利用聲衰減反演氣泡群分布的方法研究*

侯森 胡長青 趙梅?

1) (中國科學院聲學研究所東海研究站, 上海 201815)

2) (中國科學院大學, 北京 100049)

通過測量含氣泡水的聲衰減反演氣泡群參數(shù)是獲取水中氣泡分布的重要方法, 但是經(jīng)典方法忽略了較高濃度氣泡水中的強頻散特性和氣泡振動參數(shù)的改變, 導致反演較高濃度氣泡群分布時會產(chǎn)生巨大誤差.為解決這個問題, 本文基于等效媒質(zhì)理論建立起了聲衰減和相速度的聯(lián)系, 并考慮了含氣泡水平均量對氣泡阻尼系數(shù)和共振頻率的影響.在此基礎(chǔ)上, 通過將反演氣泡分布和修正相速度及氣泡振動參數(shù)交替迭代的方法,有效地消除了高濃度氣泡水中由頻散和氣泡振動特性改變引起的誤差.與實驗數(shù)據(jù)對比發(fā)現(xiàn), 氣泡群孔隙率達到10–5 時, 考慮含氣泡水的頻散特性會顯著降低反演誤差; 而當氣泡群孔隙率達到10–3 時, 氣泡阻尼系數(shù)和共振頻率的修正會對反演結(jié)果變得重要.本文方法在反演孔隙率為10–3—10–2 的高濃度氣泡群時, 仍有較好效果, 這可為獲取水下較高濃度氣泡群分布提供方法借鑒.

1 引 言

獲取水下氣泡群分布在軍事領(lǐng)域[1]、工業(yè)領(lǐng)域[2]以及科研領(lǐng)域[3]都有巨大的應(yīng)用價值, 其中通過聲衰減或聲散射反演氣泡群分布是探測水下氣泡群參數(shù)的重要方法[4?7].上世紀七十年代, Medwin[5]提出了共振估計方法(resonant bubble approximation, RBA), 在求解氣泡群聲衰減過程中只保留共振態(tài)氣泡的貢獻, 簡化了計算過程, 得出了簡明的由聲衰減系數(shù)反演氣泡分布的公式, 成為了經(jīng)典的氣泡參數(shù)反演理論.此后很多學者在RBA 模型的基礎(chǔ)上做了更深入研究.Commander 和Moritz[8,9]指出忽略非共振態(tài)氣泡的影響會造成反演誤差, 并通過數(shù)值方法將非共振氣泡的貢獻引入到反演過程中.Caruthers 和Elmore[10]通過采用聲衰減數(shù)據(jù)和假定氣泡分布交替計算校正的方法, 在孔隙率低于10–6的條件下獲得了良好的反演結(jié)果.Choi等[11,12]則通過引入聲速修正結(jié)合奇異值分解的數(shù)值反演方法, 實現(xiàn)了對孔隙率為10–4氣泡群的反演.此外, 還有很多學者研究了基于聲衰減反演氣泡群分布的方法, 但這些方法都只適用于反演孔隙率低于10–4的氣泡群[13?16].

為了反演更高濃度氣泡群分布, Duraiswami[17]提出了通過聲衰減和相速度聯(lián)合反演氣泡群參數(shù)的方法.Wu 和Chahine[18], Chahine[19]進一步發(fā)展了該方法, 并通過實驗驗證了可以對孔隙率高于10–3的氣泡群進行較為精確的反演.但Leighton等[20]指出, Duraiswami 方法同樣存在問題, 在一些情況下得到的反演值可能會偏離真實值.原因有兩方面, 一方面精確測量高濃度氣泡水中的相速度技術(shù)難度大[20?22], 并且相速度在氣泡共振頻段附近測量誤差遠大于聲衰減的測量誤差[22]; 另一方面, 隨著氣泡孔隙率的增加, 含氣泡水中平均量對氣泡振動參數(shù)的影響變得明顯[23,24], Duraiswami的方法由于沒有考慮氣泡本身振動參數(shù)的變化, 會在反演高濃度氣泡群時產(chǎn)生誤差.

考慮到RBA 模型及其改進方法只適用于反演較低濃度氣泡群分布, 而Duraiswami 的方法受限于相速度測量困難, 應(yīng)用場景有限.因此, 研究僅通過聲衰減值實現(xiàn)對較高濃度氣泡群的準確反演具有重要意義.

