基于指數(shù)平滑
——馬爾科夫模型的新疆居民消費(fèi)水平預(yù)測(cè)及影響因素分析

（新疆財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊市，830012） 王麗娟

1 引言

居民消費(fèi)水平是指居民在物質(zhì)產(chǎn)品和勞務(wù)的消費(fèi)過(guò)程中，對(duì)滿(mǎn)足人們生存、發(fā)展和享受需要方面所達(dá)到的程度[1]。一個(gè)地區(qū)居民的收入可以根據(jù)該地區(qū)的居民家庭消費(fèi)水平來(lái)衡量，消費(fèi)程度越高，該地區(qū)居民收入越高，經(jīng)濟(jì)越發(fā)達(dá)。隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，近年來(lái)新疆居民生活水平大幅提高。因此，對(duì)新疆居民消費(fèi)水平的預(yù)測(cè)具有十分重要的意義。肖良[2]采用時(shí)間序列分析方法，建立季節(jié)性的ARIMA 模型對(duì)居民消費(fèi)水平時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行量化分析，取得了較為理想的預(yù)測(cè)效果；李毅[3]利用灰色預(yù)測(cè)模型對(duì)中國(guó)農(nóng)村居民的消費(fèi)水平進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)，得出中國(guó)農(nóng)村居民消費(fèi)水平繼續(xù)快速增長(zhǎng)的結(jié)論。周雨柔[4]通過(guò)多項(xiàng)式擬合和灰色預(yù)測(cè)模型來(lái)研究和預(yù)測(cè)居民消費(fèi)水平，采用損失函數(shù)的思想對(duì)兩種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果做出評(píng)價(jià)和分析。以上研究大多是經(jīng)過(guò)度多年的經(jīng)驗(yàn)積累，但實(shí)際運(yùn)用中要達(dá)到較高的精度，仍然存在較大的難度。本文采用指數(shù)平滑與馬爾科夫組合預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)精度比指數(shù)平滑法、灰色GM(1，1)模型預(yù)測(cè)精度高，進(jìn)一步利用灰色關(guān)聯(lián)度分析方法對(duì)影響居民消費(fèi)水平的5個(gè)指標(biāo)進(jìn)行灰色關(guān)聯(lián)排序，得出農(nóng)村居民純收入與居民消費(fèi)水平的灰色關(guān)聯(lián)度最大，為了能更好的提高新疆居民的生活水平，本文給出了合理的建議。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 指數(shù)平滑法

由于平滑次數(shù)的不同，指數(shù)平滑法可以分為一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑法和三次指數(shù)平滑法[5]。在三次平滑法的預(yù)測(cè)中，初始值需要確定，一般初始值是由預(yù)測(cè)者估計(jì)得出的。當(dāng)有較多的時(shí)間序列數(shù)據(jù)時(shí)（20個(gè)以上），由于初始值對(duì)預(yù)測(cè)值影響較小，所以可以選擇第一期數(shù)據(jù)作為初始值；當(dāng)有較少的時(shí)間序列數(shù)據(jù)時(shí)（20 個(gè)以下），通常用前3期的實(shí)際值的平均值作為初始值。

式（1）中，yt為第t 年實(shí)際新疆居民消費(fèi)水平；α為平滑系數(shù)，0＜α＜1。三次指數(shù)平滑法的預(yù)測(cè)模型為：

其中，

式（3）中，yt+m為t+m 年的新疆居民消費(fèi)水平的預(yù)測(cè)值，at,bt,ct則分別為第t年的參數(shù)。

在實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)時(shí)間序列的性質(zhì)，α值的選擇在0～1 之間，一般遵循以下原則：（1）如果時(shí)間序列相對(duì)穩(wěn)定并且波動(dòng)不是很顯著，則值應(yīng)該取小一點(diǎn)（如0.1～0.5），以減少修正幅度，使得預(yù)測(cè)模型可以包含更長(zhǎng)的時(shí)間序列信息；（2）如果時(shí)間序列趨勢(shì)波動(dòng)較快，則應(yīng)該稍取大一點(diǎn)（如0.6～0.8）以改善預(yù)測(cè)模型的靈敏度，以跟上數(shù)據(jù)的變化。

