淺談信號(hào)與系統(tǒng)課程中的譜概念

楊利軍 楊曉藝 趙晨萍

[摘 要]在信號(hào)與系統(tǒng)課程中，存在多個(gè)與譜有關(guān)的概念，例如頻譜分析、幅度譜、相位譜、能量譜和功率譜等，在教學(xué)過(guò)程中，這些概念常常讓學(xué)生感到疑惑，不清楚在什么情況下使用合適的概念去分析信號(hào)。針對(duì)該問(wèn)題，項(xiàng)目組對(duì)信號(hào)與系統(tǒng)課程中出現(xiàn)的譜概念進(jìn)行總結(jié)歸納，并給出相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)分析，幫助學(xué)生理清這些與譜相關(guān)的概念之間的關(guān)系，為其學(xué)習(xí)起到一定的指導(dǎo)幫助作用。

[關(guān)鍵詞]信號(hào)與系統(tǒng);頻譜分析;幅度譜;相位譜;能量譜;功率譜

[中圖分類號(hào)] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2021）02-0115-03

信號(hào)與系統(tǒng)課程是電專業(yè)和非電專業(yè)（如通信與信息系統(tǒng)、自動(dòng)控制、電子信息、信號(hào)與信息處理、計(jì)算機(jī)和生物醫(yī)學(xué)工程等學(xué)科專業(yè)）本科生必選的專業(yè)基礎(chǔ)課。該課程屬于理論和應(yīng)用背景都比較強(qiáng)的專業(yè)基礎(chǔ)課。Fourier級(jí)數(shù)和Fourier變換是信號(hào)與系統(tǒng)課程中的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，在信號(hào)分析領(lǐng)域占據(jù)著舉足輕重的地位。

一、Fourier級(jí)數(shù)和Fourier變換[1]

我們知道，對(duì)于周期為[T]的周期函數(shù)[f（t）]，當(dāng)它滿足狄里赫利（Dirichlet）條件時(shí)，可以展開(kāi)成如下形式的Fourier級(jí)數(shù)：

絕對(duì)可積是函數(shù)Fourier變換存在的充分條件而非必要條件，引入廣義函數(shù)的概念后，許多不滿足絕對(duì)可積條件的函數(shù)也能進(jìn)行Fourier變換。

所謂的頻譜分析，也稱為頻域分析，是指通過(guò)Fourier變換將信號(hào)變換到頻率域內(nèi)對(duì)其進(jìn)行分析，分析的工具是以頻率[ω]為自變量的各種物理量，幅度譜、相位譜、能量譜和功率譜就是這樣的物理量，對(duì)信號(hào)的頻譜分析其中就包含了對(duì)這些譜函數(shù)性質(zhì)的研究。

二、幅度譜、相位譜、能量譜和功率譜

由上述（1）式可知，周期信號(hào)[f（t）]可分解為許多虛指數(shù)信號(hào)[ejnΩt]之和，其對(duì)應(yīng)各分量的幅度為[Fn]，而[Fn]為復(fù)數(shù)，因此可寫為

從而，幅值[Fn]、相位角[φn]均為[n]或（[nΩ]）的函數(shù)，分別稱為周期信號(hào)[f（t）]的幅度譜（也稱為振幅譜）和相位譜，其含義為幅度譜[Fn]刻畫了不同頻率分量（頻率[nΩ]隨[n]的變換而變化）的幅值隨頻率的變化情況，相位譜[φn]刻畫了不同頻率分量的初相隨頻率的變化情況。易知，[ Fn]為雙邊譜，且周期信號(hào)的幅度譜和相位譜均為離散函數(shù)。

由（3）式，非周期信號(hào)[f（t）]也可近似看作是分解為不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)[ejωt]之和，與（1）式不同之處在于這里的頻率[ω]取連續(xù)值，稱[Fjω]為[ f（t）]的頻譜密度函數(shù)或頻譜函數(shù)，[Fjω]是一個(gè)復(fù)函數(shù)，可寫為

稱[|Fjω|]為非周期信號(hào)[f（t）]的幅度譜，[φω]稱為非周期函數(shù)[f（t）]的相位譜。由于這里的頻率[ω]取連續(xù)值，因此非周期信號(hào)的幅度譜和相位譜均為頻率的連續(xù)函數(shù)。

要理清能量譜和功率譜這兩個(gè)概念，需要先弄清楚能量信號(hào)和功率信號(hào)這兩個(gè)概念。根據(jù)教材[1]，信號(hào)能量定義為在區(qū)間[（-∞，+∞）]中信號(hào)[f（t）]的能量，用字母[E]表示，即