本文基于等效媒質(zhì)理論(effective medium theory)[25,26], 在考慮了氣泡孔隙率增高對氣泡阻尼系數(shù)和共振頻率影響的基礎(chǔ)上, 推導了聲衰減-氣泡分布和聲衰減-相速度的關(guān)系.通過利用聲衰減反演氣泡分布和利用氣泡分布修正聲速及氣泡振動參數(shù)交替迭代校正的方法, 將氣泡群頻散特性和氣泡參數(shù)修正量引入到反演計算中.通過實驗數(shù)據(jù)的比對發(fā)現(xiàn), 本文方法在反演孔隙率達到10–3—10–2量級的氣泡群時, 依然有較好的效果.拓寬了利用聲衰減難以反演較高濃度氣泡群的限制條件.

2 氣泡群分布的反演方法

2.1 氣泡振動模型與線性化求解

假設(shè)氣泡群在水中分布均勻, 且僅考慮氣泡在小振幅波下做線性振動, 則基于等效媒質(zhì)理論, 可以給出聲波在含氣泡水中傳播時的等效波數(shù)[23?26]:

式中, kl為純水中的波數(shù); r 為氣泡半徑; n (r) 為氣泡概率密度函數(shù); ω 為入射聲角頻率; ω0m和 bm分別為氣泡的共振角頻率和阻尼系數(shù), 通常可以由線性化Keller 方程獲得, 同時考慮氣泡濃度較高時含氣泡水平均量對氣泡的作用, 則含氣泡水中的氣泡振動特性如(2)式所示[23,26]:

其中, pB為氣液界面處液體側(cè)壓強, 可以表示為如下公式:

式中, R 為任意時刻下的氣泡半徑; r 為氣泡平衡半徑, 與(1)式中表達相一致; p0為環(huán)境壓強; δ 為張力系數(shù); μ 黏滯系數(shù); cm為含氣泡水中的復聲速;γ為多方指數(shù); ρm為含氣泡水的密度, 易得ρm≈(1 ?β)ρl, ρl為液體密度; β 為氣泡群孔隙率, 物理含義為單位體積內(nèi)氣泡的體積, 可由下面公式表示:

當入射波為線性小振幅波時, 氣泡作小振幅振動, 即 R =r(1+Xeiωt) , 且 X ?1.則通過線性化(2)式, 可以得到阻尼系數(shù)和氣泡共振角頻率分別如下公式所示:

其中 Φ 為一復數(shù)函數(shù), 其主要由熱擴散系數(shù) D 決定, 如下式所示:

在考慮了含氣泡水中單個氣泡振動特性的基礎(chǔ)上, 進一步考慮氣泡群整體對聲傳播的影響.不失一般性地假設(shè), 平面波沿 x 軸在含氣泡水中傳播,可以寫成如下式:

式中, a 為復波數(shù) km的虛部, 表征聲衰減; ω /cre為km的實部, 其中 cre為含氣泡水中的聲速, 令u=cl/cre, cl為純水聲速, 則復波數(shù) km可以展開為

將(1)式做同樣展開處理, 則可以得到:

將(10)式和(11)式聯(lián)立并化簡, 可以得到a和 u 的表達式如下:

(12)式和(13)式分別為考慮含氣泡水平均量影響時的聲衰減和頻散特性的表達式, 對(12)式逆求解即可以通過聲衰減反演得到氣泡概率密度函數(shù) n (r).從(12)式中可以看出, 相速度 cre取值對聲衰減產(chǎn)生了直接的影響.此外, 結(jié)合(5)式和(6)式,含氣泡水平均量通過改變氣泡阻尼系數(shù) bm和共振角頻率 ω0m間接影響了聲衰減.為了在下文更清晰地討論這兩種影響, 不妨在忽略含氣泡水平均量影響下重寫(12)式和(13)式.即將 km→kl, ρm→ρl代入到(5)式和(6)式中, 則可得 ω0=ω0m, b =Re(bm) ,Im(bm)=0 , 其中 ω0和 b 分別為氣泡在純水中的共振角頻率和阻尼系數(shù), 則(12)式和(13)式可以得到化簡:

(14)式和(15)式分別為不考慮含氣泡水平均量影響時聲衰減和頻散特性的表達式.將在第4 節(jié)通過與實驗數(shù)據(jù)的比對, 具體探討聲速頻散和氣泡振動特性改變對反演結(jié)果的影響.