2.2 馬爾科夫模型

馬爾科夫模型作為一種分析隨機(jī)時(shí)間序列的方法，可以根據(jù)當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)求下一時(shí)刻狀態(tài)分布概率，獲得下一時(shí)刻狀態(tài)[7]。當(dāng)馬爾科夫過(guò)程從當(dāng)前狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)移到下一時(shí)刻Ej狀態(tài)，在這個(gè)過(guò)程中存在概率轉(zhuǎn)移，稱(chēng)為轉(zhuǎn)移概率。設(shè)mij為狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Ej的次數(shù)，mij為狀態(tài)Ei開(kāi)始轉(zhuǎn)移出現(xiàn)的總次數(shù)，則為狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Ej頻率。pij為狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Ej的一步轉(zhuǎn)移概率，記為[8]。它的表達(dá)式為：

由指數(shù)平滑法初步預(yù)測(cè)結(jié)果相對(duì)誤差的絕對(duì)值，來(lái)劃分狀態(tài)區(qū)間，由此構(gòu)造狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣式（4）。若，設(shè)當(dāng)前狀態(tài)為Ei，則下年的序列將處于Ei狀態(tài)，該狀態(tài)的中點(diǎn)可作為模擬值，并且通過(guò)兩者之間的轉(zhuǎn)移的頻率作為概率的估計(jì)值執(zhí)行加權(quán)計(jì)算來(lái)獲得馬爾科夫校正值。

2.3 灰色關(guān)聯(lián)度

灰色關(guān)聯(lián)分析是灰色理論的一種分析方法，是對(duì)發(fā)展變化系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程進(jìn)行量化分析，能夠更加準(zhǔn)確的反映親疏次序和相互的關(guān)聯(lián)程度?；疑P(guān)聯(lián)分析具體步驟如下[9]：

（3）計(jì)算灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)：

（4）計(jì)算灰色加權(quán)關(guān)聯(lián)度?；疑訖?quán)關(guān)聯(lián)度的公式為：

γ越接近1，說(shuō)明關(guān)聯(lián)程度越大。

3 新疆居民消費(fèi)水平的模型預(yù)測(cè)

對(duì)上述方法及模型的實(shí)用性進(jìn)行進(jìn)行驗(yàn)證，本文數(shù)據(jù)均來(lái)自于《新疆統(tǒng)計(jì)年鑒》。選取新疆1995～2015 年的居民消費(fèi)水平，作為預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)，以此預(yù)測(cè)2017、2018 年的居民消費(fèi)水平，從而驗(yàn)證2018、2019年預(yù)測(cè)結(jié)果的有效性。

3.1 新疆居民消費(fèi)水平的指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)

3.1.1 指數(shù)的確定

應(yīng)用指數(shù)平滑法時(shí)，次數(shù)不同，預(yù)測(cè)的精度也不同，根據(jù)實(shí)際的新疆居民消費(fèi)水平變化的數(shù)據(jù)，如果呈現(xiàn)水平趨勢(shì)時(shí)，則用一次指數(shù)平滑法；若呈現(xiàn)線(xiàn)性趨勢(shì)時(shí)，則應(yīng)使用二次指數(shù)平滑法；如果具有二次曲線(xiàn)趨勢(shì)時(shí)，則應(yīng)使用三次指數(shù)平滑法。由圖1可以看出二次曲線(xiàn)與實(shí)際值的擬合程度較好。因此，選擇建立三次指數(shù)平滑模型。

圖1 數(shù)據(jù)擬合圖

3.1.2 計(jì)算指數(shù)平滑值

由于時(shí)間序列數(shù)據(jù)為21個(gè)，因此選用第一期數(shù)據(jù)為初始值；經(jīng)計(jì)算，由圖2預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的擬合程度，可知α =0.8時(shí)，誤差較小，因此平滑系數(shù)α=0.8。根據(jù)公式（1）可得一次指數(shù)平滑值、二次指數(shù)平滑值、三次指數(shù)平滑值，見(jiàn)表1。

