受春秋戰(zhàn)國史實(shí)啟發(fā)的帝國競爭改進(jìn)算法

王貴林，李 斌

（福建工程學(xué)院交通運(yùn)輸學(xué)院，福州 350118）

（*通信作者電子郵箱whutmse2007_lb@126.com）

0 引言

Gargari 等［1］于2007 年提出了帝國競爭算法（Imperialist Competitive Algorithm，ICA），其靈感源于人類社會(huì)帝國殖民競爭機(jī)制，是一種完全受社會(huì)行為啟發(fā)的群體隨機(jī)優(yōu)化搜索算法。該算法自提出后，已在不同領(lǐng)域得到廣泛研究應(yīng)用。例如，Bernal 等［2］探討了ICA 在數(shù)學(xué)函數(shù)優(yōu)化中的應(yīng)用；陳孟輝等［3］、Liu 等［4］、張清勇等［5］分別運(yùn)用ICA 求解旅行商問題、非線性約束優(yōu)化問題和異構(gòu)工廠分布式并行機(jī)調(diào)度問題；Fan等［6］、Khalilnejad 等［7］、顏波等［8］基于ICA，分別對起重機(jī)金屬結(jié)構(gòu)、風(fēng)力/光伏混合電解槽和多產(chǎn)品供應(yīng)鏈設(shè)計(jì)過程進(jìn)行了優(yōu)化；Hasanzade-Inallu 等［9］、劉敬浩等［10］將ICA 與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合，分別用于預(yù)測混凝土梁的抗剪強(qiáng)度、構(gòu)造入侵檢測模型；Illias等［11］、李明等［12］使用ICA估算微變壓器參數(shù)、實(shí)現(xiàn)高維多目標(biāo)柔性作業(yè)車間調(diào)度。原始ICA 局部搜索能力較強(qiáng)，收斂快，但由于群體多樣性在迭代過程中降低過快、帝國之間缺乏有效的信息交互等問題，容易“早收早斂”，特別是在優(yōu)化高維多模問題時(shí)，易陷入局部最優(yōu)。

針對上述問題，國內(nèi)外已有許多學(xué)者對ICA 的性能改進(jìn)以及實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行了大量的研究，也取得了一定的進(jìn)展。例如，算法的提出者Gargari［13］給出了改進(jìn)算法的Mathlab 源代碼，調(diào)整了殖民地的權(quán)值，增加了殖民地革命和帝國合并機(jī)制；郭秀萍等［14］引入變鄰域搜索，增加了種群多樣性，改善了解的質(zhì)量并提高了算法效率；Bahrami等［15］利用混沌映射來調(diào)整殖民地向帝國位置的運(yùn)動(dòng)角度；Lin等［16］用人工產(chǎn)生國家取代較弱的帝國主義國家，以此來增強(qiáng)帝國之間的信息交互；Ardeh 等［17］通過引入探索者和保留策略的概念，采用動(dòng)態(tài)種群機(jī)制對原算法進(jìn)行了改進(jìn)；Xu 等［18］引入高斯變異、柯西變異和萊維變異等變異算子來改變帝國主義者行為；郭婉青等［19］采用微分進(jìn)化算子和克隆進(jìn)化算子增強(qiáng)殖民地之間、帝國之間的信息交互。這些改進(jìn)方案主要采用調(diào)整算法流程、引入隨機(jī)因素、融合其他算法等方式實(shí)現(xiàn)，雖然在不同程度上提升了算法的尋優(yōu)性能和穩(wěn)定性，但普遍缺乏對核心運(yùn)行機(jī)制的研究改進(jìn)，難以從根本上解決ICA 存在的問題；沒有加入判斷并跳出局部最優(yōu)的方案，限制了算法對高維多模函數(shù)的適用性；同時(shí)，個(gè)別復(fù)雜因子的引入也在一定程度上降低了算法的運(yùn)行效率。

