淺談數(shù)學(xué)建模在探究小學(xué)“工程問題”中的應(yīng)用

■廈門市故宮小學(xué) 何雪琴

說起“工程問題”也許大家腦海里還會有蓄水池水管注水和放水的困惑，由于外界的爭議，“工程問題”曾退出小學(xué)數(shù)學(xué)的舞臺，2011年頒布新課程標(biāo)準(zhǔn)后，重新修訂教科書，2013年數(shù)學(xué)人教版教科書又新加入“工程問題”。這一退一進之間，彰顯“工程問題”的數(shù)學(xué)價值。它是“分數(shù)除法”這一單元的最后一個例題，是學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)分數(shù)相關(guān)知識后對分數(shù)認識的又一次升華，是體現(xiàn)分數(shù)抽象性的最好素材，也是用“假設(shè)法解決問題”最典型的例子，更是滲透模型思想的活動載體。通過課前調(diào)查，我發(fā)現(xiàn)有很多同學(xué)已經(jīng)會用“1”作總量進行列式計算了（看過書或課外學(xué)過）。然而，學(xué)生會根據(jù)模型列式解答，不代表他們都已真正理解模型。在學(xué)生暴露學(xué)情后，我們將課堂重心轉(zhuǎn)向引導(dǎo)學(xué)生把現(xiàn)實問題“模型化”的過程，開啟對工程問題的深度探索。

一、“充分閱讀，合理估測”觸摸建模起點

第一次教學(xué)這個例題，教學(xué)探究部分我們設(shè)計的第一環(huán)節(jié)重點是“閱讀信息，大膽猜想”，旨在深度閱讀為建模做充分的準(zhǔn)備。問題情境：一隊單獨修需要12天修完，二隊單獨修需要18天，那兩隊合修，需要多少天呢？面對這個問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考一隊單獨修可以12天完成，從而可以判斷出，他們合作修的天數(shù)一定小于12天。當(dāng)然，這只是我們的猜想，數(shù)學(xué)不能光靠猜想，必須還要通過正確的方法來驗證。試想把“猜想”升級為“估測”，估測的思維過程是激活原有的知識、經(jīng)驗與實際問題結(jié)合起來，不斷假設(shè)或推翻設(shè)想的高級思維活動?！肮罍y”作為算術(shù)估計的組成部分之一，是國際基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育改革重要的內(nèi)容。在第二次教學(xué)時我們把“大膽猜測”改為“合理估測”，嘗試引導(dǎo)學(xué)生在“合理估測”中對“工效”“工作總量”“工作時間”“效率”進行理解，為數(shù)學(xué)建模做充分的準(zhǔn)備。學(xué)生從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，發(fā)現(xiàn)和提出問題，是數(shù)學(xué)建模的起點。到第二次教學(xué)這個環(huán)節(jié)時，我的重心改為“充分閱讀，合理估測”。學(xué)生的合理估測離“數(shù)學(xué)建?！备M一步。

還是同樣的情境，如果給你一條數(shù)軸0——6——12根據(jù)你的估測兩隊合作完成的天數(shù)大約在數(shù)軸的什么位置？說說你的理由。這又進入了引導(dǎo)學(xué)生估算環(huán)節(jié)。

二、“大膽假設(shè)、嘗試解決”夯實建?；A(chǔ)

在“充分閱讀，合理估測”的鋪墊下鼓勵學(xué)生自主探究“合作需要幾天完成呢？”自己嘗試解決后學(xué)生匯報環(huán)節(jié)非常精彩，據(jù)統(tǒng)計學(xué)生的假設(shè)法就有十幾種。假設(shè)法大致分為三類：假設(shè)這條路的總長是12、18的公倍數(shù)的（36米、180米、360米……）占全班人數(shù)60%；假設(shè)這題路為字母（a米、x米）占全班人數(shù)的4%，假設(shè)為這條路的總路程為“1”占全班人數(shù)的25%。歸納推理是特殊情況下作出一般結(jié)論，是一種基于推斷的推理。在小學(xué)數(shù)學(xué)中我們使用最多的是簡單枚舉推理，從個別或者特殊事物出發(fā)概括出結(jié)論的思維方法，學(xué)生假設(shè)這條路的總長不同，計算結(jié)果相同，那是不是無論這條路的總長設(shè)成多少，得到的答案都一樣？變換幾個不是12和18的公倍數(shù)的數(shù)試試后學(xué)生又引入字母，讓字母參與運算，得到的結(jié)論更加嚴謹，更有說服力。

