溫度影響下基于協(xié)整的頻率修正研究

黃 然

(合肥工業(yè)大學 土木與水利工程學院，安徽 合肥 230009)

0 引 言

近年來,橋梁健康檢測技術(shù)愈發(fā)成熟和完善,基于動力的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測是目前研究最為廣泛的一個方向,橋梁結(jié)構(gòu)的動力參數(shù)是橋梁健康監(jiān)測的一個重要指標,結(jié)構(gòu)動力參數(shù)識別是基于結(jié)構(gòu)動態(tài)測試的模態(tài)分析方法,模態(tài)參數(shù)(通常是模態(tài)頻率)反映了結(jié)構(gòu)的健康狀態(tài)信息。通過研究橋梁模態(tài)參數(shù)的改變來對橋梁健康狀態(tài)進行監(jiān)測和量化評估,是進行橋梁健康監(jiān)測的基本思路[2]。

先前的研究表明溫度是影響模態(tài)參數(shù)尤其是模態(tài)頻率的最主要因素,主要原因有:① 溫度可以直接影響材料的彈性模量,而通常f～E1/2;② 溫度變化可以影響結(jié)構(gòu)的邊界條件,例如冬季基礎凍結(jié)會提高結(jié)構(gòu)的整體剛度;③ 溫度的變化在超靜定結(jié)構(gòu)會產(chǎn)生溫度應力,應力的改變進而會引起頻率的改變。例如,Alampalli[3]通過對一小橋研究表明,由于溫度下降邊界支座凍結(jié)導致的橋梁固有頻率的變化(變化幅度為=40%～50%)比人為造成損壞而導致頻率變化(變化幅度為=3%～8%)大了一個數(shù)量級。Askegaard等[4]發(fā)現(xiàn),一座3跨人行橋的正常頻率在一年中變化10%。

因此,在實際橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測中環(huán)境因素的影響不可忽視,如何從健康監(jiān)測系統(tǒng)中分離出溫度因素的影響一直是健康監(jiān)測領域研究的熱點和難點。因此,本文引入計量學中的協(xié)整理論,它在健康監(jiān)測系統(tǒng)中分離這些無害的環(huán)境變化被證明具有巨大的潛力。

1 協(xié)整理論

1.1 概述

Cross[5]最先提出將計量學中的協(xié)整理論應用到結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測領域,并且詳細分析協(xié)整為何可被應用到結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測中。這里首先介紹單整的定義,如果一個序列經(jīng)過一次差分后變成平穩(wěn)的,就稱該序列是一階單整序列,記為I(1)。一般地,如果一個時間序列經(jīng)過d次差分后變成平穩(wěn)序列,則稱原序列是d階單整序列,記為I(d)。

而協(xié)整的定義最早是由Engle和Granger[6]給出的:

由n組的d階單整序列組成的向量yt=[y1t,y2t,…,ynt]′,如果存在一個向量β=[β1,β2,…,βn]′使得線性組合βyt=β1y1t+β2y2t,…,+βnynt是一個d-b階單整,其中b>0。則向量yt=[y1t,y2t,…,ynt]′稱為d、b階協(xié)整,記為yt～CI(d,b),向量β稱為協(xié)整向量。

1.2 ADF檢驗

協(xié)整是分析非平穩(wěn)序列的一種工具,在應用協(xié)整之前需要對序列進行平穩(wěn)性判斷,確定序列的單整階數(shù),這里采用ADF檢驗。ADF檢驗是在Dickey和Fuller[7,8]提出的DF檢驗基礎上擴展形成的。對于一個p階自回歸模型AR(p):

yt=α1yt-1+α2yt-2+…+αpyt-p+ut

(1)

對式(1)進行差分和整理得:

Δyt=δyt-1+η1Δyt-1+…+ηp-1Δyt-p+1+ut

(2)

式中:δ=α1+α2+…+αp-1;ηi=-(αi+1+…+αp);ut是白噪聲。

當δ=0時,即α1+α2+…+αp=1,此時式(2)作為一個線性差分方程,其對應的特征方程λp-α1λp-1-α2λp-2-…-αp=0必存在一個單位根,因為λ=1是該特征方程的一個解,1-α1-α2-…-αp=0。ADF檢驗的原假設和備用假設是H0∶δ=0和H1∶δ<0。

確定了各個變量的單整階數(shù)后,在滿足協(xié)整前提下就可以使用Johansen程序?qū)Χ鄠€序列之間是否存在協(xié)整向量進行檢驗。

1.3 Johansen協(xié)整檢驗

Johansen[8,9]給出了一種基于矩陣的秩和特征根的協(xié)整檢驗方法,稱為Johansen協(xié)整檢驗?？紤]不包含截距項的n維p階VAR模型:

Yt=A1Yt-1+A2Yt-2+…+ApYt-p+et

(4)

對上式(4)進行變形整理可以得到:

(5)

在滿足r(π)=r的條件下,最大化樣本數(shù)據(jù)[y1t,y2t,…,ynt]′的對數(shù)似然函數(shù)。為此,須先確定協(xié)整秩r。當協(xié)整秩為r時,系數(shù)矩陣π有r個自由(線性無關)的行向量。當協(xié)整秩r越大,對矩陣π的約束越少,對應的似然函數(shù)最大值應該越大。

據(jù)此進行似然比檢驗,由于檢驗統(tǒng)計量涉及矩陣的跡(主對角線元素之和),故稱為“跡統(tǒng)計量”(trace statistics),記為λtrace。

“跡檢驗”(trace test)是似然比檢驗,為單邊右側(cè)檢驗,為單邊右側(cè)檢驗,即λtrace越大,則越傾向于拒絕原假設。

故首先進行以下檢驗:

H0∶r(π)=0vsH1∶r(π)>0

原假設為協(xié)整秩為0,不存在協(xié)整關系;替代假設為協(xié)整秩大于0,存在協(xié)整關系。如果接受原假設H0∶r(π)=0,則認為不存在協(xié)整關系。反之,繼續(xù)檢驗是否存在多個協(xié)整關系,其對應的原假設和備選假設為:

H0∶r(π)=1vsH1∶r(π)>1

如果依舊拒絕原假設,則依次順序不斷進行以下檢驗：

H0:r(π)=2vsH1:r(π)>2

?

