液晶相控陣器件色散特性分析

劉壯，王啟東，史浩東，成麗波

（1 長(zhǎng)春理工大學(xué)空間光電技術(shù)研究所，長(zhǎng)春 130022）

（2 中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所應(yīng)用光學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)春 130033）

（3 長(zhǎng)春理工大學(xué)理學(xué)院，長(zhǎng)春 130022）

0 引言

光學(xué)相控陣器件可實(shí)現(xiàn)光束的非機(jī)械偏轉(zhuǎn)，在激光通信、激光雷達(dá)、激光測(cè)距、測(cè)高等領(lǐng)域均具有重要應(yīng)用前景［1-3］。目前成熟的光學(xué)相控陣器件主要包含液晶空間光調(diào)制器與級(jí)聯(lián)液晶偏振光柵（Liquid Crystal Polarization Grating，LCPG），其中液晶空間光調(diào)制器可實(shí)現(xiàn)小范圍、高精度的非機(jī)械偏轉(zhuǎn)，級(jí)聯(lián)的LCPG 可實(shí)現(xiàn)大范圍、大角間隔的非機(jī)械偏轉(zhuǎn)，其最大偏轉(zhuǎn)角度可達(dá)到±40°［4-5］。

相控陣器件采用衍射原理，對(duì)于非單色光具有色散作用，激光器中心波長(zhǎng)與設(shè)計(jì)值會(huì)有一定偏差，使用過(guò)程中也有可能產(chǎn)生一定波長(zhǎng)漂移，同時(shí)激光也具有一定光譜寬度，色散作用會(huì)引起激光光束角度與截面功率分布的變化，光束截面中心位置與光功率分布模型對(duì)于激光應(yīng)用能力的計(jì)算至關(guān)重要。目前在計(jì)算光束截面功率密度時(shí)，通常假設(shè)激光光束截面功率分布是均勻的，而實(shí)際情況下為使激光光束截面功率更加集中，通常使用基模激光，光束截面功率是高斯分布或者瑞利分布。由于色散作用，高斯分布或者瑞利分布已不再適用。陳萬(wàn)等利用帶有鏡面對(duì)稱結(jié)構(gòu)的圓偏振轉(zhuǎn)換器設(shè)計(jì)了超寬帶幾何相位元件，設(shè)計(jì)的基于四層鏡面對(duì)稱的偏振光柵在420～945 nm 的超寬波段內(nèi)衍射效率都保持在99%以上，解決了液晶級(jí)聯(lián)偏振光柵衍射效率低、工作譜段窄的問(wèn)題，但未解決相控陣引起的色散問(wèn)題［6］。Paul 等計(jì)算并模擬了不同波長(zhǎng)經(jīng)過(guò)液晶光學(xué)相控陣后由于色散導(dǎo)致的光束分離，并沒(méi)有分析出光束截面的光功率分布模型［7］。

本文根據(jù)液晶相控陣器件的色散原理，給出了組合液晶相控陣器件的色散公式，結(jié)合激光光源的光功率譜分布與單模激光的光截面功率分布公式，推導(dǎo)出激光光源經(jīng)過(guò)組合液晶相控陣器件后的光功率分布公式，給出簡(jiǎn)易計(jì)算方法，最后根據(jù)特定系統(tǒng)參數(shù)與設(shè)定的偏轉(zhuǎn)角度分析了液晶相控陣器件色散特性對(duì)能量收集的影響。

1 理論

1.1 液晶相控陣角度偏轉(zhuǎn)

1.1.1 液晶相控陣器件色散

液晶相控陣器件實(shí)現(xiàn)角度偏轉(zhuǎn)采用衍射光柵的原理，不同波長(zhǎng)入射光經(jīng)過(guò)光柵后出射角度表示為

式中，θout為出射角，θin為入射角，m為衍射級(jí)次，通常m取±1，λ為入射光波長(zhǎng)，d為光柵常數(shù)（即光柵溝槽間隔），對(duì)于空間光調(diào)制器，d=M·e，M為調(diào)制參數(shù)，e為液晶控制單元尺寸。相近的波長(zhǎng)的出射角度差（即色散角）為

