù)學(xué)本質(zhì)，推理尋找數(shù)學(xué)模型的歸一性。

讓學(xué)生對比這三個形體的體積還可以同一個公式來表示。為什么它們的體積可以用 乘高來計算。引導(dǎo)學(xué)生表達后。教師還做了這樣的引導(dǎo)：“其實，長方體、正方體和圓柱，我們還可以看成是一個面沿著直線平移形成的。請仔細觀察下面兩組圖，體會它們是由什么面，沿著哪條線平移形成的？”

直觀想象底面沿高向上平移，累積成長方體、正方體和圓柱體積可以理解成有h個底面積。

向不同杯中注入一定量的飲料，讓學(xué)生動態(tài)體悟底面沿高向上平移，累積成長方體、正方體和圓柱體積可以理解成有h個底面積。

認知歸一還要有效地轉(zhuǎn)化為應(yīng)用歸一、方法歸一、思維歸一上來，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)能力更為厚實與圓潤。

如：一個平行四邊形的周長是100厘米，它兩組底邊上的高分別是18cm、27cm，求它的面積。

用以上平移的思維來理解，這個平行四邊形是由較長的邊沿18厘米的高斜著平移形成的，也可以看成是短的底沿著27厘米的高平移形成的，假設(shè)平行四邊形的面積為單位“1”，那么它的兩組底就分別是和，因此它的面積就可以用100÷2÷（+）求出;還可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)成反比例兩個量的特征來分析，在同一個平行四邊形里，因為面積一定，所以它們的底和高成反比例，兩條高的比是18：27，相對應(yīng)的底a底b的比就是27：18，用100÷2×=20（厘米），這個底與高27對應(yīng)，平行四邊形面積是20×27=540（平方厘米）。

這樣的思維把周長、面積等與分數(shù)除法和正反比例等知識與方法歸一（函數(shù)）起來，提升學(xué)生思維靈性，豐富學(xué)生數(shù)學(xué)思想。

總之，通過課堂實踐，我們認為“思維導(dǎo)圖復(fù)習(xí)讓學(xué)生：認知全面、視野開闊、思維多元、方法融通、智慧明悟?！?/p>

注：本文系2018年江蘇省科學(xué)規(guī)劃精品課題“‘適合教育’視域下‘慧雅數(shù)學(xué)’課程建構(gòu)與實踐研究”（課題編號：D/2018/2/35）研究階段性成果

1660501705217