留學生全英文數(shù)學I課程基本數(shù)學公式推導

文傳軍 任雪靜

基金項目：國家自然科學基金青年項目（項目編號：1901061），常州工學院教改校級課題（項目編號：A3-4402-18-024，31820320002-QYWKC-005）

作者簡介：文傳軍（1976—），男，博士，講師，研究方向為模糊聚類。

任雪靜（1988—），女，博士，講師，研究方向為基礎(chǔ)數(shù)學。

摘要：隨著“一帶一路”建設(shè)的進一步深入，我國高等教育國際化規(guī)模和水平不斷擴大和提升，留學生全英文教學構(gòu)成了留學生教育的重要支持方式。數(shù)學I課程是針對留學生全英文教學的基礎(chǔ)數(shù)學課程，對該課程中的部分數(shù)學公式做了推導歸納整理和總結(jié)，以滿足留學生全英文數(shù)學I課程教學的需要，并提升國際留學生對數(shù)學公式的理解。

關(guān)鍵詞：留學生 全英文授課 數(shù)學I 基本數(shù)學公式 推導

中圖分類號：G633.6 ??文獻標識碼：A???文章編號：1672-3791（2021）12（c）-0000-00

Abstract： With the further development of the “Belt and Road” construction， the scale and level of the internationalization of my country's higher education continue to expand and improve， and English teaching for international students constitutes an important support method for international student education. The Mathematics I course is a basic mathematics course aimed at foreign students teaching in English. Some mathematical formulas in this course are deduced， summarized and summarized to meet the needs of foreign students in teaching the English Mathematics I course and improve international students’ understanding of mathematics formulas. understanding.

Key Words： International students; Taught in English; Mathematics I; Basic mathematical formulas; Derivation

1 引言

“一帶一路”建設(shè)是習近平新時代中國特色社會主義理論的重要組成部分，“一帶一路”建設(shè)工作的進一步深入，體現(xiàn)在中國作為支撐和維護國際與地區(qū)和平與發(fā)展的主要力量，日益緊密地主導和參與世界各項活動，而教育國際化也成為中國高等教育發(fā)展的重要發(fā)展趨勢。來華留學生教育極大提升了我國軟實力和影響力，有利于我國高等教育建設(shè)世界一流大學，促進我國全方位融入并影響國際潮流。全英文教學課程建設(shè)成為中國高校及高等教育國際化重要構(gòu)成方式。

眾多學者對留學生全英文授課問題進行了研究。付承英[1]針對留學生英語基礎(chǔ)好，思維活躍，愛記筆記但有少數(shù)學生學習積極性不高，曠課和遲到等特點，在教學過程中通過選拔英語基礎(chǔ)好，教學能力強，教學經(jīng)驗豐富的教師，采用靈活多樣的教學方法和加強學生教學過程的管理等途徑有效地提高全英文教學質(zhì)量。蔡曉麗等人[2]從教材選擇，師資準備，課堂教學的組織，考核方式以及學校保障措施等方面對高校留學生計算機公共課全英文教學進行了經(jīng)驗總結(jié).包括精選全英文經(jīng)典教材，錄制教學視頻進行翻轉(zhuǎn)課堂教學，開發(fā)集實驗，測試，閱卷等多功能于一體的教學軟件，并加強全英文師資的英語培訓與同行交流，以期逐步提高全英文教學質(zhì)量，促進全英文教學更好地開展。楊媛等人[3]對昆明醫(yī)科大學2016級49名MBBS留學生生理學全英文期末考試試卷進行統(tǒng)計分析，結(jié)論表明，2016級MBBS留學生生理學全英文期末考試成績略呈負偏態(tài)分布，試卷總體難度適中，試卷區(qū)分度和信度良好，為進一步完善教學方法，提高教學效果提供依據(jù)。武瑞勇等人[4]結(jié)合留學生自身的語言、文化、習慣等特點，在師資隊伍培養(yǎng)、教學內(nèi)容選擇、備課、教學、考核等環(huán)節(jié)，初步總結(jié)和探討了提高留學生動物學教學質(zhì)量的方法與舉措，希望對其他高校留學生的動物學全英文教學有所幫助。何蕊等人[5]在留學生本科教育全英文體系中針對機械類及土木類開設(shè)全英文工程圖學課程.很大程度上改善了留學生中文水平低，難以掌握知識、通過率低下的現(xiàn)狀。全英文課程提高了學生的學習興趣，通過率也明顯高于參加中文課程的留學生。黃雄飛等人[6]針對留學生病理學英語授課過程存在的師生溝通困難等問題，提出通過強化師資培訓，優(yōu)化課程設(shè)計，重視教材建設(shè)，改革教學手段以及采用多元考核方式等綜合措施提高教學質(zhì)量。劉永濤[7]針對土木工程專業(yè)的流體力學全英語課程，結(jié)合來華留學生的學業(yè)特點和課程特點，在課程教學大綱、教學內(nèi)容、教材和授課方式以及師資配備等方面，融入中國傳統(tǒng)文化和現(xiàn)代科技，開展了體系性建設(shè)的探索和實踐。凌思濤等人[8]以中國礦業(yè)大學對機械工程專業(yè)來華留學生開設(shè)的《計算方法》全英文課程教學為例，探討分析現(xiàn)階段高校開展留學生全英文教學過程存在的問題，并有針對性地提出了相應的改革辦法，以期為高校進一步開展來華留學生全英文教學的后繼課程提供參考。史海英[9]在長期國際合作辦學和雙語教學實踐的基礎(chǔ)上，以微觀經(jīng)濟學課程為例，探討了該課程新形勢下的全英文教學工作中面臨的新問題，并針對這些問題提出了點、線、面協(xié)同整合的全英文教學策略。