三、“交流討論，自主抽象”提取數(shù)學(xué)模型

在學(xué)生匯報后根據(jù)學(xué)生反饋把典型數(shù)據(jù)通過課件整理成表格的形式，通過解決辦法的觀察，從表格數(shù)據(jù)學(xué)生在“變中找不變”中提取數(shù)學(xué)模型，在表格整理數(shù)據(jù)之后設(shè)計線段圖幫助學(xué)生抽象解題題結(jié)構(gòu)。在學(xué)生觀察數(shù)據(jù)并分析模型背后的算理的基礎(chǔ)上，教師逐漸引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題模型。數(shù)學(xué)模型是一種數(shù)學(xué)形式表達，我們的任務(wù)是求解模型，在求解模型過程中讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)模型的意義，也就是理解數(shù)學(xué)知識。建模過程是學(xué)生獲得知識技能的過程也是思想方法等經(jīng)驗積累的過程，在這個環(huán)節(jié)中，學(xué)生通過觀察、分析、抽象、概括等數(shù)學(xué)活動完成模式抽象，把復(fù)雜的實際問題簡單化，抽象成合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

四、“舉一反三，觸類旁通”應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，可利用具體實例說明，通過實例來幫助理解抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，通過典型的問題解決帶動相關(guān)問題的解決，由一個到一類，觸類旁通應(yīng)用所得到的數(shù)學(xué)模型去解決問題。教師可以在習(xí)題中安排運輸問題、行程問題、泄洪問題作為抽象數(shù)量關(guān)系的現(xiàn)實載體，通過解決此類問題、透過各種現(xiàn)實表象，找出隱藏其后的數(shù)學(xué)模型，將模型解答和現(xiàn)實生活進行對照檢驗，根據(jù)檢驗結(jié)果對解答進行修訂，得到滿足現(xiàn)實問題的優(yōu)化解答。數(shù)學(xué)模型是一種數(shù)學(xué)表達方式，并不能解決問題，如果一味地用所獲的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)去解決實際問題，那么生搬硬套的“套路化”的解題會限制了學(xué)生的思維。為了化解“模型化”后“套路化”解題的矛盾，我們設(shè)計這樣的課后練習(xí)，通過對練習(xí)的辨析進一步理解數(shù)學(xué)模型的意義，活用數(shù)學(xué)模型解決同類問題，加深對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的理解。例如同類型題目，一條公路，甲隊3天修了，乙隊4天修兩隊合修幾天修全長的練習(xí)的編排給我們解釋理解模型提供很好素材，模型背后的數(shù)理是：工作總量÷工作效率=工作時間；工作總量÷工效和=合作時間。通過練習(xí)對已經(jīng)學(xué)得的數(shù)學(xué)模型在不同情境下進一步應(yīng)用，在應(yīng)用過程中，促進學(xué)生把學(xué)習(xí)的知識、學(xué)習(xí)的能力、感悟到的思想方法進行內(nèi)化，成為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

“工程問題”重新編排到新人教版教材應(yīng)避免不斷變式深挖，教學(xué)的重點轉(zhuǎn)向通過例題的學(xué)習(xí)積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗，讓學(xué)生形成發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，會找變中有不變背后的數(shù)學(xué)模型。模型思想的教學(xué)不是教知識點，而是滲透模型思想，需要經(jīng)歷一個復(fù)雜漫長的積累領(lǐng)悟的過程。我們旨在建模和實際應(yīng)用過程中促進學(xué)生能力發(fā)展。