2.2 正則化方法與迭代算法

反演的核心問題在于對(12)式進行逆求解運算, 由于未知量 cre, ω0m和 bm的取值并不影響反演過程, 我們不妨先假設(shè)它們已知.首先做離散化處理, 將氣泡半徑區(qū)間 [ rlo,rhi] 劃 分為 m 個子區(qū)間, 則(12)式可以寫成為

其中 a (ωj) 為角頻率為 ωj時的氣泡群聲衰減系數(shù).Ni=n(r)×dr, 為氣泡分布函數(shù), 表示單位體積內(nèi)第 i 個半徑區(qū)間內(nèi)氣泡數(shù), dr 為區(qū)間寬度; Aj,i表示半徑為 ri的單個氣泡在角頻率為 ωj時的聲衰減系數(shù), Aj,i可以表示為

由于(18)式中的方程組存在不適定問題, 數(shù)據(jù)微小變化會引起解集巨大波動.這里運用Tikhonov正則化方法, 將方程組的求解轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題,如下式所示:

式中, λ 為正則化參數(shù), 經(jīng)測試發(fā)現(xiàn)采用GCV(Generalized Cross-Validation)準則作為 λ 的選取策略有較好的穩(wěn)定性, 如下面公式所示[27].其中 λ 為?GCV(λ)最小時的取值.

為了方便表達, 將(16)式—(20)式離散化和正則化求解過程記為算子TIK.為了獲取準確的相速度、氣泡阻尼系數(shù)和氣泡共振角頻率, 利用迭代方法對真實值進行逼近.首先以純水中的參數(shù)作為初始值代入到第一次反演過程中, 即 cre=cl,bm,1=b , ω0m,1=ω0, 則對氣泡分布第一次求取過程可以寫成:

假設(shè)第一次反演結(jié)果 n (r)1為氣泡真實分布,對各迭代參數(shù)進行更新.聯(lián)立(1)式、(4)式和(5)式可以求得 bm; 聯(lián)立(1)式、(4)式和(6)式可得 ω0m; 將 bm, ω0m代入(13)式可以得到 cre.同樣為了簡化表達, 將上述參數(shù)的求解過程記為算子PAR, 可以寫成為

將更新后的參數(shù)和氣泡分布 n (r)1代入到(12)式可以求得聲衰減 a1, 并以相對誤差?=|a1?a|/a檢驗反演值是否收斂到真實值, 將上述過程記為算子ERR, 可以寫成為

重復(21)式—(23)式步驟, 直到滿足迭代次數(shù)為止, 反演過程的流程圖如圖1 所示.

圖1 迭代方法反演氣泡分布流程圖Fig.1.Flow diagram of the iterative inverse method.

3 數(shù)值仿真

上一節(jié)給出了利用聲衰減反演氣泡群分布的方法, 本節(jié)通過數(shù)值模擬對該方法有效性進行驗證, 并具體展示迭代反演的過程.在本節(jié)算例中,選取具有典型性的冪律分布和對數(shù)正態(tài)分布作為氣泡群假定分布.其中冪律分布代表以小氣泡為主的分布情況, 算例中設(shè)概率密度函數(shù) n (r)Power-law正比于 r?4.對數(shù)正態(tài)分布代表氣泡集中于平均半徑的分布情況, 概率密度函數(shù)如下式所示.

(24)式中, 設(shè)氣泡平均半徑 r0=0.1 mm , 并設(shè)對數(shù)標準差 ε =0.1.在給出氣泡分布的基礎(chǔ)上, 設(shè)氣泡群孔隙率 β =10?3, 純水聲速 cl=1500 m/s , 分別對半徑分布于 3 ×10?4— 8 ×10?4和 0.5×10?4—1.5×10?4m 的氣泡群做參數(shù)反演, 結(jié)果如圖2.

