基于豎直平面圓弧軌道的阻尼因數(shù)測(cè)量

農(nóng)曉寧，李豐果

(華南師范大學(xué) a.物理與電信工程學(xué)院; b.物理國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，廣東 廣州 510006)

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)或剛體在軌道上做振動(dòng)時(shí)會(huì)受到阻力作用，振動(dòng)過程中，振幅會(huì)減小，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做阻尼振動(dòng). 阻尼因數(shù)是描述振幅衰減快慢的重要參量，阻尼因數(shù)β從小到大對(duì)應(yīng)3種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，分別是欠阻尼狀態(tài)、臨界阻尼狀態(tài)和過阻尼狀態(tài). 阻尼因數(shù)β越大，則阻尼越大，衰減越快；阻尼因數(shù)β越小，則阻尼越小，衰減越慢. 利用不同裝置可以測(cè)量阻尼因數(shù)[1-7]，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的采集與處理也有不同的方法[8-13]. 本文利用自制豎直圓弧軌道裝置進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，利用視頻分析軟件Tracker和數(shù)據(jù)處理軟件Origin來完成對(duì)阻尼因數(shù)的測(cè)量.

1 測(cè)量原理

在實(shí)際情況下物體受到阻力作用，小球做弱阻尼振動(dòng)，ω為與阻尼振動(dòng)相同的振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率，β為阻尼因數(shù)，其動(dòng)力學(xué)方程[14]為

(1)

式(1)中當(dāng)阻力很小時(shí)(β?ω)，呈現(xiàn)欠阻尼狀態(tài)，由(1)式解得質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

x(t)=Aeβ tcos (ω′t+α).

(2)

為了得到阻尼因數(shù)，將物體的x-t曲線進(jìn)行非線性擬合，可得到β.

2 自制豎直平面圓弧軌道

自制豎直圓弧軌如圖1所示. 豎直圓弧軌道由2塊22.00 cm的正方形有機(jī)玻璃板以及直徑分別為20.00 cm和15.00 cm的有機(jī)玻璃圓管組合而成. 制作時(shí)首先將圓管切割使其高度為3.50 cm，按照需要的尺寸把大圓管切出開口，作為物體進(jìn)入軌道的入口. 如圖1所示，將半徑為r1=7.50 cm，r2=10.00 cm的圓管的圓心重合，且圓心處在正方形對(duì)角線的交點(diǎn). 接著用熱熔膠將圓管固定在2塊正方形的玻璃板之間. 按以上步驟制成簡(jiǎn)易豎直圓弧軌道. 測(cè)量需要配置圓柱體作為追蹤對(duì)象，根據(jù)實(shí)驗(yàn)需求，在軌道內(nèi)壁貼上不同材料來改變軌道的粗糙程度.

(a)示意圖 (b)實(shí)物圖

3 測(cè)量過程

實(shí)驗(yàn)過程中，物體運(yùn)動(dòng)較快，需利用相機(jī)拍攝視頻，并通過視頻分析軟件Tracker得到所需運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)導(dǎo)入Origin進(jìn)行曲線擬合. 測(cè)量使用的相機(jī)為富士XT20，拍攝幀數(shù)設(shè)為60 s-1.

1)測(cè)量準(zhǔn)備：用三腳架固定相機(jī)，開啟拍攝視頻模式并取景整個(gè)裝置. 測(cè)量出圓柱體底面半徑均為0.90 cm，圓弧軌道半徑為10.00 cm，在圓柱體底面貼上黑色圓形紙片，以便Tracker追蹤物體的運(yùn)動(dòng)軌跡.

2)錄制視頻：根據(jù)實(shí)驗(yàn)需求將圓柱體從不同角度θ的位置靜止釋放，用相機(jī)錄下圓柱體在圓弧軌道運(yùn)動(dòng)的視頻.

3)尺寸標(biāo)注定標(biāo)：將視頻導(dǎo)入Tracker軟件將實(shí)際中的物體尺寸在視頻中進(jìn)行標(biāo)注，以便得到準(zhǔn)確的數(shù)據(jù).

