基于廣義S變換的時(shí)變索力識(shí)別

曹志偉

(合肥工業(yè)大學(xué) 土木水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

0 引 言

索體系支承橋梁中纜索或者吊桿是其關(guān)鍵的傳力或承力構(gòu)件。如斜拉橋通過斜拉索將主要荷載傳遞至主塔。所以對(duì)于斜拉橋這種索體系支承橋梁來說，索力的準(zhǔn)確識(shí)別和評(píng)估對(duì)于大跨度的斜拉橋的運(yùn)營(yíng)狀況的評(píng)定和健康的維護(hù)都有著至關(guān)重要的意義[1]。目前，針對(duì)施工和運(yùn)營(yíng)等不同階段及不同環(huán)境有不同的索力識(shí)別方法。常用的索力識(shí)別方法按識(shí)別過程通?？煞譃椋褐苯臃?包括壓力傳感器法和壓力表法)和間接法(包括磁通量法和頻率法[2])。

其中頻率法具有簡(jiǎn)易便捷、無損性監(jiān)測(cè)等優(yōu)點(diǎn)，越來越受到人們的關(guān)注。頻率法通過獲取并分析索的振動(dòng)加速度信號(hào)從而得到索的固有頻率，通過數(shù)值計(jì)算和經(jīng)驗(yàn)擬合等方法構(gòu)建索力和固有頻率之間的換算關(guān)系，從而通過對(duì)索的固有頻率的識(shí)別實(shí)現(xiàn)對(duì)索力的識(shí)別。因此基于頻率法的索力識(shí)別需要解決兩個(gè)核心問題，第一個(gè)是建立拉索索力與其固有頻率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；第二個(gè)問題是如何通過振動(dòng)信號(hào)，準(zhǔn)確地對(duì)索的固有頻率進(jìn)行識(shí)別。

Irvine等[3]在1974年通過對(duì)索振動(dòng)的動(dòng)力特性進(jìn)行研究，首次通過將索的長(zhǎng)度、抗彎剛度和索力大小進(jìn)行綜合分析，并引入?yún)?shù)ξ反映這三個(gè)因素的影響。1980年，日本Shinke等[4]考慮了索的抗彎剛度影響，以兩端固結(jié)邊界條件的軸向受拉索為模型進(jìn)行研究，通過建立邊界條件為兩端固結(jié)的索的橫向振動(dòng)微分方程并進(jìn)行求解，推導(dǎo)出了拉索所受拉力與索固有頻率的隱式解，并通過數(shù)值計(jì)算和曲線擬合，推導(dǎo)出了兩端固結(jié)邊界條件下的索力計(jì)算實(shí)用公式。1998年，ShiMada等[5]提出了一種用于結(jié)構(gòu)索振動(dòng)分析的有限差分公式。該公式將索的彎曲剛度及其垂伸特性的影響統(tǒng)一求解，為準(zhǔn)確確定振型和頻率提供了工具。2007年，韓國(guó)學(xué)者Kim等[6]提出了一種從測(cè)量索的固有頻率來估計(jì)索的張力的新方法。該方法能夠同時(shí)識(shí)別拉索系統(tǒng)的張力、抗彎剛度和軸向剛度。該方法適用于廣泛的纜索系統(tǒng)。

雖然近年來國(guó)內(nèi)外對(duì)于索力識(shí)別的頻率法研究進(jìn)了許多工作，針對(duì)索的抗彎剛度、索長(zhǎng)度、外界溫度、邊界條件等因素做了大量研究。但是傳統(tǒng)基于頻率法的索力識(shí)別方法只能識(shí)別索在過去一段時(shí)間內(nèi)的平均索力，無法對(duì)索力進(jìn)行實(shí)時(shí)的識(shí)別。在實(shí)際的環(huán)境中，索力往往是隨時(shí)間而變化的，因此如何實(shí)時(shí)識(shí)別固有頻率轉(zhuǎn)化為從索的動(dòng)態(tài)響應(yīng)中提取瞬時(shí)頻率。針對(duì)這個(gè)問題，本文將廣義S變換方法應(yīng)用于時(shí)變索力的識(shí)別，從而能夠?qū)λ髁M(jìn)行實(shí)時(shí)識(shí)別。

1 頻率法索力計(jì)算

Fang等[7]在索的橫向振動(dòng)方程的基礎(chǔ)上，用曲線擬合技術(shù)代替數(shù)值迭代過程，提出了一個(gè)頻率法計(jì)算索力的實(shí)用公式。該公式考慮了索的抗彎剛度，是梁理論和弦理論兩種假設(shè)下的統(tǒng)一表達(dá)式。在無垂度影響的索的橫向振動(dòng)方程的基礎(chǔ)上，頻率方程可由等式(1)等到。

2(αl)(βl)[1-cos(αl)cosh(βl)]

+[(βl)2-(αl)2]sin(αl)sinh(βl)=0

(1)

式(1)中的α,β由分別由式(2)和式(3)計(jì)算。

(2)

(3)

式中：ζ2=T/EI,η4=mω2/EI;ω表示振動(dòng)系統(tǒng)的角頻率；l為索兩端之間的直線長(zhǎng)度。式(1)為一個(gè)不便求解的超越方程,索力無法直接簡(jiǎn)便地從所測(cè)得的頻率求得。引入?yún)?shù)αl=γ,βl=χ。式(1)可表示為:

(4)

χn和γn有如下關(guān)系:

(5)