對照組使用常規(guī)護理措施，所涵蓋的護理項目和措施有健康告知、基礎(chǔ)護理操作、反應(yīng)各項生命體征和身體指標的實時監(jiān)測[1]。觀察組的在實施上述護理操作的同時，輔之必要的心理護理操作，主要涵蓋的護理項目有：（1）滿足患者合理需求，消除負面情緒和負面影響，促進患者適應(yīng)能力的提升[2]；（2）借助于交流、溝通、啟迪的方式完成對患者的針對性心理護理，促進患者自我護理能力的提升。（3）依據(jù)評估-計劃-實施-評價等步驟，對患者開展個性化的心理護理。

圖2 中, 每個子圖中的首張圖對應(yīng)TIK 算子反演氣泡分布的過程, 第二張圖對應(yīng)了通過PAR算子校正聲速的過程, 第三張圖對應(yīng)了通過ERR算子計算聲衰減的過程.圖2(a)中, 第一次迭代反演結(jié)果與假定分布差距巨大, 這對應(yīng)了含氣泡水中聲速等參數(shù)與純水的巨大差異.隨著迭代次數(shù)增加, 誤差迅速減小, 且最終反演值與假定分布吻合較好.圖2(b)所示為冪律分布, 從圖中可以看出除了最終結(jié)果符合假定分布外, 前幾次迭代結(jié)果的誤差明顯要比圖2(a)更小, 主要原因是沒有充分考慮含氣泡水頻散特性時, 反演結(jié)果往往會出現(xiàn)小氣泡占多數(shù)而大氣泡數(shù)較少的分布特征[11,15], 正如四個子圖中氣泡分布反演圖所示.這使得相較于圖2(a)和圖2(b)的第1 次反演結(jié)果與假定分布更接近,即分布不同對收斂速度有一定影響.圖2(c)和圖2(d)為氣泡群半徑在 0.5×10?4— 1.5×10?4m 范圍內(nèi)的反演結(jié)果, 對比圖2(a)和圖2(b)可以看出, 不同半徑范圍內(nèi)的氣泡群反演結(jié)果相似, 說明半徑區(qū)間不同對迭代算法的影響較小.計算四個算例輸出的孔隙率誤差分別為: ?a=+2.7 %, ?b=?0.9 %,?c=+3.6 %, ?d=+0.7 %, 可以看出雖然算例間的誤差存在微小差別, 但均在5%以內(nèi), 可以認為在以上四個算例中, 氣泡分布和氣泡半徑區(qū)間的不同沒有明顯影響反演結(jié)果的準確性.通過本節(jié)仿真可以看出, 本文方法在反演較高濃度氣泡群分布時能得到較為穩(wěn)定準確的解集.

4 實驗數(shù)據(jù)比對

為了進一步驗證本文方法的實用性, 并比對不同方法的反演結(jié)果.采用四份實驗數(shù)據(jù)中的聲衰減反演氣泡分布, 其中實驗中獲得的氣泡分布參數(shù)如表1 所列.Wilson[28]于2005 年測量了孔隙率為6.2×10?5含氣泡水的聲衰減和相速度, 并通過拍照獲得了氣泡分布, 數(shù)據(jù)如表1 中例1 所列.本文在4.1 節(jié)中用例1 數(shù)據(jù)對比不同方法反演低孔隙率氣泡群的結(jié)果.Leroy[22]于2008 年采用向膠質(zhì)注射氣泡的方法獲取了半徑單一穩(wěn)定地高濃度氣泡群, 并在此基礎(chǔ)上測量了聲衰減、相速度和氣泡分布, 數(shù)據(jù)如表1 中例2 和例3 所列.本文在4.2 節(jié)中用以對比不同方法反演高孔隙率氣泡群的結(jié)果.Silberman[21]于1957 年測量了聲衰減數(shù)據(jù), 并給出了大致的氣泡分布范圍, 如表1 中例4 所列.本文在4.3 節(jié)中說明當聲衰減測量數(shù)據(jù)稀疏時遇到的問題并討論相關(guān)解決方法.

圖2 迭代算法反演結(jié)果 (a) 對數(shù)正態(tài)分布, r ∈[3×10?4 m,8×10?4 m]; (b) 冪律分布, r ∈[3×10?4 m,8×10?4 m]; (c) 對數(shù)正態(tài)分布, r ∈[0.5×10?4 m,1.5×10?4 m]; (d) 冪律分布,r ∈[0.5×10?4 m,1.5×10?4 m]Fig.2.Theinversion results: (a) Log-normal, r ∈[3×10?4 m,8×10?4 m]; (b) Power-law, r ∈[3×10?4 m,8×10?4 m];(c) Log-normal, r ∈[0.5×10?4 m,1.5×10?4 m]; (d) Power-law, r ∈[0.5×10?4 m,1.5×10?4 m].