4)視頻分析：以平衡位置為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，將圓柱體中的黑色圓紙片標(biāo)志為質(zhì)點(diǎn)，追蹤質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，得到x-t圖像及其數(shù)據(jù).

5)數(shù)據(jù)處理：用Origin軟件中的SineDamp函數(shù)對(duì)x-t圖像的數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，得到阻尼因數(shù)β. 實(shí)驗(yàn)探究圓柱體在不同角度、不同表面滾動(dòng)，以及材質(zhì)對(duì)阻尼因數(shù)的影響.

4 測(cè)量結(jié)果與分析

4.1 圓柱體從不同角度開始滾動(dòng)的阻尼因數(shù)測(cè)量

用鐵質(zhì)圓柱體從不同角度靜止釋放，用Tracker得到圓柱體運(yùn)動(dòng)的水平位移隨時(shí)間變化的x-t運(yùn)動(dòng)曲線. 角度θ是指圓柱體釋放位置與圓心所確定的直線和豎直方向的夾角. 將x-t曲線用SineDamp函數(shù)進(jìn)行非線性擬合，4個(gè)不同角度釋放的圓柱體運(yùn)動(dòng)曲線(黑色)和擬合曲線(紅色)結(jié)果如圖2所示.

相應(yīng)地，4次測(cè)量的擬合方程分別為：

(a)θ=80°

4.2 圓柱體在不同粗糙度表面上滾動(dòng)的阻尼因數(shù)測(cè)量

保持其他條件不變，使圓柱體在不同目數(shù)的砂紙軌道中來回滾動(dòng)，測(cè)量圓柱體在粗糙度不同的表面上滾動(dòng)的阻尼因數(shù). 砂紙的目數(shù)是指物料的粒度或粗細(xì)度，目數(shù)越小表示越粗糙，反之，目數(shù)越大表示越細(xì)膩. 經(jīng)過實(shí)驗(yàn)測(cè)量與數(shù)據(jù)處理，得到圓柱體運(yùn)動(dòng)的水平位移隨時(shí)間變化的x-t曲線及其擬合曲線. 圓柱體分別在150目、240目、400目、1 200目砂紙中滾動(dòng)的x-t運(yùn)動(dòng)曲線(黑色)及其擬合曲線(紅色)如圖3所示.

(a)150目

相應(yīng)地，圖3中4次測(cè)量的擬合方程分別為

4.3 測(cè)量不同材質(zhì)圓柱體滾動(dòng)的阻尼因數(shù)

保持其他條件不變，使銅、鐵、鋁3種圓柱體分別在圓弧軌道中來回滾動(dòng)，軌道表面鋪上1 200目數(shù)的砂紙. 測(cè)量得3種材質(zhì)圓柱體的阻尼因數(shù)如表1所示.

表1 不同材質(zhì)圓柱體阻尼因數(shù)測(cè)量數(shù)據(jù)

銅鐵鋁圓柱體在1 200目砂紙上運(yùn)動(dòng)的阻尼因數(shù)大小排序?yàn)棣翭e<βAl<βCu，平均值相差約0.01. 結(jié)果表明，阻尼因數(shù)與圓柱體材質(zhì)有關(guān)，但是影響較小.

5 結(jié)束語

利用圓柱體在豎直平面圓弧軌道滾動(dòng)測(cè)量阻尼因數(shù)，研究了釋放角度、軌道的粗糙程度和圓柱體材質(zhì)對(duì)測(cè)量阻尼因數(shù)的影響. 測(cè)量結(jié)果表明：阻尼因數(shù)隨角度變化產(chǎn)生微小的變化；阻尼因數(shù)隨粗糙程度的降低而減小；用銅鐵鋁圓柱體測(cè)量阻尼因數(shù)，材質(zhì)對(duì)阻尼因數(shù)的影響較小. 實(shí)驗(yàn)的誤差來源為圓柱體釋放的初始狀態(tài)、拍攝畫面變形、軟件追蹤精度等.