H0:r(π)=rvsH1:r(π)>r

直到接受原假設,確認協(xié)整秩r為止,即序列之間存在r個協(xié)整向量。

2 試驗模型監(jiān)測數(shù)據(jù)的采集和處理

2.1 試驗模型

為了深入研究協(xié)整算法在消除環(huán)境溫度的影響,本文以一個長3 m兩端固結(jié)的鋼梁為研究對象,梁兩端各使用4個高強螺栓固定在支座上,每個支座通過2個地錨固定在預留在地面的槽中。試驗將整個梁劃分15等份,共布置14個加速度傳感器用以采集梁體的振動信號,加速度采樣頻率為500 Hz。除此之外,還在梁上布置3個溫度傳感器用以記錄試驗過程中梁體的溫度變化,加速度的布置和激振器布置如圖1所示。

圖1 加速度傳感器和溫度傳感器布置

2.2 試驗數(shù)據(jù)的采集和數(shù)據(jù)處理

為了得到梁的頻率隨溫度變化的關系,分別對梁進行升溫和降溫兩種操作,在溫度變化的過程中對梁使用激振器進行脈沖激勵,溫度變化過程中使用高精度的加速度傳感器采集梁體的振動信號、使用溫度傳感器采集梁體的溫度變化。對采集的加速度數(shù)據(jù)進行模態(tài)參數(shù)識別。

梁在無損狀態(tài)下前4階頻率的時間序列的曲線圖如圖2所示。

圖2 前4階模態(tài)頻率識別值變化曲線圖

從圖2中可以看出,一方面結(jié)構(gòu)的前4階頻率的變化趨勢和溫度變化呈相反的趨勢,隨著溫度的升高結(jié)構(gòu)的頻率逐漸降低,另一方面各階頻率隨著溫度變化都呈現(xiàn)出相同的趨勢。

2.3 基于協(xié)整消除溫度對結(jié)構(gòu)頻率的影響

在進行Johansen協(xié)整檢驗之前,第一步需求被檢驗變量是同階單整的,分別對這4個頻率序列進行ADF單位根檢驗,檢驗的結(jié)果見表1。

表1 結(jié)構(gòu)前4階頻率以及差分項ADF單位根檢驗結(jié)果

由表1可以看出,結(jié)構(gòu)的前4階頻率均不能拒絕單位根的原假設,其一階差分項在5%的顯著性水平下均拒絕原假設,表明這4個頻率序列均為一階單整,即滿足Johansen協(xié)整的前提條件。圖3描繪了各階頻率之間的關系,從圖3中可以看出,f1,f2和f4之間有比較明顯的線性關系,而f3與其他各階頻率之間沒有明顯的線性關系[10],這也進一步顯示了各階頻率序列之間可能會存在某種線性組合。在確定Johansen協(xié)整檢驗的方程特征時,協(xié)整方程存在截距項,沒有趨勢項,這4個變量的檢驗的結(jié)果見表2。

圖3 各階頻率之間關系散點圖

表2 Jonhansen檢驗結(jié)果

由檢驗結(jié)果可知,4階頻率之間存在且只存在唯一的協(xié)整關系,通過計算可以得到標準化的協(xié)整向量為[1,-0.1813,-0.1713, 0.3670,-7.9295],因此,各個頻率序列之間的協(xié)整方程可以表示為:

f1+0.1813f2+0.1713f3-0.3670f4+7.9295=0

將結(jié)構(gòu)的前4階頻率利用上面的協(xié)整方程計算出協(xié)整余量序列，如圖4所示。圖4中上下兩條控制線為協(xié)整余量的均值±3標準差,根據(jù)協(xié)整理論可知,如果兩個或多個變量是協(xié)整的,那么它們的線性組合是原始數(shù)據(jù)集中共同趨勢的一個固定殘差。就結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測所測的參數(shù)而言,它所消除的共同趨勢就是環(huán)境和運營條件的改變,在本例中消除的就是溫度因素。

圖4 協(xié)整余量曲線

3 結(jié) 論

(1) 結(jié)構(gòu)在無損狀態(tài)下,隨著環(huán)境溫度的升高,結(jié)構(gòu)的頻率逐漸降低,且多階頻率在溫度的變化下都呈現(xiàn)共同的趨勢。

(2) 通過協(xié)整分析可知,結(jié)構(gòu)的前4階頻率之間存在協(xié)整關系,通過線性組合得到一個消除多個變量共同趨勢的平穩(wěn)殘差，并且殘差序列在一定的范圍內(nèi)波動，可以通過序列是否偏離控制線來判斷結(jié)構(gòu)的狀態(tài)。

(3) 與其他消除環(huán)境因素的方法相比,協(xié)整具有以下優(yōu)勢:① 原理簡單,理論明確;②不需要對原始序列進行處理,保留了序列的原始特性。