圖2 實(shí)際值與預(yù)測(cè)值擬合圖

3.1.3 計(jì)算平滑系數(shù)

將表1得到的指數(shù)平滑值代入公式（3），因而可計(jì)算得到at,bt,ct，由于本文預(yù)測(cè)2018、2019 年的新疆居民消費(fèi)水平，因此先預(yù)測(cè)2016、2017 年的居民消費(fèi)水平來(lái)驗(yàn)證預(yù)測(cè)2018、2019年居民消費(fèi)水平的可行性，t取21，則有

因此，2016、2017 年新疆居民消費(fèi)水平的三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型為：

表1 指數(shù)平滑值

由式（6）計(jì)算得出，2018、2019年新疆居民消費(fèi)水平的三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)值，見(jiàn)表2?？梢钥闯鱿鄬?duì)誤差絕對(duì)值比較大，因此，仍可提高精度。

表2 指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)的結(jié)果

3.2 新疆居民消費(fèi)水平的馬爾科夫模型

根據(jù)指數(shù)平滑法的預(yù)測(cè)結(jié)果，得到1995～2015年的新疆居民消費(fèi)水平的相對(duì)誤差（表4）。從表中可以看出，指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)值的相對(duì)誤差的絕對(duì)值均小于10%，以0，2%，4%，6%，8%劃分4個(gè)區(qū)間（見(jiàn)表3）。則新疆居民消費(fèi)水平1995-2017 年的相對(duì)誤差絕對(duì)值的所在狀態(tài)區(qū)間[10-12]（見(jiàn)表4）。

表3 狀態(tài)區(qū)間

根據(jù)表4 狀態(tài)區(qū)間的劃分結(jié)果，從而可得一步轉(zhuǎn)移概率矩陣與二步轉(zhuǎn)移概率矩陣，如下：

由表4 可知，2015 年的狀態(tài)為E2，則2016 年的序列轉(zhuǎn)為E1 狀態(tài)的概率為0.50，取該E1 狀態(tài)的中點(diǎn)1%作為模擬值，利用狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移的頻率作為概率的估計(jì)值進(jìn)行加權(quán)運(yùn)算，從而得到2016年新疆居民消費(fèi)水平為15 688.22 元。同理，2017 年的狀態(tài)轉(zhuǎn)為E2的概率為0.38，取E2狀態(tài)的中點(diǎn)3%作為模擬值[12]，利用狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移的頻率作為概率的估計(jì)值進(jìn)行加權(quán)運(yùn)算，可求得2019年新疆居民消費(fèi)水平為16 953.67元。指數(shù)平滑法、灰色GM(1，1)模型、馬爾科夫模型修正的預(yù)測(cè)結(jié)果比較（見(jiàn)表5）。由表可知，本文修正方法預(yù)測(cè)結(jié)果較好。

由表5 可以看出，本文的預(yù)測(cè)結(jié)果較好。因此可用此方法來(lái)預(yù)測(cè)2018、2019 年的居民消費(fèi)水平。同理，建立2018、2019 年新疆居民消費(fèi)水平的三次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型為：

表4 相對(duì)誤差和狀態(tài)區(qū)間

表5 預(yù)測(cè)結(jié)果比較

同理，由2016、2017 年居民消費(fèi)水平的馬爾科夫模型修正，可得2018、2019 年居民消費(fèi)水平預(yù)測(cè)值，其結(jié)果具有一定的可信度。

表6 預(yù)測(cè)結(jié)果

4 新疆居民消費(fèi)水平影響因素研究

影響居民消費(fèi)水平的因素比較多，比如，收入水平，商品價(jià)格、地區(qū)生產(chǎn)總值、消費(fèi)者偏好、利率水平、風(fēng)俗習(xí)慣、消費(fèi)者年齡等等多方面的影響?？紤]到數(shù)據(jù)的可收集性，本文選取以下影響因素。以新疆居民消費(fèi)水平y(tǒng) 為參考序列，地區(qū)生產(chǎn)總值x1，年末人口總數(shù)x2，城鎮(zhèn)居民人均可支配收入x3，農(nóng)村居民人均純收入x4，消費(fèi)價(jià)格指數(shù)x5（上年=100）為比較序列。