本文借鑒中國歷史上春秋戰(zhàn)國時(shí)期諸侯國競爭稱霸的行為對ICA 進(jìn)行改進(jìn)，命名為受春秋戰(zhàn)國史實(shí)啟發(fā)的帝國競爭改進(jìn)算法（Improved ICA Inspired by Spring and Autumn Period，SAICA），探索解決原始ICA 受初始國家影響大、帝國間缺乏有效信息交互、容易早收早斂等問題。通過在標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)和CEC2017 測試函數(shù)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對比，驗(yàn)證了改進(jìn)算法的全局搜索、穩(wěn)定性及跳出局部最優(yōu)能力。經(jīng)Kendall相關(guān)性分析顯示，改進(jìn)算法與原始算法具有顯著差異性，且同化過程的改進(jìn)措施發(fā)揮了關(guān)鍵的作用。

1 帝國競爭算法

ICA 的基本流程如圖1 所示，可歸納為國家初始化、殖民地同化、帝國競爭、國家匯聚四個(gè)流程。

1.1 國家初始化

定義初始國家為：

與遺傳算法每一個(gè)向量代表一個(gè)染色體不同的是，數(shù)列中的每一維代表國家的一個(gè)特征。

國家的勢力值由所求的函數(shù)值來表示，即：

算法開始時(shí)，隨機(jī)產(chǎn)生Npop個(gè)初始國家，并根據(jù)勢力大小劃分為兩種類型：勢力最大的前Nimp個(gè)國家為宗主國，其余的為殖民地國家，按照下列流程，根據(jù)宗主國的勢力來劃分殖民地的歸屬國。

1）根據(jù)各個(gè)帝國對應(yīng)的函數(shù)值cn，計(jì)算帝國主義國家的歸一化勢力值Cn：

2）計(jì)算歸一化勢力的相對值Pn，以此得出每個(gè)帝國占有殖民地的初始數(shù)量NCn：

其中：Ncol表示殖民地國家的數(shù)目；round{}為四舍五入取整函數(shù)。

3）將所有殖民地國家隨機(jī)分配到各宗主國，組成初始的Nimp個(gè)帝國。

圖1 帝國競爭算法流程Fig.1 Fowchart of ICA

1.2 殖民地同化

宗主國為了便于管轄其擁有的殖民地國家，需要在政治、經(jīng)濟(jì)、文化等各方面進(jìn)行殖民同化，算法通過殖民地向宗主國移動(dòng)來表示，其移動(dòng)過程如圖2所示。

其中：x表示移動(dòng)距離；d表示殖民地和宗主國間的距離；β為移動(dòng)參數(shù)，取值大于1 使殖民地國家能從前后方向朝宗主國靠近；為了擴(kuò)大搜索范圍，加入一個(gè)隨機(jī)的角度偏移參數(shù)θ，其中γ值一般為π4。

圖2 殖民地移動(dòng)過程Fig.2 Colony moving process

在同化過程中，如果移動(dòng)后某個(gè)殖民地勢力大于其宗主國，則殖民地和宗主國互換位置，帝國中的其他殖民地向新宗主國的位置移動(dòng)。這個(gè)過程確保了宗主國的位置在尋優(yōu)過程中始終保持相對最優(yōu)。

1.3 帝國競爭

所有宗主國都想要占領(lǐng)其他宗主國的殖民地以增強(qiáng)帝國的勢力，這種競爭機(jī)制使強(qiáng)大的帝國更加強(qiáng)大，弱小的帝國將逐漸衰落，直至消亡。原始ICA 選取最弱帝國中的最弱殖民地作為帝國競爭的對象，所有帝國都有機(jī)會(huì)占有這個(gè)殖民地國家，且帝國勢力越大，占有的概率越大。

帝國勢力值TCn的計(jì)算方法如下：

其中：Cost(imperialistn) 為宗主國的歸一化勢力值；Cost(colonies)為帝國所轄殖民地的歸一化勢力值；mean{}為均值函數(shù)；ξ表示殖民地占帝國勢力的權(quán)重值?？梢钥闯?，帝國總勢力值為宗主國及其所轄殖民地的勢力值之和。

1.4 國家匯聚

競爭過程中，勢力較弱的帝國因失去殖民地而越發(fā)弱小，直至所有殖民地被其他帝國所占有，則該帝國滅亡。

經(jīng)過多次迭代，帝國相繼滅亡，在理想狀態(tài)下，最后僅留存唯一一個(gè)統(tǒng)轄所有殖民地的國家。此時(shí)，所有國家都匯聚于一點(diǎn)，宗主國和殖民地的勢力值完全相同，算法結(jié)束。

