王 振 謝 清
(安徽文達信息工程學(xué)院,安徽 合肥 230039)
定理1.1[1]:設(shè)K為一個二次域,則必有對于K的代數(shù)整數(shù)環(huán) kO 有:當
當時,
定理1.2[3]:設(shè)K是代數(shù)數(shù)域,OK為K的代數(shù)整數(shù)環(huán),且類數(shù)為h(k),則:
定理1.3[1]:設(shè)M滿足唯一分解整環(huán),從而對于整數(shù)k≥2以及α,β∈M(α,β)=1,當αβ=γk.k∈M時,必有:
其中ε1,ε2兩個元素是M中的單位元素,而且ε1ε2=εk。
證明方程1
無整數(shù)解。
分解(1.1)式可知:
整理等式(1.3)可得:
由等式性質(zhì)比較兩邊系數(shù)易知:
若b=±1,代入2.6式得,與矛盾。
若b=±2 , ± 22由于a≡b(mod 2)同奇同偶,從而由等式(1.6)式得:
綜合以上證明可知方程(1.1)無整數(shù)解。
證明方程2
無整數(shù)解。
分解(1.7)式可知:
整理等式(1.9)可得:
由等式性質(zhì)比較兩邊系數(shù)易知
由等式(1.12)式知:b=±1 ,±2 ,± 22
若b=±1 ,代入(1.12)式可得3a2= 63或71,顯然a?Z與a Z∈ 矛盾。
若b=±2 , ± 22由于a≡b(mod 2)同奇同偶,從而由1.12式得:
左邊22≡22(mod 23)右邊b(3a2-67b2)≡0 (mod 23) 矛盾
從而丟番圖方程(1.7)式無整數(shù)解。