(6)

其中ωn(ωn=2πfn)和fn分別表示振動(dòng)系統(tǒng)的第n階角頻率和固有頻率。拉力換算公式可表示為:

(7)

在上式中,l,m和EI均為索的已知參數(shù),因此只要確定索的第n階振動(dòng)頻率,就能通過式(5)和式(6)解得χn和γn,從而根據(jù)式(7)獲取索所受拉力。為使式(7)能夠適應(yīng)不同假設(shè)下進(jìn)行索力計(jì)算,引入?yún)?shù)ψn,其定義為:

(8)

在γn和ψn之間得到一個(gè)二次最優(yōu)擬合函數(shù),其方程為:

(9)

上式中,A和B通過式(10)和式(11)計(jì)算。

A=-18.9+26.2n+15.1n2

(10)

(11)

可以看出,當(dāng)n=1時(shí)采用二次擬合,n≠1時(shí)采用線性擬合,以減小誤差。

2 廣義S變換基本原理

S變換[8]是由小波變換和短時(shí)傅里葉變換發(fā)展而來的,與STFT類似,S變換是在傅里葉變換基礎(chǔ)上添加窗函數(shù)?？梢詫?biāo)準(zhǔn)S變換視為窗函數(shù)為高斯函數(shù),且方差為σ=1/|f|時(shí)短時(shí)傅里葉變換的特殊情況。

對(duì)于給定的信號(hào)x(t),S變換表達(dá)式為:

(12)

上式中,τ是調(diào)整時(shí)間軸上高斯窗口位置的參數(shù),f是頻率。S變換中高斯窗h(t,f)定義為

(13)

窗函數(shù)h(t,f)滿足歸一化條件:

(14)

由式(12)可得:

(15)

式中：X(f)為信號(hào)x(t)的傅里葉變換,即S變換的逆變換，由傅里葉變換推導(dǎo)得出,其逆變換具有無損性。為使S變換的時(shí)頻分辨率能更好地適應(yīng)不同信號(hào)特征,本文通過引入一階雙參數(shù)頻率函數(shù)[9],以此更靈活對(duì)窗函數(shù)進(jìn)行調(diào)整。廣義S變換窗函數(shù)為:

(16)

式中:參數(shù)α和γ為調(diào)整窗函數(shù)的兩個(gè)參數(shù)。通過參數(shù)α和γ共同調(diào)解窗函數(shù)的高度和寬度。該窗函數(shù)依然滿足歸一化條件,即:

(17)

廣義S變換定義為:

(18)

與S變換類似,廣義S變換的逆變換同樣具有無損性。廣義S變換的逆變換計(jì)算公式為:

(19)

由式(16)可以看出，廣義S變換窗函數(shù)主要由參數(shù)α和p進(jìn)行人為調(diào)節(jié)。通過調(diào)節(jié)參數(shù)α和p,能夠較好地調(diào)整S變換時(shí)窗寬度隨頻率變化的速度,提升S變換的頻率適應(yīng)性,從而獲得更好的時(shí)頻分析效果。

3 實(shí)驗(yàn)分析

為驗(yàn)證廣義S變換傳遞比對(duì)拉索時(shí)變索力的識(shí)別有效性,本章采用ABAQUS仿真軟件以具體的索結(jié)構(gòu)為對(duì)象,構(gòu)建了一個(gè)拉力隨時(shí)間變化的索結(jié)構(gòu)的三維有限元模型進(jìn)行驗(yàn)證。施加在拉索上的力Ft隨時(shí)間t變化,結(jié)構(gòu)的剛度也因此而改變,從而使結(jié)構(gòu)具有時(shí)變特性。索結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度為2 m,橫截面為半徑0.66×10-2m的圓形,泊松比取0.3,楊氏模量為1.95×1011N/m2。

運(yùn)用廣義S變換預(yù)處理后的信號(hào)進(jìn)行計(jì)算,對(duì)一階頻率進(jìn)行脊線提取[10]以對(duì)結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)頻率進(jìn)行識(shí)別。

通過瞬時(shí)頻率換算得到的拉力曲線與實(shí)際加載曲線對(duì)比和識(shí)別百分比誤差分別如圖1和圖2所示。

圖1 識(shí)別結(jié)果對(duì)比

圖2 索力識(shí)別誤差

通過上述仿真模型的結(jié)果可知,索力的變化會(huì)影響索的固有頻率的大小,通過廣義S變換的時(shí)頻譜進(jìn)行脊線提取,能夠有效地對(duì)索的一階瞬時(shí)頻率進(jìn)行識(shí)別,從而實(shí)時(shí)地獲取時(shí)變索力。

4 結(jié)束語

針對(duì)傳統(tǒng)基于頻率法的索力識(shí)別方法只能識(shí)別索在過去一段時(shí)間內(nèi)的平均索力,無法對(duì)索力進(jìn)行實(shí)時(shí)的識(shí)別的問題,將廣義S變換方法應(yīng)用于時(shí)變索力的識(shí)別。在仿真條件下,通過對(duì)索的振動(dòng)加速度響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行廣義S變換計(jì)算,然后通過時(shí)頻譜進(jìn)行脊線提取,能夠有效地對(duì)索的一階瞬時(shí)頻率進(jìn)行識(shí)別,從而實(shí)時(shí)獲取時(shí)變索力。仿真分析結(jié)果表明,廣義S變換方法對(duì)時(shí)變索力有較好的識(shí)別效果。