2 受春秋戰(zhàn)國史實(shí)啟發(fā)的帝國競爭改進(jìn)算法

2.1 春秋戰(zhàn)國歷史背景

春秋戰(zhàn)國時(shí)期（公元前770 年—公元前221 年）又稱東周時(shí)期。周朝初期，周王朝把宗室和功臣分封到各個(gè)戰(zhàn)略要地或王室周圍，以達(dá)到屏藩王室和開疆拓土的職責(zé)，從而形成了上千之多的諸侯國。春秋初期，平王東遷洛陽，周室開始衰微，中原各國也因社會(huì)經(jīng)濟(jì)條件不同，國家間爭奪霸主的局面逐漸顯現(xiàn)。大國依靠強(qiáng)大的政治軍事力量，不斷侵吞兼并小國，強(qiáng)化勢力范圍；小國也通過變革、合并等方式以期獲得一定的生存空間。經(jīng)過二三百年，至春秋后期，僅剩下幾十個(gè)較大的諸侯國。到戰(zhàn)國時(shí)期，形成七雄爭霸的格局，直至秦滅六國，統(tǒng)一天下。

在這段歷史時(shí)期，一種奇特的外交策略應(yīng)運(yùn)而生——“合縱連橫”。即在國家斗爭過程中，較弱的國家為了生存，互相聯(lián)合借以抵抗強(qiáng)大國家的侵襲。抵抗一經(jīng)失敗，又紛紛投靠強(qiáng)國以圖自保，形成了“合眾弱以攻一強(qiáng)”的“合縱”策略及“事一強(qiáng)以攻眾弱”的“連橫”策略。

2.2 改進(jìn)的帝國競爭算法

ICA 模擬帝國競爭機(jī)制，通過非最優(yōu)解向較優(yōu)解靠近、較優(yōu)解的位置更新、競爭匯聚等實(shí)現(xiàn)尋優(yōu)能力。SAICA 在保留ICA核心思想基礎(chǔ)上，提出了三種改進(jìn)措施，具體步驟如下：

1）初始化設(shè)置，包括初始國家數(shù)量Npop、帝國數(shù)量Nimp、殖民地?cái)?shù)量Ncol、移動(dòng)參數(shù)值β、迭代次數(shù)。

2）隨機(jī)產(chǎn)生初始國家，按照歸一化勢力值區(qū)分強(qiáng)國和弱國，強(qiáng)國直接保留，弱國聯(lián)合產(chǎn)生新的國家。新國家勢力值的大小將決定其取代已有強(qiáng)國或被淘汰，最后留存的國家進(jìn)入帝國競爭。

3）由勢力最強(qiáng)的Nimp個(gè)國家擔(dān)任宗主國分別組成帝國，并占有相應(yīng)比例的殖民地。帝國內(nèi)部的每個(gè)殖民地各特征向量分別向宗主國對應(yīng)的特征向量移動(dòng)靠近，移動(dòng)過程中如果殖民地勢力值大于宗主國，則取而代之，其他殖民地向新的宗主國移動(dòng)。

4）計(jì)算帝國總歸一化勢力值，最弱帝國的最弱殖民地將被其他帝國占有，占有概率與帝國勢力成正比。殖民地為零的帝國將淘汰滅亡。

5）連續(xù)出現(xiàn)相同最優(yōu)值則判斷是否陷入局部最優(yōu)，根據(jù)設(shè)定的跳出方案擺脫困境。

6）反復(fù)迭代，直至達(dá)到設(shè)定的最大迭代次數(shù)。

改進(jìn)算法的流程如圖3所示。

圖3 SAICA流程Fig.3 Flowchart of SAICA

2.2.1 改善初始國家產(chǎn)生機(jī)制

根據(jù)ICA 的原理分析，初始國家隨機(jī)產(chǎn)生導(dǎo)致難以保證種群的優(yōu)質(zhì)性和穩(wěn)定性。本文借鑒春秋戰(zhàn)國時(shí)期諸侯國競爭淘汰的歷史情況，嘗試一種新的初始國家產(chǎn)生機(jī)制，具體流程如圖4所示。