全英文數(shù)學I是針對留學生基礎(chǔ)數(shù)學知識教學的主干課程，對該課程中的部分數(shù)學公式做了推導歸納整理和總結(jié)，以滿足留學生全英文數(shù)學I課程教學的需要，并提升國際留學生對數(shù)學公式的理解[10]。

2 全英文數(shù)學I基礎(chǔ)數(shù)學公式推導

2.1 全英文數(shù)學I課程介紹

全英文數(shù)學I課程是高等工科院校留學生必修的重要的基礎(chǔ)理論課，為學生培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，抽象思維和邏輯思維能力，為學生進一步學習后繼課程，打下扎實的基礎(chǔ)。

該課程主要包括：第一章集合和不等式，主要包括集合、不等式的性質(zhì)和不等式的解法。第二章簡單的邏輯，主要包括命題、充分和必要條件，簡單的邏輯連接詞和全稱量詞和存在量詞。第三章映射和函數(shù)，主要包括映射和函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、反函數(shù)等。第四章三角函數(shù)和反三角函數(shù)，主要包括角的概念、任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導公式和正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的圖像和性質(zhì)等。第五章兩角和與差的三角函數(shù)，主要包括兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角公式、半角公式和三角函數(shù)的積化和差以及和差化積公式等。第六章數(shù)列，主要包括數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列和數(shù)列的極限和四則運算等。

該課程一般安排為80個課時，從教學內(nèi)容可知，教學主要涉及多個初等數(shù)學教學內(nèi)容，包括大量的數(shù)學公式，需要對一些主要的數(shù)學公式進行展開證明和推導，幫助留學生理解和掌握。

2.2 全英文數(shù)學I基礎(chǔ)數(shù)學公式推導

2.2.1 勾股定理簡介

公元前十一世紀，數(shù)學家商高（西周初年人）就提出“勾三、股四、弦五”。意為：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時，徑隅（弦）則為5。以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”，根據(jù)該典故稱勾股定理為商高定理。實際上商高給出的是一對勾股數(shù)，即滿足勾股定理的正整數(shù)數(shù)組，公元前約三千年的古巴比倫人就知道了許多勾股數(shù)組，并在建筑宏偉的金字塔和測量尼羅河泛濫后的土地時進行了應用。公元前六世紀，希臘數(shù)學家畢達哥拉斯給出了勾股定理的嚴謹證明和定理形式化描述，即直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，即。作為整數(shù)學派帶頭人所取得的開創(chuàng)性成果，該學派還專門為此屠宰了一百頭牛進行了慶祝，因而西方人都習慣地稱這個定理為畢達哥拉斯定理或者百牛定理。公元三世紀，三國時代的趙爽對《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理做出了詳細注釋，用數(shù)形結(jié)合得到方法，給出了中國人關(guān)于勾股定理的詳細證明。

