立足概念教學，培養(yǎng)思維概括

徐瑞

數(shù)學概念是數(shù)學知識之本，解題之源，數(shù)學概念學習的成功與否直接影響數(shù)學思維以及創(chuàng)新能力的發(fā)展.但由于課時緊張、考試壓力等種種原因，有些教師在實際概念教學中還是以教師講解為主，留給學生探索、交流概念形成的時間很少.這種忽視概念形成過程的教學，違背了學生的認知發(fā)展規(guī)律，學生僅機械識記，導(dǎo)致停留在概念的表面.由于沒有深層次的理解概念，學生概念學習不久后便會出現(xiàn)概念混淆、遺忘的現(xiàn)象，不能靈活應(yīng)用概念解決問題，不利于學生能力的發(fā)展.基于此，筆者在反思性研究的基礎(chǔ)上，以浙教版教材八年級上冊“2.6逆命題和逆定理”為例，對概念學習的設(shè)計做了一些探究和嘗試，印證“學生先行，交流呈現(xiàn)，教師斷后”的教學設(shè)計，現(xiàn)闡述如下，以期拋磚引玉.

一、教學設(shè)計

1、情境創(chuàng)設(shè)，激活思維

環(huán)節(jié)1：閱讀幻燈片內(nèi)容，獨立思考完成

預(yù)設(shè)問題1：幻燈片上 “綠水青山就是金山銀山”這句話，用第一章學過的數(shù)學名詞來表示，它應(yīng)該叫什么？

預(yù)設(shè)問題2：： 觀察下列4個句子，依序回答句后三個小問題：

①對頂角相等. ②作一個角等于已知角.③兩個無理數(shù)的和仍是無理數(shù).④線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.

（1）下列句子哪些是命題？

（2）若是命題，請判斷真假.

（3）若是真命題，請寫成“如果…那么…”的形式，并說出命題的條件和結(jié)論.

教師活動：順勢給出關(guān)于命題的思維導(dǎo)圖幻燈片。

設(shè)計意圖：設(shè)計問題，引領(lǐng)復(fù)習，既體現(xiàn)學科育人理念，又自然引出命題的概念復(fù)習舊知，為課題學習做好鋪墊。學生通過對該環(huán)節(jié)的問題思考、解答、交流，并借助思維導(dǎo)圖，經(jīng)歷了與本節(jié)課逆命題和逆定理有關(guān)的各種因素的再認識過程，觸及到了本節(jié)課的概念雛形。

2、活動引領(lǐng)，形成概念

環(huán)節(jié)1：小組交流討論完成表格.要求組內(nèi)每位成員先闡述自己的見解，然后交流達成共識，并做好展示交流準備.

預(yù)設(shè)問題1：觀察下面命題的條件和結(jié)論，你發(fā)現(xiàn)了什么？

①如果a=b，那么a2=b2. ②兩內(nèi)角相等的三角形是等腰三角形.

③同位角相等，兩直線平行.④如果a2=b2，那么a=b.

⑤等腰三角形兩個底角相等.⑥兩直線平行，同位角相等.

環(huán)節(jié)2：師生共同參與發(fā)現(xiàn)可以通過交換命題的條件和結(jié)論的方法來構(gòu)造新命題，并形成逆命題的概念.而這節(jié)課的研究對象就是由此產(chǎn)生的新命題（揭示課題），

預(yù)設(shè)問題2：你能寫出“綠水青山就是金山銀山”的逆命題嗎？

預(yù)設(shè)問題3：以上命題哪幾個是定理 ，它們之間有什么關(guān)系？

環(huán)節(jié)3：師生一起歸納互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題能被證明是真命題，那么就叫它是原定理的逆定理，這兩個定理叫互逆定理.

設(shè)計意圖：學生通過自己操作，在打亂的3對命題中找到條件結(jié)論互換的特征，充分激發(fā)學生學習興趣，經(jīng)歷了原命題與逆命題是條件、結(jié)論互換的過程，進而得出互逆命題的定義.并乘熱打鐵，以典型、豐富的實例為載體，通過小組討論的方式，展開觀察、分析屬性，抽象概括出共同本質(zhì)特征，自然地引出互逆定理的概念.也體現(xiàn)了“以學為中心”的課改理念.

3、問題驅(qū)動，探究本質(zhì)

預(yù)設(shè)問題1：寫出下列各題的逆命題？并判斷原命題和逆命題的真假

（1）如果|a|=|b|，那么a=b.

（2）等邊三角形的三個角都是60°

（3）兩個全等三角形的面積相等

（讓學生自己動手操作，畫出兩個面積相等的三角形但不全等，并讓學生上臺展示，如有不同情況的，還可上來補充，教師則利用幾何畫板動態(tài)演示面積相等的兩個三角形不全等.）

預(yù)設(shè)問題2：下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，請說出逆定理：

（1）內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

（2）對頂角相等.

（3）三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

預(yù)設(shè)問題3：歸納反思

（1）每個命題都有逆命題嗎？（2）真命題的逆命題一定是真命題嗎？

（3）每個定理都有逆命題嗎？（4）每個定理的逆命題都有真命題嗎？

設(shè)計意圖：概念得出后，學生只是建立了一個抽象、概括的語句框架，只有通過解題，學生才能更完整、更深刻地理解和掌握概念的內(nèi)涵和外延.本環(huán)節(jié)設(shè)置了3個題組，層層遞進，讓學生動手、大膽猜想充分激發(fā)學生學習的興趣，全方位調(diào)動學生學習的積極性.通過討論思考，學生經(jīng)歷了定理與逆命題的關(guān)系，以及他們之間的真假性沒有因果關(guān)系的過程，抓住本質(zhì).