圖4 初始化國家流程Fig.4 Flowchart of country initialization

算法開始時(shí)，隨機(jī)產(chǎn)生較大數(shù)量的國家，一般為ICA 國家數(shù)量的2～4倍，這樣既能通過競爭篩選保留質(zhì)量較好的國家，又不會(huì)對算法的復(fù)雜度及運(yùn)行效率產(chǎn)生較大影響。其中，一部分勢力較強(qiáng)的國家留用，其余相對弱小國家為避免淘汰，聯(lián)合其他國家增強(qiáng)勢力以圖自保。具體步驟如下：

1）按照一定數(shù)量隨機(jī)選擇聯(lián)合的國家。

2）計(jì)算各國家的勢力大小，獲得權(quán)值。

3）依據(jù)權(quán)值取各個(gè)國家的位置信息組建合并成新的國家，如果新國家勢力值超過留用國家，則取而代之，否則淘汰出局。

上述競爭篩選過程增強(qiáng)了國家間的信息交流，保留了優(yōu)良的位置信息，形成了較好的算法初始種群。

2.2.2 改進(jìn)帝國同化方式

ICA 帝國同化過程通過殖民地向宗主國整體移動(dòng)實(shí)現(xiàn)，移動(dòng)參數(shù)β值取2.0 確保殖民地從前后兩個(gè)方向向宗主國靠近。在現(xiàn)實(shí)世界中，殖民同化一般伴隨政治、經(jīng)濟(jì)、文化等各層面滲透轉(zhuǎn)變。借鑒這一思想，將殖民地國家移動(dòng)過程變更為各特征分量向宗主國對應(yīng)的特征分量移動(dòng)過程，如圖5所示。

各特征分量單獨(dú)移動(dòng)，若移動(dòng)參數(shù)值為β，則其最大的移動(dòng)距離為：

其中，di(i=1，2，…，n)為殖民地各特征分量與帝國對應(yīng)特征分量間的距離。為確保從正反兩面向目標(biāo)靠近，β取值應(yīng)大于1.0。經(jīng)反復(fù)測實(shí)驗(yàn)證：當(dāng)β取值由1.0 逐步增大時(shí)，求解精度逐漸提升；不同的測試函數(shù)在β值取1.5～1.8 時(shí)，能夠獲得最佳的尋優(yōu)精度；β取1.8 之后，求解精度又隨β值增大而逐漸降低。因此，針對不同的目標(biāo)函數(shù)，將移動(dòng)參數(shù)β值限定在1.5～1.8 區(qū)間能獲得較好的效果。在實(shí)驗(yàn)或?qū)嶋H應(yīng)用中，可先進(jìn)行簡單的代入測試，明確參數(shù)值。

圖5 特征分量單獨(dú)移動(dòng)Fig.5 Feature components moving separately

為便于比較改進(jìn)算法與原算法移動(dòng)機(jī)制的區(qū)別，圖6 展示了二維平面上兩種算法的搜索范圍差異。ICA 的搜索范圍是以2d為半徑的扇形，改進(jìn)算法則是以各個(gè)分量的最大移動(dòng)范圍為邊構(gòu)成的矩形。一方面，各特征分量單獨(dú)移動(dòng)增強(qiáng)了靈活性和隨機(jī)性，開發(fā)能力更強(qiáng)；另一方面，矩形搜索范圍相對較小，改善了多個(gè)目標(biāo)靠近時(shí)搜索區(qū)域的重疊與覆蓋問題（見圖7），效率更高。

圖6 搜索范圍對比Fig.6 Search scope comparison

2.2.3 增加跳出局部最優(yōu)的策略

針對原ICA 的“早熟”問題，提出了一種跳出局部最優(yōu)的策略：如果連續(xù)多次出現(xiàn)相同的最優(yōu)值，則判定陷入局部最優(yōu)，此時(shí)，宗主國按照選定的方案跳出局部最優(yōu)。