γi越接近1，說(shuō)明關(guān)聯(lián)程度越大。選取了2005～2014年的數(shù)據(jù)進(jìn)行灰色關(guān)聯(lián)度排序，表7為各個(gè)指標(biāo)的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)，以第一年的數(shù)據(jù)為x（1）進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，最終得到各個(gè)相關(guān)因素的排序結(jié)果為：農(nóng)村居民人均純收入＞地區(qū)生產(chǎn)總值＞城鎮(zhèn)居民人均可支配收入＞年末人口總數(shù)＞消費(fèi)價(jià)格指數(shù)，消費(fèi)價(jià)格指數(shù)與居民消費(fèi)水平的灰色關(guān)聯(lián)度最小，農(nóng)村居民人均純收入與居民消費(fèi)水平灰色關(guān)聯(lián)度最大，為0.8 612，其次是地區(qū)生產(chǎn)總值。

這表明近10年中，新疆的居民消費(fèi)水平與農(nóng)村居民純收入、地區(qū)生產(chǎn)總值等有著很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)程度，但從數(shù)據(jù)上看，農(nóng)村居民純收入依然占比較低，地區(qū)生產(chǎn)總值、城鎮(zhèn)居民人均可支配收入占比較高。居民消費(fèi)水平與經(jīng)濟(jì)的發(fā)展程度密切關(guān)聯(lián)，因此，在未來(lái)新疆經(jīng)濟(jì)不斷增長(zhǎng)的過(guò)程中，應(yīng)更加注重農(nóng)村居民收入的提高，為新疆可持續(xù)發(fā)展做出長(zhǎng)遠(yuǎn)的計(jì)劃，使經(jīng)濟(jì)持續(xù)穩(wěn)步增長(zhǎng)。

5 結(jié)論及建議

表7 新疆居民消費(fèi)水平與相關(guān)因素關(guān)聯(lián)度匯總

通過(guò)指數(shù)平滑法、灰色GM(1，1)模型、指數(shù)平滑法與馬爾科夫模型組合預(yù)測(cè)新疆居民消費(fèi)水平預(yù)測(cè)可知，本文的組合預(yù)測(cè)模型的精度較高，由預(yù)測(cè)結(jié)果可知新疆居民消費(fèi)水平呈現(xiàn)不斷上升的趨勢(shì)。并對(duì)影響新疆居民消費(fèi)水平的相關(guān)因素進(jìn)行灰色關(guān)聯(lián)度分析，由此可知，農(nóng)村居民純收入與居民消費(fèi)水平灰色關(guān)聯(lián)度最大，地區(qū)生產(chǎn)總值次之，消費(fèi)價(jià)格指數(shù)與居民消費(fèi)水平灰色關(guān)聯(lián)度最小，為了能提高新疆居民的生活水平，本文給出了幾點(diǎn)建議：

（1）農(nóng)村居民收入來(lái)源單一，自然條件對(duì)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)影響較大，農(nóng)業(yè)種植結(jié)構(gòu)不合理等成為制約農(nóng)民增加收入的主要原因。因此，應(yīng)該加強(qiáng)農(nóng)民科學(xué)種田的指導(dǎo)力度。

（2）新疆農(nóng)業(yè)多以瓜果為主，應(yīng)該防止“谷賤傷農(nóng)”，進(jìn)行價(jià)格保護(hù)，設(shè)定最底收購(gòu)價(jià)，以此來(lái)增加農(nóng)民的收入。

（3）推進(jìn)農(nóng)產(chǎn)品加工廠(chǎng)的建造，既解決農(nóng)民的就業(yè)，也可增加收入。

（4）建立農(nóng)業(yè)合作社，為農(nóng)戶(hù)提供相關(guān)農(nóng)業(yè)政策信息、技術(shù)指導(dǎo)、資金支持等。