2.2.2 勾股定理的比較經(jīng)典的證明方法

（1）經(jīng)典拼圖證明方法。

以為邊長分別構(gòu)造兩個正方形并排放置，如圖1所示，然后分別截取兩個直角三角形，其中直角邊為，斜邊為并對應填補，構(gòu)成一個以邊長為的正方形，由面積恒等從而有：

（2）簡潔證明方法。

以斜邊為邊長構(gòu)造正方形并向內(nèi)翻出四個以和為直角邊的直角三角形，如圖2所示，很顯然中間的小正方形邊長為長直角邊減短直角邊。通過整體和分塊兩種方式計算圖形面積且恒等，所以有：

（3）總統(tǒng)證明方法。

該方法為美國第20任總統(tǒng)加菲爾德提出，所以人們又稱其為“總統(tǒng)證法”。以斜邊為邊長構(gòu)造正方形并向外翻出四個以和為直角邊的直角三角形，如圖3所示。通過整體和分塊兩種方式計算圖形面積且恒等，所以有：

2.2.3 勾股數(shù)對

回到勾股定理開篇之初，根據(jù)對勾股定理證明的敘述，可以知道，所謂的勾股數(shù)對并不構(gòu)成為一個嚴格意義上的定理，因為定理需要抽象的條件和結(jié)論，需要嚴謹?shù)倪壿嬐评?、形式化的公式推理，勾股?shù)作為滿足勾股定理的正整數(shù)數(shù)組，只能稱作為勾股定理的特別個例，即勾股定理在正整數(shù)對中的驗證和應用，這樣的勾股數(shù)對是非常多的。

勾股數(shù)對是可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)，常用生成勾股數(shù)對的方法是：（3n、4n、5n）（n是正整數(shù)），這是最著名的一組，很顯然有：

這樣生成的勾股數(shù)對包括：（6、8、10）、（9、12、15）、（12、16、20）等，分別對應n取2，3，4等的情況。

又由于任何一個勾股數(shù)組（a，b，c）內(nèi)的三個數(shù)同時乘以一個正整數(shù)n得到的新數(shù)組（na，nb，nc）仍然是勾股數(shù)，所以一般想找的是互質(zhì)的勾股數(shù)組。

2.2.4 勾股定理的歷史影響和價值

勾股定理是歐氏幾何的基礎(chǔ)定理，并有巨大的實用價值。這條定理在幾何學中是一顆光彩奪目的明珠，被譽為“幾何學的基石”。它是論證幾何的發(fā)端，是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，并導致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起第一次數(shù)學危機，進而大大擴展了數(shù)的范疇和對數(shù)對理解。同時勾股定理在高等數(shù)學和其他科學領(lǐng)域也有著廣泛的應用。

在歷史上，勾股定理影響了很多后來的研究，其中還有一個值得后人銘記的故事。畢達哥拉斯是整數(shù)學派的帶頭人，整數(shù)學派認為整個世界可以被整數(shù)或者整數(shù)之比所描述和刻畫，但整數(shù)學派弟子希伯索斯在勾股定理基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)，若兩個直角邊為1的情況下，斜邊將會是一個大于1而小于2的數(shù)，不能為整數(shù)所描述，直接推翻了整數(shù)學派的根基。

希帕索斯勤奮好學且善于觀察分析和思考。他研究了這樣的問題：“邊長為1的正方形，其對角線的長是多少呢？”希帕索根據(jù)畢達哥拉斯定理，計算是根號2，并發(fā)現(xiàn)根號2既不是整數(shù)，也不是整數(shù)的比。但根據(jù)老師的觀點，根號2是不應該存在的。他把自己的研究結(jié)果告訴了老師，并請求給予解釋。然而畢達哥拉斯不敢承認根號2是一種新數(shù)，否則整數(shù)學派的理論體系將面臨崩潰，最后他采取了錯誤的方式：下令封鎖消息，也不準希帕索斯再研究和談論此事。

希帕索斯通過長時間的思考，認為根號2是客觀存在的，只是老師的理論體系無法解釋它，這說明老師的觀點有問題。后來，他不顧一切地將自己的發(fā)現(xiàn)和看法傳揚了出去，整個學派頓時轟動。畢達哥拉斯惱羞成怒，決定對希帕索斯嚴加懲罰。希帕索斯聽到風聲后，連夜乘船逃走了。然而就在他所乘坐的海船后面追來了幾艘小船，畢達哥拉斯學派的打手出現(xiàn)在他的面前，他被綁上了手腳，扔進到了大海，為根號2的誕生獻出了自己的生命。