跳出局部最優(yōu)的方案有多種，本文給出了三種方案并進(jìn)行測試：一是取各宗主國的算術(shù)平均值作為新的移動(dòng)目標(biāo)點(diǎn)，本文記為SAICA-Ⅰ；二是按照各個(gè)宗主國的勢力取加權(quán)平均值作為新的移動(dòng)目標(biāo)點(diǎn)，本文記為SAICA-Ⅱ；三是宗主國自身一定比例的位置信息隨機(jī)發(fā)生改變，本文將這一比例設(shè)定為10%，記為SAICA-Ⅲ。前兩種方案構(gòu)建的新移動(dòng)目標(biāo)點(diǎn)都包含了其他宗主國的信息，增強(qiáng)了信息交互；第三種方案通過隨機(jī)變化跳出局部最優(yōu)，提高了種群多樣性。

圖7 搜索區(qū)域交叉和覆蓋Fig.7 Search area crossing and covering

2.3 改進(jìn)算法的開發(fā)、勘探能力及二者的平衡性分析

ICA 在平衡開發(fā)和勘探能力方面有所不足，缺乏有效的信息交互，帝國的合并、覆滅使種群多樣性快速降低，高維函數(shù)適用性不強(qiáng)。針對上述問題，SAICA 在初始化國家階段利用競爭淘汰機(jī)制增強(qiáng)信息交互，保留優(yōu)勢種群；在多次迭代后種群多樣性大幅降低階段增加跳出局部最優(yōu)的機(jī)制，為種群多樣性的恢復(fù)提供了一條路徑，二者前后呼應(yīng)配合。同時(shí)，同化機(jī)制的改進(jìn)，增強(qiáng)了搜索的靈活性和效率，在不影響勘探能力的前提下，提升了開發(fā)能力。因此，總體來看，改進(jìn)算法相較ICA，開發(fā)和勘探能力同時(shí)得到增強(qiáng)，且勘探能力提升的措施相對更多，二者的平衡性更趨于合理。

3 基準(zhǔn)測試函數(shù)實(shí)驗(yàn)對比

3.1 改進(jìn)有效性驗(yàn)證

為了測試SAICA 的性能，本文首先選取8 個(gè)經(jīng)典標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，如表1 所示，其中前兩個(gè)為單模函數(shù)，其余為多模函數(shù)。

表1 標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)Tab.1 Benchmark test functions

該實(shí)驗(yàn)對SAICA-Ⅰ、SAICA-Ⅱ、SAICA-Ⅲ與遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）、粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法、原始ICA 進(jìn)行對比分析。各種算法在相同的硬件條件下分別獨(dú)立運(yùn)行50 次，每次運(yùn)行最大迭代次數(shù)Max_Iter為1 000，統(tǒng)計(jì)計(jì)算各算法運(yùn)行結(jié)果的最小值、均值及標(biāo)準(zhǔn)差，測試函數(shù)的維度分別取30、50 和100，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2～4所示，其中最優(yōu)結(jié)果用粗體標(biāo)出。由分析可知，在30 維條件下，SAICA 對所有測試函數(shù)的尋優(yōu)能力優(yōu)于GA、PSO 和ICA；隨著維數(shù)的增加，各算法的尋優(yōu)精度均有所下降，但改進(jìn)算法仍保持一定的精度優(yōu)勢。

各算法在測試函數(shù)上的收斂曲線如圖8 所示，可以看出，SAICA 的曲線陡峭，且陡峭曲線到相對水平的轉(zhuǎn)折點(diǎn)出現(xiàn)得比較早，說明算法收斂快，與ICA 差別不大，相較GA和PSO算法有較大優(yōu)勢。測試的8 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)均能在500 次迭代內(nèi)收斂至相對優(yōu)值，其中5 個(gè)能夠在100 次迭代內(nèi)完成。例如Sphere、Rastrigin函數(shù)，SAICA用50次迭代就能達(dá)到GA和PSO算法1 000次迭代得到的最優(yōu)解。另外，SAICA 的收斂曲線呈現(xiàn)或多或少的起伏波動(dòng)，其中Rastrigin、Michalewicz、Schwefel函數(shù)尤為明顯，這是陷入局部最優(yōu)后，跳出機(jī)制發(fā)揮了作用。

