四階兩點邊值問題3個對稱正解的存在性

達舉霞

(蘭州財經(jīng)大學長青學院，蘭州 730070)

在彈性力學和工程物理學中，四階常微分方程邊值問題用于刻畫彈性梁的平衡狀態(tài). 目前,關于四階兩點邊值問題與四階多點邊值問題的研究已有很多結(jié)果. 例如，周韶林等[1]運用不動點理論獲得了四階三點邊值問題

u(4)(t)=g(t)f(u(t)) (t[0,1]),

u(0)=u′(0)=u″(β)=u″(1)=0

正解的存在性結(jié)果,這里β[1/3,1]為常數(shù),gC([0,1],[0,+))；達舉霞和韓曉玲[2]運用錐上的不動點定理獲得了非線性奇異四階三點邊值問題

u(4)(t)=a(t)f(t,u(t)) (t[0,1]),

u(0)=u′(η)=u″(1)=u″(0)=0

y″+f(y)=0(0≤t≤1),

y(0)=0=y(1)

對稱正解的存在性,其中f:→[0,+)連續(xù). 近年來，常微分方程邊值問題在理論和應用中起到很大的作用，主要用來描述大量的物理、生物和化學現(xiàn)象及一些結(jié)構(gòu)性變的討論等，且這些都轉(zhuǎn)化為了某種形式的四階邊值問題的研究[4-15].

在文獻[3]的基礎上，本文研究四階兩點邊值問題

u(4)(t)=f(u(t)) (t[0,1]),

u(0)=u(1)=0,u″(0)=u″(1)=0

(1)

正解的存在性,其中f:→[0,+)連續(xù). 在f滿足適當增長條件下,證明了問題(1)在其邊界條件下至少存在3個對稱正解.

1 預備知識

定義1[3]設E是一個實的Banach空間，一個非空閉凸集K?E是E上的一個錐，如果滿足下面2個條件：

(i)若xK,>0,則xK;

(ii)若xK，-xK,則x=0.

定義2[3]若算子A是連續(xù)的且映有界集到列緊集，則稱算子A全連續(xù).

定義3[3]設E是一個實的Banach空間，并設P是E上的錐，對?x,yP,t[0,1]，若有

α(tx+(1-t)y)≥tα(x)+(1-t)α(y)，

則映射α:P→[0,+)是一個凹函數(shù). 相似地，若有

β(tx+(1-t)y)≤tβ(x)+(1-t)β(y)，

則映射β:P→[0,+)是一個凸函數(shù).

設γ、β和θ是P上的非負連續(xù)凸函數(shù)，α、ψ是P上的非負連續(xù)凹函數(shù)，則對正數(shù)h、a、b、d、c，定義如下凸集:

P(γ，c)={xP:γ(x)

P(γ,α,a,c)={xP:a≤α(x),γ(x)≤c}，

Q(γ,β,d,c)={xP:β(x)≤d,γ(x)≤c}，

P(γ,θ,α,a,b,c)={xP:a≤α(x),θ(x)≤b,γ(x)≤c}，

Q(γ,β,ψ,h,d,c)={xP:h≤ψ(x),β(x)≤d,γ(x)≤c}.

下面給出廣義Leggett Williams 不動點定理：

定理1[3]設錐P?E,α和ψ是定義在P上的非負連續(xù)凹函數(shù)且γ、β和θ是定義在P上的非負連續(xù)凸函數(shù),對正數(shù)c和M,有α(x)≤β(x)且‖x‖≤Mγ(x) (x假設是全連續(xù)的,且存在正數(shù)h,d,a,b(0

(i){xP(γ,θ,α,a,b,c):α(x)>a}≠?且α(Ax)>a(xP(γ,θ,α,a,b,c));

(ii){xQ(γ,β,ψ,h,d,c):β(x)

(iii)當α(Ax)>a，有θ(Ax)>b(xP(γ,α,a,c));

(iv)當β(Ax)

則A至少有3個不動點x1,x2,x3使得

β(x1)

2 對稱正解的存在性

考慮問題

u(4)(t)=h(t)

滿足問題(1)條件的格林函數(shù)

(2)

且格林函數(shù)有如下性質(zhì)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

P={uE|u(t)≥0,u(t)=u(1-t),?t[0,1],且u是

2t3‖u‖}.

在此錐P上定義非負連續(xù)凹函數(shù)α、ψ和非負連續(xù)凸函數(shù)β、θ、γ，且

其中，t1、t2和r是非負數(shù)且0

對?uP，有

(9)

(10)

則uP是問題(1)在其邊界條件下的解當且僅當

下面給出本文的主要結(jié)果.

則四階兩點邊值問題(1)有3個對稱正解u1、u2、u3,使得

證明定義全連續(xù)算子A為：

若uP,由G(t,s)性質(zhì)可知,Au(t)≥0且(Au)″(t)≤0(0≤t≤1),Au(t3)≥2t3Au(1/2)，且

Au(t)=Au(t-1)(0≤t≤1)，

從而可得AuP,即A:P→P. 因此,對?uP,由式(9)及式(10),有

設u則由式(3)可得

由定理1可得：

(i)設uQ(γ,β,a,c),有則β(Au)

(ii)設uQ(γ,β,ψ,8a/r3,a,c),則β(Au)

(iii)設uP(γ,α,b,c),有則α(Au)>b. 推導如下：

(iv)設u則α(Au)>b. 推導如下

綜上,由廣義Leggett-Williams不動點定理[16]可得四階兩點邊值問題(1)有3個正解u1,u2,u3使得

α(u1)>b,β(u2)a.