然而真理是打不倒的。根號2的出現(xiàn)使人類認識了一類新的數(shù)——無理數(shù)，也使數(shù)學本身發(fā)生了質(zhì)的飛躍。根號2很快就引起了數(shù)學思想的大革命，作為無理數(shù)之父，希帕索斯被后人永遠銘記，他不謂權(quán)威、勇于創(chuàng)新、敢于堅持真理的精神，始終激勵著后來人。

2.3 全英文數(shù)學I課程施教要求

2.3.1 師資力量方面

教師在全英文數(shù)學I課程教學過程中扮演著十分重要的角色，是有效實施全英文數(shù)學I課程教學的核心。全英文數(shù)學I課程教學不僅要求教師具備過硬的專業(yè)知識水平，而且還要具備一定的英語水平，教師在課堂上應恰如其當?shù)貙?shù)學I課程內(nèi)容與英語有機結(jié)合，調(diào)動學生的學習積極性，才能達到較好的學習效果。 全英文數(shù)學I課程的實施，應選派高學歷英文表達能力強的年輕教師組成教學團隊，同時通過資源共享、分工協(xié)作等方式，不斷完善教學資料，互相備課聽課并相互交流溝通，以促進全英文數(shù)學I課程教學水平的提升，并通過網(wǎng)絡(luò)等手段不斷學習，增加知識和英語能力儲備，以滿足留學生教學培養(yǎng)的需要。

2.3.2教材選擇和相應教學方式

全英文數(shù)學I課程教學教材選擇主要有兩種方式，一為全英文原版教材，一為中國教師編寫全英文數(shù)學課程教材，教材的選擇應結(jié)合留學生實際水平進行。相應地，在教學課件準備中，也應符合學生實際情況，教師在制作數(shù)學課件時，除了公式之外，涉及語言表達的地方，盡可能地將英文配套對應在PPT上。在課堂的教學中，全英文數(shù)學I課程教師盡可能地采用英語表達，同時注意觀察學生的接受情況，當學生語言理解較差時，則輔助以符號、圖表、視頻等方式進行解釋說明。

在全英文數(shù)學I課程課堂教學中，可以采取PPT與黑板板書相結(jié)合的方式，黑板板書用于記錄教學內(nèi)容基本框架以及重點難點，同時用于例題的推導與計算。PPT用于每個具體知識點的展開及知識點表格對比的演示。二者相互結(jié)合，各取所長，方便同學們理解和做筆記。另外在課前，可以將本次課所涉及教學內(nèi)容的PPT通過班級群發(fā)給同學們，提醒同學們提前預習和課后復習。教師應保持與留學生有效無障礙溝通渠道，學生可以利用微信等方式與教師積極聯(lián)系，在線解答同學們在自學及做作業(yè)時所存在的疑難問題。

2.3.3作業(yè)完成情況及其他

由于“一帶一路”沿線國家留學生水平參差不齊，部分高校招收的留學生，甚至采取了免試直接入學的方式，進入高校學習的留學生的學習基礎(chǔ)及學習習慣不夠好，學習紀律性沒有中國學生好，課后自覺并按時完成作業(yè)的自覺性很差，課后作業(yè)無法得到保證。而全英文數(shù)學I課程的特點就是學后必須練習，否則等于不學，為了保證留學生能夠按時完成作業(yè)，可以采取每章節(jié)后單元測試的方式，以實現(xiàn)留學生對全英文數(shù)學I課程課后練習題獨立自我練習的目的。學習完一章節(jié)知識點，即將該章節(jié)知識點所對應練習題打印出來，在課堂中讓學生進行練習，并根據(jù)批改情況了解學生主要存在的問題再抽時間進行評講，彌補學生學習不到位的地方。另外在期末考試中，將平時單元測試的試題和知識點，組合融入期末試卷中，以方便學生復習和考試。

3 結(jié)語

“一帶一路”沿線國家來華留學生大量增加，針對留學生教育開設(shè)的全英文課程面臨前所未有的挑戰(zhàn)。針對留學生的全英文教學是我國高等教育改革的一個重要方向，是目前高校教學改革的重要研究課題。數(shù)學I課程是針對留學生全英文教學的基礎(chǔ)數(shù)學課程，推導歸納整理了該課程中的部分數(shù)學公式，以促進留學生針對全英文數(shù)學I課程的學習。

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