從SAICA 三種跳出局部最優(yōu)的方案對比分析可以看出，三者實(shí)驗(yàn)結(jié)果差別不大，特別是單模函數(shù)CF1、CF2 由于不存在局部最優(yōu)，跳出機(jī)制不影響搜尋精度。對多模函數(shù)CF3～CF6，SAICA-Ⅲ相較前兩種方案，隨機(jī)因素的引入有利于提升種群多樣性，勘探能力更強(qiáng)一些，特別在求解高維函數(shù)時(shí)，可通過迭代次數(shù)的增加，提高其尋優(yōu)精度。因此，后續(xù)的實(shí)驗(yàn)均采用第三種方案。

圖8 算法收斂曲線Fig.8 Algorithm convergence curves

3.2 改進(jìn)性能測試

為了驗(yàn)證改進(jìn)算法的尋優(yōu)性能和穩(wěn)定性，選擇CEC2017中的6 個(gè)測試函數(shù)（表5），與5 個(gè)具有代表性的先進(jìn)算法對比分析，分別為：策略自適應(yīng)差分進(jìn)化（Differential Evolution algorithm with Strategy adaptation，SaDE）算法、球形搜索進(jìn)化（Spherical Evolution，SE）算法、郊狼優(yōu)化算法（Coyote Optimization Algorithm，COA）與 灰 狼 優(yōu) 化（Grey Wolf Optimizer，GWO）算法的混合算法（Hybrid COA with GWO，HCOAG）、基于精英學(xué)習(xí)策略的動(dòng)態(tài)多群粒子群優(yōu)化（Dynamic Multi-Swarm Particle Swarm Optimization based on an Elite Learning Strategy，DMS-PSO-EL）算法以及基于多精英采樣和差分搜索的分布估計(jì)算法（Estimation Distribution Algorithm based on Multiple elites sampling and individuals Differential Search，EDA-M/D）。其中，SaDE 引入了自適應(yīng)學(xué)習(xí)機(jī)制，根據(jù)進(jìn)化的不同階段匹配向量生成策略及其控制參數(shù)；SE 在傳統(tǒng)的超立方體搜索基礎(chǔ)上衍生出一種球形搜索模式，并引入了進(jìn)化算法；HCOAG 采用正弦交叉策略，將COA和GWO 的兩種改進(jìn)算法融合運(yùn)用；DMS-PSO-EL 把進(jìn)化過程劃分為前后兩個(gè)階段，采用動(dòng)態(tài)多群和學(xué)習(xí)策略實(shí)現(xiàn)勘探和開發(fā)能力的提升；EDA-M/D 借助多精英采樣與差分搜索的自適應(yīng)協(xié)同提升算法的尋優(yōu)性能和穩(wěn)定性。這些對比算法既包含經(jīng)典的進(jìn)化算法、粒子群算法的改進(jìn)型，又包含郊狼算法、分布估計(jì)等新型算法的優(yōu)化，涵蓋了策略調(diào)整、自適應(yīng)學(xué)習(xí)、算法混合等常用的改進(jìn)方案，且在仿真測試中都取得了較好的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，具有較高的代表性。

表5 中f1 為單峰函數(shù)，f4、f9 為簡單多峰函數(shù)，f12、f16 為混合函數(shù)，f29 為復(fù)合函數(shù)，所有函數(shù)均經(jīng)過偏移翻轉(zhuǎn)。運(yùn)行迭代次數(shù)設(shè)置為1 000，每個(gè)測試函數(shù)至少運(yùn)行50 次，取運(yùn)行結(jié)果與最優(yōu)解差值的算術(shù)平均值和均方差進(jìn)行比較。其中，測試結(jié)果的算術(shù)平均值可以比較算法的尋優(yōu)能力，標(biāo)準(zhǔn)差可以比較算法的穩(wěn)定性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表6 所示，所有算法計(jì)算結(jié)果的最優(yōu)值以粗體顯示。其中SaDE、SE 的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來自文獻(xiàn)［20］，HCOAG 的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來自文獻(xiàn)［21］，DMS-PSO-EL的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來自文獻(xiàn)［22］、EDA-M/D 的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來自文獻(xiàn)［23］，符號#表示文獻(xiàn)作者未提供。