由式（2）可知，光柵的色散角與光源的波長(zhǎng)間隔或光譜寬度成正比，與光柵常數(shù)成反比，并隨著出射角的增大而增大。

1.1.2 組合液晶相控陣器件色散

級(jí)聯(lián)LCPG 是多片LCPG 與液晶可調(diào)半波片的組合形式，單獨(dú)的液晶LCPG 與液晶可調(diào)半波片組合可實(shí)現(xiàn)一個(gè)固定角度的偏轉(zhuǎn)，多片LCPG 正交級(jí)聯(lián)可實(shí)現(xiàn)大角度范圍的二維光束偏轉(zhuǎn)。級(jí)聯(lián)LCPG 組合的形式為第一層決定角度分辨率，以后每一層衍射角都是上一層衍射角的2 倍（例如：1.25°、2.5°、5.0°、10.0°、20.0°），對(duì)于一個(gè)N層的級(jí)聯(lián)LCPG，理論上共可以控制2N+1個(gè)角度［8-12］。因此，為了實(shí)現(xiàn)1.25°分辨率、±40°范圍的角度偏轉(zhuǎn)控制，共需要5 層（N=5，2N+1=64，角度范圍與分辨率的商為2×（40°/1.25°）=64），為了實(shí)現(xiàn)二維的光束偏轉(zhuǎn)，在正交方向需要同樣的5 層，例如，為實(shí)現(xiàn)（22.5°，-16.25°）的光束偏轉(zhuǎn)，方位方向每一層LCPG 中可調(diào)液晶半波片的控制系數(shù)為

俯仰方向每一層LCPG 中可調(diào)半波片的控制方式為

對(duì)于偏轉(zhuǎn)角度分別為1.25°、2.5°、5.0°、10.0°、20.0°的LCPG，工作波長(zhǎng)為1 064 nm 時(shí)，根據(jù)式（1），光柵常數(shù)分別為48.77 μm、24.39 μm、12.21 μm、6.13 μm、3.11 μm。

LCPG 多采用±1 級(jí)衍射光，偏轉(zhuǎn)角度同樣可根據(jù)式（1）計(jì)算，推導(dǎo)出一維級(jí)聯(lián)LCPG 入射光經(jīng)過(guò)每一級(jí)LCPG 的偏轉(zhuǎn)角度為

將式（5）相加，可得到入射光束經(jīng)過(guò)多級(jí)LCPG 衍射后的實(shí)際出射角度為

當(dāng)采用液晶相控陣與LCPG 組合的光束偏轉(zhuǎn)形式時(shí)，可將式（1）與式（6）結(jié)合，得到

令

光束入射角為0°，則式（7）可表示成

光學(xué)相控陣組合所在位置坐標(biāo)為（0，0，0），若光學(xué)相控陣組合只實(shí)現(xiàn)x方向偏轉(zhuǎn)，則距離為z處，波長(zhǎng)為λ的光束所在位置x的坐標(biāo)為

正交級(jí)聯(lián)LCPG 衍射光束中心位置二維坐標(biāo)為

根據(jù)式（7），得

1.2 激光中心波長(zhǎng)漂移量與光束中心位置最大偏差關(guān)系

激光器的中心波長(zhǎng)與設(shè)計(jì)值可能存在一定誤差，使用過(guò)程中也可能存在一定波長(zhǎng)漂移，漂移量主要受發(fā)光類型、溫度、老化程度等因素影響。根據(jù)式（11），得到激光中心波長(zhǎng)漂移量Δλ與光束中心位置坐標(biāo)偏移之間關(guān)系為

假設(shè)激光波長(zhǎng)為1 064 nm，中心波長(zhǎng)漂移Δλ為0.05 nm［13］，當(dāng)組合液晶相控陣器件偏轉(zhuǎn)角度為0°時(shí)，激光相當(dāng)于經(jīng)過(guò)平面，中心波長(zhǎng)漂移不會(huì)引起光束位置變化，當(dāng)級(jí)聯(lián)偏振光柵偏轉(zhuǎn)角為（22.5°，-16.25°）時(shí)，激光經(jīng)過(guò)后在1 000 km 外光束坐標(biāo)偏移量為（26.76 m，-19.60 m）；當(dāng)級(jí)聯(lián)偏振光柵偏轉(zhuǎn)角為（22.5°，-22.5°）時(shí)，激光經(jīng)過(guò)后在1 000 km 外光束坐標(biāo)偏移量為（30.79 m，-30.79 m），由此可見(jiàn)，液晶相控陣器件的偏轉(zhuǎn)角更大時(shí)，最大偏移量更大。