表1 各實驗算例中的氣泡分布Table 1.Bubble distribution of 4 experimental examples.

4.1 低孔隙率氣泡群的反演

RBA 模型及其改進方法是利用聲衰減反演氣泡群參數(shù)最常用的方法, 但通常認為RBA 模型在反演孔隙率為10–5以上的氣泡群時, 誤差會急劇增大.為了比較本文方法和RBA 理論模型的反演結(jié)果, 對例1 中的數(shù)據(jù)做反演, 結(jié)果如圖3 所示.

圖3 中, 圖例中RBA 所示虛線代表RBA 模型的反演結(jié)果, 方法一代表未考慮含氣泡水平均量影響的反演結(jié)果, 即以(14)式和(15)式代入迭代算法得到的反演結(jié)果.方法二代表考慮含氣泡水平均量影響后的反演結(jié)果, 即以(12)和(13)式代入迭代算法得到的反演結(jié)果.沒有特殊說明, 后文圖例標注和圖3 一致.

氣泡分布反演結(jié)果如圖3(a)所示, 方法一與方法二均與測量值較為吻合, 兩者間差別不大.而RBA 模型的反演值與實際分布誤差巨大.在實驗測得的氣泡分布區(qū)間, 即0.62—0.65 mm 范圍內(nèi),反演值遠低于實測值; 而在偏離實際氣泡分布的大氣泡區(qū)間和小氣泡區(qū)間, 均有明顯的高估現(xiàn)象.其誤差來源主要有兩方面: 一方面為忽略了氣泡非共振衰減的影響; 另一方面為將聲速假設(shè)為常數(shù)忽略了聲速頻散.而方法一和方法二在TIK 算子計算中沒有做與RBA 模型中類似的近似求解, 保留了非共振衰減項.并通過引入迭代方法, 在反演氣泡分布的過程中校正了聲速, 使得反演結(jié)果相較于RBA 模型有了明顯的改善.

含氣泡水的聲速如圖3(b)所示, 方法一和方法二計算得到的聲速值差別不大, 與測量值相比在5200—5800 Hz 段吻合較好, 而在高聲速段存在一定偏差但可以大致反映相速度變化趨勢.相比于RBA 模型中將聲速假定為純水聲速, 由迭代方法校正的聲速改善效果明顯.由反演得到的氣泡分布計算出的聲衰減如圖3(c)所示, 方法一和方法二均與實驗值符合較好, 表明了迭代算法的輸出結(jié)果較好地收斂到真值附近.而基于RBA 模型反演分布計算得到的聲衰減結(jié)果與實測值偏離較大, 對應(yīng)了RBA 得到的氣泡分布嚴重偏離真實值.

圖3 例1數(shù)據(jù)的反演結(jié)果圖, 氣泡群孔隙率β =6.2×10?5, 平均半徑 r =6.36×10?4 m (a) 氣泡分布反演結(jié)果; (b) 相速度計算結(jié)果; (c) 聲衰減計算結(jié)果Fig.3.Inversion results of Example 1, void fractionβ =6.2×10?5, mean radius r =6.36×10?4 m : (a) Bubble distributions; (b) phase speed; (c) sound attenuation.

從反演結(jié)果看, 方法一和方法二得到的結(jié)果差距不大, 都能較好地符合氣泡分布, 這說明當氣泡群孔隙率較低時, 引入含氣泡水平均量對氣泡群反演結(jié)果影響較小.而相比于RBA 模型, 方法一和方法二的結(jié)果有明顯改善, 表明孔隙率在10–5量級時, 聲速頻散和非共振衰減是影響反演結(jié)果準確性的主要因素.

4.2 高孔隙率氣泡群反演

為了驗證對孔隙率達到10–3以上氣泡群的反演能力.本節(jié)對例2 和例3 的數(shù)據(jù)做了反演, 分別如圖4 和圖5 所示.通過比較不同方法獲得的反演結(jié)果, 著重討論影響反演高濃度氣泡群準確度的因素.

圖4 例2數(shù)據(jù)的反演結(jié)果圖, 氣泡群孔隙率β =1.5×10?3, 平均半徑 r =8.2×10?5 m (a) 氣泡分布反 演 結(jié)果; (b) 相速度計算結(jié)果; (c) 聲衰減計算結(jié)果Fig.4.Inversion results of example 2, void fractionβ =1.5×10?3, mean radius r =8.2×10?5 m : (a) Bubble distributions; (b) phase speed; (c) sound attenuation.