4、概念應(yīng)用，拓展提升

環(huán)節(jié)1：教師引導(dǎo)，學生參與，共同解決教材例1：說出線段垂直平分線的性質(zhì)定理“線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”的逆命題，并證明這個逆命題是真命題.

預(yù)設(shè)問題1：定理中的條件和結(jié)論分別是什么？能不能只是把原命題的條件和結(jié)論交換位置呢？（可以提示學生注意組織適當?shù)恼Z句敘述出逆命題.）

預(yù)設(shè)問題2：（1）過P作PC⊥AB，交于點O.要證明PC平分AB（即OA=OC）只要證明什么？怎么證明？（2）這條直線上有一點沒法采用這種方法去證明，是哪一點？這一點怎么證明？

環(huán)節(jié)2：給出學法指導(dǎo)提示：① 根據(jù)題意畫出圖形. ② 在圖形上標注已知條件.③ 寫出已知與求證. ④ 分析要證的點P 在線段AB 的垂直平分線上，需要做什么. ⑤ 根據(jù)分析結(jié)果進行推理證明.教師在學生獨立完成任務(wù)的基礎(chǔ)上，組織學生相互反饋，同時示范證明的過程

環(huán)節(jié)3：拓展提高，提升自我.

預(yù)設(shè)問題3：寫出定理“等腰三角形底邊上的高與中線重合”的逆命題，并證明這個逆命題是真命題

設(shè)計意圖：例1要直接證明點P在線段AB的垂直平分線上是不常見的，我們可以轉(zhuǎn)化為證明AB的垂線PC平分線段AB.當一種證明過程不能代表全部情況時，需分別討論，分別敘述.（通過幾何畫板演示，P點在線段AB上時情況）幾何語言：∵PA=PB，∴點P在AB的垂直平分線上（或過點P作AB的垂線平分AB，或過點P和AB的中點的直線垂直AB）.這里需要注意兩點：①注意組織適當?shù)恼Z句敘述出逆命題，不能只是把原命題的條件和結(jié)論交換位置.②引導(dǎo)學生運用轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化等價命題和分類討論等數(shù)學思想的必要性.

5、回顧反思，小結(jié)收獲

預(yù)設(shè)問題1：本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？

借助具體問題的解答過程，通過師生交流梳理出如下圖所示的思維導(dǎo)圖：

設(shè)計意圖：用思維導(dǎo)圖的形式對概念的學習過程進行回顧與梳理，既讓學生明確概念從哪里來，到哪里去，又方便學生從整體上掌握概念，使得學生的認知結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化.

二、教學立意

在這堂課的教學設(shè)計中，筆者緊緊圍繞 “立足概念教學，培養(yǎng)思維概括 ”這一主題，在領(lǐng)會教材內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，開拓創(chuàng)新，通過讓學生動手、大膽猜想、觀看多媒體、幾何畫板演示等，充分激發(fā)學生學習的興趣，全方位調(diào)動學生學習的積極性，使學生在整個課堂學習過程中，既動手又動腦，既參與小組討論又鍛煉自己獨立的幾何言語表達，既提高解決幾何問題的能力又培養(yǎng)規(guī)范的幾何證明書寫習慣.

1、突出表現(xiàn)“以本為本”和“以學定教”

在整個教學設(shè)計過程中嚴格按照教材的設(shè)計思路，但又不囿于教材，實現(xiàn)了教教材和用教材教的轉(zhuǎn)變.通過整個教學設(shè)計可以看出，第一部分的問題1中表格與教材相比多了一對命題，而且在打亂的三對命題中讓學生找到條件結(jié)論互換的特征.另外所有的題目都來自于教材，但又進行了一定的整合，通過題目為本串起了一條“暗線”------三對互逆命題中有兩對原命題和逆命題都是真命題，通過小組討論的方式，體驗互逆定理的定義產(chǎn)生過程.

2、重點落實“學科育人”和“核心素養(yǎng)”

在整個設(shè)計環(huán)節(jié)中對“學科育人”做了初步嘗試，具體體現(xiàn)在用“綠水青山就是金山銀山”引出命題的概念，滲透了節(jié)約資源、保護環(huán)境的德育理念.學會學習是中國學生發(fā)展的六大核心素養(yǎng)之一，其基本要點就是勤于反思，在整個設(shè)計過程中的4個反思性小問題及最后的反思總結(jié)把學生對相關(guān)知識的理解引入深處，為學生的自主反思作出了一定的努力.

3、精心設(shè)計“思維導(dǎo)圖”和“過程教育”

在整個設(shè)計環(huán)節(jié)中，一前一后都精心設(shè)置了思維導(dǎo)圖，首尾呼應(yīng)以幫助學生梳理知識，使學生認知結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化.而且該設(shè)計還包括概念的形成過程和蘊含的數(shù)學活動經(jīng)驗，認知過程既包括在構(gòu)造具體命題的逆命題基礎(chǔ)上的定義，以獲得逆命題和逆定理的概念，也包括獲得概念之后的反思.這種設(shè)計不但能使學生獲得逆命題和逆定理的概念，也能使學生積累構(gòu)造逆命題的經(jīng)驗，做到了“思維”與“導(dǎo)圖”齊飛，“過程”與“方法”交融.

參考文獻：

[1]王媛媛. 基于“四基”的初中數(shù)學概念教學設(shè)計研究[D]. 重慶師范大學，2013.

[2]邵光華，章建躍. 數(shù)學概念的分類、特征及其教學探討[J]. 課程.教材.教法，2009（7）：47-51.

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