1.3 激光器功率譜密度表示

激光器相較于其他光源具有良好的單色性，但其仍具有一定的光譜寬度（線寬），激光器光譜功率分布因激光器的類型、功率參數(shù)、老化程度等因素而異，通常利用柯西—洛倫茲分布來(lái)表示激光器功率譜密度，即［11］

式中，λp為中心波長(zhǎng)，Δλp為波長(zhǎng)半寬度，對(duì)式（14）在范圍（λp-Δλp，λp+Δλp），（λp-2Δλp，λp+2Δλp），（λp-3Δλp，λp+3Δλp）求取定積分，可得到

從結(jié)果中可以看出，（λp-Δλp，λp+Δλp）、（λp-2Δλp，λp+2Δλp）、（λp-3Δλp，λp+3Δλp）內(nèi)分別集中了70.5%、84.4%、89.5%的能量。

用于測(cè)距或者測(cè)高的固體激光器的中心波長(zhǎng)通常為1 064 nm，光譜寬度Δλp為0.05 nm［14-15］，其光譜密度分布曲線如圖1 所示。

圖1 中心波長(zhǎng)為1 064 nm 的激光器光譜分布曲線Fig.1 Spectral distribution curve of laser with central wavelength of 1 064 nm

由于色散的存在，直徑無(wú)限小的平行光束空間中一點(diǎn)（x，y，z）的光強(qiáng)I（x，y，z）將分散成一個(gè)以（xp，yp，z）為中心的線型分布，坐標(biāo)點(diǎn)（x，y，z）光強(qiáng)I（x，y，z）的大小將取決于其波長(zhǎng)。通過(guò)式（11）與式（14）聯(lián)合計(jì)算可以得到空間中不同點(diǎn)的光功率分布。

假設(shè)激光波長(zhǎng)為1 064 nm，光譜寬度Δλp為0.05 nm，經(jīng)過(guò)可實(shí)現(xiàn)（22.5°，-16.25°）偏轉(zhuǎn)的級(jí)聯(lián)LCPG 后，當(dāng)光源為直徑無(wú)限小的線光束時(shí)，在1 000 km 外光束截面功率分布曲線如圖2 所示。

圖2 線光源1 000 km 外光束截面功率分布曲線Fig.2 Power distribution curve of beam section outside 1 000 km of linear light source

1.4 激光光束截面功率分布表示

激光器的光束截面功率分布因激光的模式不同而不同，激光測(cè)距與激光通信通常采用質(zhì)量因子M2接近于1 的單模激光，其光強(qiáng)呈現(xiàn)高斯分布，即

式中，P為光功率，λ為波長(zhǎng)，ω0為束腰直徑。激光的發(fā)散角為

激光波長(zhǎng)為1 064 nm，功率為1 W，經(jīng)過(guò)擴(kuò)束后束散角為20 μrad，則束腰直徑為24.7 mm，根據(jù)式（16），在沒(méi)有色散的影響下，在1 000 km 外光束截面功率分布曲線如圖3 所示。

從圖中可見(jiàn)，光功率呈現(xiàn)中間高、邊緣低的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱分布，取接收光孔徑為1.0 m，在中心位置可接收到的光功率約為5.0 mW，在距中心位置7.0 m 處可接收到的光功率約為3.8 mW。

1.5 色散作用下激光光束截面功率分布表示

若不考慮色散，激光在距離z處的空間中光功率分布函數(shù)為I（x1，y1，z），由于色散的存在，光功率將被分散，空間中一點(diǎn)（x2，y2，z）光功率分布函數(shù)H（x2，y2，z）將變成附近每一點(diǎn)（x（λ），y（λ），z）的分布在該點(diǎn)的累加，所以H（x2，y2，z）可表示為

經(jīng)過(guò)液晶相控陣器件后的光功率分布公式為

式（19）很難直接求解，利用拆積分的方法，將（λp-3Δλp，λp+3Δλp）內(nèi)的點(diǎn)分成m份（m為偶數(shù)，m→∞），則每份大小為6Δλp/m，式（20）將轉(zhuǎn)換成