例二反演的氣泡分布如圖4(a)所示, 除了RBA 模型反演結(jié)果嚴重失真外, 方法一也存在較大偏差.方法一高估了85—100 μm 的大氣泡數(shù)量,低估了77 μm 以下的小氣泡數(shù)量, 同時反演得到的氣泡峰值位置與實測值相比向小氣泡區(qū)間偏離.方法二較好地估計了氣泡平均半徑, 但反演得到的氣泡分布相比于實測值更加集中, 即峰值更高分布區(qū)間更窄.考慮到氣泡分布標準差存在一定波動范圍, 可以認為方法二反演值與實測值符合較好, 相比于方法一有明顯的改善.計算得到的孔隙率上,方法一為1.42 × 10–3, 方法二為1.47 × 10–3, 兩者都與測量值1.5 × 10–3較為一致, 其中方法二符合更好.

反演得到的聲速值如圖4(b)所示, 兩種方法反演值在聲速上升和下降的頻段吻合較好, 而在高聲速區(qū)間均存在一定偏差, 但方法二更好地符合了聲速在峰值處的變化趨勢.計算得到的聲衰減數(shù)據(jù)如圖4(c)所示, 可以看出, 方法一和方法二的結(jié)果均與實驗值較為吻合, 說明迭代算法輸出結(jié)果較好地收斂至輸入實測值附近.

圖5 例3數(shù)據(jù)的反演結(jié)果圖, 氣泡群孔隙率β=9.4×10?3, 平均半徑 r =8.6×10?5 m (a) 氣泡分布反演結(jié)果; (b) 相速度計算結(jié)果; (c) 聲衰減計算結(jié)果Fig.5.Inversion results of example 3, void fractionβ =9.4×10?3, mean radius r =8.6×10?5 m : (a) Bubble distributions; (b) phase speed; (c) sound attenuation.

例三氣泡分布反演結(jié)果如圖5(a)所示, 相比于圖4(a), 可以發(fā)現(xiàn)隨著氣泡孔隙率升高, 方法一誤差增大.方法一反演得到的氣泡分布峰值明顯向小半徑區(qū)間偏移, 同時高估了95 μm 以上的大氣泡數(shù).而方法二的反演值更符合實測值, 較好地估計了氣泡分布平均半徑和分布趨勢.方法一得到的孔隙率為8.6 × 10–3, 方法二為8.8 × 10–3, 兩種方法結(jié)果相近且方法二更符合實驗值.聲速值的反演如圖5(b)所示, 兩種方法反演值在聲速上升頻段與實驗值吻合較好, 而在高聲速頻段存在一定偏差, 但方法二在聲速峰值頻段及高頻頻段與實測值符合更好, 總體看方法二更能代表相速度變化趨勢.圖5(c)中, 兩種方法聲衰減計算結(jié)果均與實驗值較為符合, 說明輸出結(jié)果收斂至實測值附近.

圖4 和圖5 的結(jié)果具有一致性, 除了RBA 模型嚴重失真外, 方法一結(jié)果誤差也較大, 且隨著氣泡群孔隙率增大誤差有變大趨勢.而方法二反演結(jié)果相比于方法一有較為明顯的改善, 可以較為準確地反演得到氣泡的峰值位置和分布趨勢.相比于低空隙率氣泡群反演結(jié)果, 可以看出當氣泡群孔隙率較高時, 考慮含氣泡水平均量對氣泡的作用對反演結(jié)果具有不可忽略的影響因素.

4.3 數(shù)據(jù)稀疏時的氣泡分布反演

在研究氣泡分布反演過程中發(fā)現(xiàn), 當實驗數(shù)據(jù)稀疏, 尤其是氣泡共振頻段處數(shù)據(jù)稀疏時, 會出現(xiàn)反演解集不穩(wěn)定的問題, 對此做了進一步探討分析.

如圖6 所示為三組孔隙率 β =1×10?6, 半徑單一的氣泡群聲衰減.從圖6 中可以看出, 氣泡共振頻段處聲衰減對頻率變化敏感, 而偏離共振頻段后敏感性降低.為了分析半徑相近氣泡的衰減峰位置, 假定氣泡振動為絕熱過程, 可以化簡(6)式得出氣泡共振頻率公式:

圖6 不同半徑氣泡群衰減峰位置Fig.6.Attenuation peak positions of bubble groups with different radius.