若對(duì)于信號(hào)[f（t）]，其能量滿足[0

能量譜（也稱為能量譜密度）是針對(duì)能量信號(hào)而言的，是指用密度的概念表示信號(hào)能量在各頻率點(diǎn)的分布情況。能量信號(hào)[f（t）]的能量譜是該信號(hào)幅度譜的模的平方：

著名的Parseval定理（也稱為能量守恒定理）告訴我們，信號(hào)的時(shí)頻域能量相等，即如下式成立

從而對(duì)能量譜在頻域上積分就可以得到信號(hào)的能量。

功率譜（也稱為功率密度函數(shù)）是針對(duì)功率信號(hào)而言，是指用密度的概念表示信號(hào)功率在各頻率點(diǎn)的分布情況。由于功率為能量在所作用時(shí)間上的平均，因此功率譜在定義的時(shí)候需要借助截尾函數(shù)[fTt：]

則功率信號(hào)[f（t）]的功率譜密度定義為

其中[FT（jω）]為信號(hào)[fTt]的Fourier變換。功率譜的推導(dǎo)公式相對(duì)復(fù)雜，但根據(jù)維納-辛欽定理可知：信號(hào)的功率譜和信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)傅里葉變換對(duì)，因此可以通過(guò)自相關(guān)函數(shù)來(lái)求功率譜[2]。

對(duì)于非周期的確定性信號(hào)（為能量信號(hào)），常用能量譜來(lái)描述。而對(duì)于隨機(jī)信號(hào)（為功率信號(hào)），由于持續(xù)期時(shí)間無(wú)限長(zhǎng)，不滿足絕對(duì)可積與能量可積的條件，因此不存在傅立葉變換，所以通常用功率譜來(lái)描述。周期性的信號(hào)，也同樣是不滿足傅里葉變換的條件，因而常用功率譜來(lái)描述。只有如單頻正弦信號(hào)等很少的特殊的信號(hào)，在引入[δ]（delta）函數(shù)之后，才可以求解信號(hào)的傅里葉變換。

三、實(shí)驗(yàn)分析

在本小節(jié)，我們基于MATLAB軟件給出相關(guān)譜概念的實(shí)例，從可視化的角度理解這些概念。由于能量譜是幅度譜的平方，因此，這里只給確定性信號(hào)的幅度譜和相位譜，以及隨機(jī)信號(hào)的功率譜的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

實(shí)驗(yàn)1 繪制信號(hào)[gt=0.5sin40πt+2sin （80πt）]的幅度譜。

在本例中，采樣頻率為[fs=100Hz]。圖1（a）給出了信號(hào)[g（t）]的頻率在[0～50Hz]范圍（奈奎斯特采樣頻率為[50Hz]）的幅度譜圖，從圖中可以清晰識(shí)別到信號(hào)的兩種頻率成分：[20Hz]和[50Hz]。圖1（b）是對(duì)應(yīng)的相位譜圖。

本實(shí)驗(yàn)的MATLAB的代碼如下：

圖2中，雖然信號(hào)受到了隨機(jī)噪聲的干擾，信號(hào)[h（t）]的譜圖有很多毛刺，但從功率譜圖上還是可以清晰識(shí)別出信號(hào)的兩種頻率成分：20Hz和50Hz。本實(shí)驗(yàn)利用了維納-辛欽定理來(lái)計(jì)算信號(hào)的功率譜。

本實(shí)驗(yàn)的MATLAB代碼如下：

四、結(jié)論

本文針對(duì)信號(hào)與系統(tǒng)課程中學(xué)生易混淆的幾個(gè)與譜相關(guān)的概念進(jìn)行總結(jié)歸納，并給出相應(yīng)的MATLAB實(shí)驗(yàn)可視化地理解這些概念，便于學(xué)生理清相關(guān)譜的概念以及各概念之間的關(guān)系，指導(dǎo)幫助學(xué)生的課程學(xué)習(xí)。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 吳大正主編.信號(hào)與線性系統(tǒng)分析[M].第四版.北京：高等教育出版社，2005.

[2] Alan V Oppenheim，Alan S Nillsky，S Hamid Nawab.信號(hào)與系統(tǒng)[M].第二版.劉樹(shù)堂，譯.北京：電子工業(yè)出版社，2013.

[3] 鄭君里，谷源濤.試談“信號(hào)與系統(tǒng)”課程理論與實(shí)踐之結(jié)合[J].電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2014（3）：1-5.

[4] 王法松.“信號(hào)與系統(tǒng)”課程中關(guān)于信號(hào)相位譜的分析[J].微型電腦應(yīng)用，2018（9）：1-3.

[5] 孫明.基于GUI的周期信號(hào)頻譜分析演示系統(tǒng)設(shè)計(jì)[J].實(shí)驗(yàn)室科學(xué)與技術(shù)，2018（1）：18-21.

[責(zé)任編輯：黃緊德]