式中，

2 色散作用下激光光束界面功率分布的實(shí)例計(jì)算

模擬的例子參數(shù)選擇某空間目標(biāo)激光測(cè)距系統(tǒng)，激光光源波長(zhǎng)為1 064 nm，光譜寬度Δλp為0.05 nm，功率為1 W，發(fā)射光為近似基模的高斯光束，經(jīng)過(guò)擴(kuò)束后束散角為20 μrad，質(zhì)量因子為1，則束腰直徑為24.7 mm。若假設(shè)光束截面功率分布是均勻的，光束截面直徑為束散角與距離的乘積，例子中光束截面直徑為20 m，光功率密度為3.1 mW/m2，當(dāng)接收光孔徑為1.0 m 時(shí)，可收集或者反射的光功率為2.5 mW。

設(shè)液晶相控陣器件組合的偏轉(zhuǎn)角為（22.5°，-16.25°），根據(jù)式（20），激光經(jīng)過(guò)液晶器件組合后在1 000 km 外光束截面功率分布如圖4 所示。

圖4 偏轉(zhuǎn)角為（22.5°，-16.25°）時(shí)1 000 km 外激光光束截面功率分布Fig.4 Cross sectional power distribution of laser beam 1 000 km away when the deflection angle is（22.5°，-16.25°）

從圖中可見(jiàn)，1 000 km 外激光光束截面呈現(xiàn)為近似橢圓形分布，而不再是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，但依然是中間功率高邊緣功率低，同樣取接收光孔徑為1.0 m，在中心位置可接收到光功率約為1.8 mW，與均勻情況下相差28%，由此可見(jiàn)，由于色散的影響，中心的光功率密度在降低。在距中心位置（-5 m，-5 m），（-5 m，5 m），（5 m，-5 m），（5 m，5 m）處可接收到光功率分別為1.4 mW、1.6 mW、1.6 mW、1.4 mW，由此可見(jiàn)，延色散方向的光會(huì)更強(qiáng)。根據(jù)1.2 節(jié)中心波長(zhǎng)漂移引起的位移量（26.76 m，-19.60 m），在距中心（26.76 m，-19.60 m）處可接收到的光功率約為0.57 mW，可見(jiàn)接收能量因中心波長(zhǎng)漂移引起的差異極大。

更改液晶相控陣器件組合的偏轉(zhuǎn)角為（22.5°，-22.5°）與（27.5°，-16.25°），根據(jù)1.2 節(jié)中心波長(zhǎng)漂移引起的位移量（30.79 m，-30.79）與（38.23 m，-22.84 m m），以及式（20），激光經(jīng)過(guò)液晶器件組合后在1 000 km 外光束截面功率分布曲線如圖5 與圖6 所示，綜合兩圖數(shù)據(jù)可見(jiàn)：色散引起的光功率分布進(jìn)一步向偏轉(zhuǎn)方向延伸（注意其坐標(biāo)范圍），同樣取接收光孔徑為1.0 m，在中心位置可接收到光功率分別為1.4 mW與0.97 mW，與均勻情況下分別相差36%與62%，可證實(shí)偏轉(zhuǎn)角度越大，能量集中程度越差。

圖5 偏轉(zhuǎn)角為（22.5°，-22.5°）時(shí)1 000 km 外激光光束截面功率分布Fig.5 Cross sectional power distribution of laser beam 1 000 km away when the deflection angle is（22.5°，-22.5°）

圖6 偏轉(zhuǎn)角為（27.5°，-16.25°）時(shí)1 000 km 外激光光束截面功率分布Fig.6 Cross sectional power distribution of laser beam 1 000 km away when the deflection angle is（27.5°，-16.25°）

3 結(jié)論

本文根據(jù)液晶相控陣器件色散的原理，給出了組合液晶相控陣器件的色散公式以及中心波長(zhǎng)漂移引起的光束位置偏移公式，結(jié)合激光光源的光譜密度分布與單模激光的光功率分布公式，推導(dǎo)出激光經(jīng)過(guò)組合液晶相控陣器件后的光功率分布公式，給出了簡(jiǎn)易計(jì)算方法，最后根據(jù)特定系統(tǒng)參數(shù)與設(shè)定的偏轉(zhuǎn)角度分析了液晶相控陣器件色散特性對(duì)能量收集的影響。分析結(jié)果表明：激光光束截面光功率不再旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，而是向色散方向延伸，偏轉(zhuǎn)角度越大，色散引起的影響越嚴(yán)重，中心位置偏移越嚴(yán)重，峰值位置功率密度越低。該方法也適用于其他光譜密度分布與其他模式的激光光源。