分析可知，SAICA 對所有測試函數(shù)的求解均值和標(biāo)準(zhǔn)差都優(yōu)于對比算法，其中，f1、f9 函數(shù)搜尋到最優(yōu)解，顯示本文算法有更好的尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性。

表2 SAICA與GA、PSO、ICA性能對比（Max_Iter=1000，D=30）Tab.2 Performance comparison of SAICA and GA，PSO，ICA（Max_Iter=1000，D=30）

表3 SAICA與GA、PSO、ICA性能對比（Max_Iter=1000，D=50）Tab.3 Performance comparison of SAICA and GA，PSO，ICA（Max_Iter=1000，D=50）

表4 SAICA與GA、PSO、ICA性能對比（Max_Iter=1000，D=100）Tab.4 Performance comparison of SAICA and GA，PSO，ICA（Max_Iter=1000，D=100）

表5 CEC2017測試函數(shù)Tab.5 CEC2017 test functions

表6 SAICA與其他先進(jìn)算法性能對比（D=30）Tab.6 Performance comparison between SAICA and other advanced algorithms（D=30）

3.3 相關(guān)性檢驗(yàn)

為了判斷SAICA 與ICA 在尋優(yōu)性能上是否存在顯著性差異及各種改進(jìn)措施的貢獻(xiàn)度，采用Kendall相關(guān)系數(shù)法對算法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。選取16 個(gè)經(jīng)典測試函數(shù)，分別用ICA、SAICA 及SAICA 的三種改進(jìn)措施（依次表示為SAICAA、SAICA-B、SAICA-C）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，30次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的均值如表7所示。

用IBM SPSS Statistics 22.0 版本對以上數(shù)據(jù)進(jìn)行Kendall相關(guān)分析，結(jié)果如表8 所示。分析可知：SAICA 和ICA 之間的相關(guān)系數(shù)值為0.100，接近于0，且顯著性p值為0.589＞0.05，表明SAICA 和ICA 之間沒有相關(guān)關(guān)系，即SAICA 和ICA 在求解性能上存在顯著差異性。SAICA 和SAICA-B 之間的相關(guān)系數(shù)值為0.783，且呈現(xiàn)接近于0 的顯著性，表明SAICA 和SAICA-B 之間有著顯著的正相關(guān)關(guān)系，即第二種改進(jìn)措施發(fā)揮的作用最大。SAICA 和SAICA-A、SAICA-C 之間的相關(guān)系數(shù)值分別為0.017、0.126，從分析結(jié)果上看沒有相關(guān)性，但實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示SAICA 的求解精度高于僅加入一種改進(jìn)措施的SAICA-B，表明另外兩種改進(jìn)措施能發(fā)揮一定的輔助作用。

表7 ICA、SAICA及SAICA三種改進(jìn)措施的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.7 Experimental results of ICA，SAICA and three improvement measures of SAICA

表8 Kendall相關(guān)分析結(jié)果Tab.8 Kendall correlation analysis result

4 結(jié)語

本文在ICA 框架上，基于春秋戰(zhàn)國史實(shí)，引入“合縱連橫”初始化策略、分量移動(dòng)同化機(jī)制、自更新跳出局部最優(yōu)方案，對原算法進(jìn)行改進(jìn)優(yōu)化。8 個(gè)國際通用標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)和CEC2017測試函數(shù)實(shí)驗(yàn)比較結(jié)果表明，本文提出的SAICA 在提高求解精度和求解效率上具備一定優(yōu)勢，且方法簡單、復(fù)雜度低，對解決現(xiàn)實(shí)尋優(yōu)問題有實(shí)際意義。經(jīng)Kendall 相關(guān)系數(shù)分析可知，改進(jìn)算法與原算法具有顯著差異性。同時(shí)，在實(shí)驗(yàn)過程中也發(fā)現(xiàn)，SAICA 存在對個(gè)別高維函數(shù)尋優(yōu)準(zhǔn)確度提升不高、跳出局部最優(yōu)后仍然無法尋得全局最優(yōu)解等問題。下一步，將在本文研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步優(yōu)化算法，尋求改進(jìn)跳出局部最優(yōu)的策略，提升對高維函數(shù)的尋優(yōu)性能和覆蓋面，并在解決實(shí)際問題中加以研究應(yīng)用。