設(shè) f2, f1為兩個間隔 ? f 的入射聲頻率; ? r 為對應(yīng)的氣泡半徑間隔, 則由(25)式, 易得 ? f 與?r的關(guān)系如下:

在離散化求解的過程中, 如果劃分的半徑區(qū)間寬度過小, 即 d r

將(27)式代入(12)式中可以對聲衰減公式進行化簡, 后續(xù)迭代流程與方法一和方法二類似.為了方便表述, 在數(shù)據(jù)稀疏情況下, 只針對平均半徑和氣泡數(shù)的反演記為方法三.通過對例4 數(shù)據(jù)的反演, 來對比方法二和方法三在數(shù)據(jù)稀疏時反演的結(jié)果.

此處以氣泡概率密度函數(shù)表示氣泡分布, 則氣泡分布的反演結(jié)果如圖7(a)所示.通過圖7(a)可以看出, 方法三得到的氣泡平均半徑與實測值較為吻合.而方法二得到的結(jié)果與實測值偏差較大, 并沒有反映出氣泡群集中在2.2 mm 這一趨勢.同時一般認為氣泡分布在一定范圍內(nèi)是連續(xù)函數(shù), 方法二的反演結(jié)果有明顯的不穩(wěn)定現(xiàn)象, 相比之下方法三的結(jié)果與Silberman 給出的2.07—2.31 mm 的氣泡分布區(qū)間十分吻合.圖7(b)為相速度的反演值, 由于實驗只測量了低頻段的聲速值, 兩種方法雖然在大于1000 Hz 的頻段處有明顯差別, 但在低頻段與實驗值均符合較好.圖7(c)為聲衰減的計算值, 從圖中可以看出, 雖然兩種方法聲衰減在峰值處差距明顯, 但由于測量數(shù)據(jù)稀疏且沒有明顯峰值信息, 使得兩種方法都與反演結(jié)果相近, 其中半徑區(qū)間劃分精細的方法二與實驗值符合更好.結(jié)合氣泡分布反演結(jié)果中方法二結(jié)果偏離真實值.這說明了由于氣泡群共振頻段處數(shù)據(jù)的稀疏以及共振峰數(shù)據(jù)的缺失, 很容易使反演結(jié)果收斂至偏離實際分布的錯誤解.而方法三通過簡化氣泡概率密度函數(shù)有效改善了這個問題.

圖7 例4數(shù)據(jù)的反演結(jié)果圖, 氣泡群孔隙率β =5.3×10?3, 平均半徑 r =2.2 mm (a) 氣泡分布反演結(jié)果;(b)相速度計算結(jié)果; (c)聲衰減計算結(jié)果Fig.7.Inversion results of example 4, void fractionβ =5.3×10?3, mean radius r =2.2 mm : (a) Bubble distributions; (b) phase speed; (c) sound attenuation.

5 結(jié) 論

本文通過迭代方法, 將相速度和氣泡振動參數(shù)修正通過迭代方法代入了反演計算過程中.通過實驗數(shù)據(jù)對比發(fā)現(xiàn), 在孔隙率為10–5的情況下, 含氣泡水平均量對反演結(jié)果影響較小, 而聲速頻散的影響顯著.通過保留非共振衰減和考慮聲速頻散, 本文方法相比于經(jīng)典的RBA 模型有顯著改善; 當氣泡群濃度到達10–3時, 含氣泡水平均量的引入對反演結(jié)果的改善效果變得明顯, 并隨著孔隙率進一步增加而影響變大.最后本文針對數(shù)據(jù)稀疏時遇到的問題給出了簡化反演方法, 結(jié)果表明簡化方法能夠較為準確地給出氣泡群分布的主要參數(shù).

通過仿真與實驗數(shù)據(jù)反演實例表明, 本文方法可以較好地對孔隙率達到10–3以上的氣泡群進行反演.拓展了利用聲衰減反演氣泡群的限制條件.在反演氣泡群分布的同時可以得到近似的氣泡群相速度曲線, 本文方法將為利用聲衰減反演氣泡群參數(shù)的發(fā)展提供有益思考.