用GeoGebra 軟件設(shè)計(jì)李薩如圖形仿真平臺(tái)*

喬永海

(惠州市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 廣東 惠州 516008)

大學(xué)物理基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)是理工科學(xué)生的必修基礎(chǔ)課程，針對(duì)李薩如圖的實(shí)驗(yàn)教學(xué)是重要的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)之一．目前，觀察李薩如圖形時(shí)，常借用兩臺(tái)單獨(dú)的信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生正弦信號(hào)送入示波器來(lái)實(shí)現(xiàn)，由于示波器工作機(jī)制的限制，各分振動(dòng)的初相位不可控制，這樣做很難得到穩(wěn)定的、不同相位差、不同頻率比的李薩如圖形．

為了解決上述困難，科研工作者開(kāi)發(fā)出仿真模擬平臺(tái)供教師的教學(xué)和學(xué)生的實(shí)驗(yàn)體驗(yàn)所用．基于LabVIEW的李薩如圖仿真平臺(tái)、基于Matlab_GUI的李薩如圖形仿真平臺(tái)[1]、 基于Labview 虛擬儀器平臺(tái)等，這些仿真平臺(tái)經(jīng)過(guò)熟悉相關(guān)軟件的科研工作者編寫(xiě)，生成可以獨(dú)立運(yùn)行的工具，供教師和學(xué)生使用．

GeoGebra是一款功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件，用該軟件制作李薩如圖仿真平臺(tái)，只需要一個(gè)工具和一組代碼，制作非常便捷，功能卻十分強(qiáng)大．學(xué)生可以利用GeoGebra 自制“教具”來(lái)探究規(guī)律，對(duì)學(xué)生的綜合素質(zhì)培養(yǎng)有重要意義．

1 原理

簡(jiǎn)諧振動(dòng)是物體振動(dòng)的最基本形式．在一定條件下，兩列相互垂直的振動(dòng)疊加形成李薩如曲線．兩個(gè)傳播方向相互垂直的簡(jiǎn)諧波的振動(dòng)疊加時(shí)，如果兩列波的傳播頻率比值成簡(jiǎn)單整數(shù)比時(shí)，兩列波的合成軌跡是規(guī)則的圖形，叫李薩如圖形(Lissajous-Figure)．

x方向的振動(dòng)方程為

x=A1cos(n1ωt+φ1)

(1)

y方向的振動(dòng)方程為

y=A2cos(n2ωt+φ2)

(2)

為了簡(jiǎn)化操作和圖形的對(duì)稱性，我們?cè)O(shè)A1=A2=1，由于我們主要關(guān)注相位差，因此，設(shè)φ2=0，φ1=Δφ,ω=1．

上述式(1)、(2)分別簡(jiǎn)化為

x=cos(n1t+Δφ)

y=cos(n2t)

下面我們開(kāi)始創(chuàng)建李薩如圖形模擬平臺(tái)．操作非常便捷，只用一個(gè)工具和一組代碼，就可以創(chuàng)建一個(gè)可控的李薩如圖仿真平臺(tái)，該平臺(tái)可以控制兩個(gè)振動(dòng)的頻率和相位差而獲得相應(yīng)的李薩如圖形．

2 制作過(guò)程

打開(kāi)GeoGebra 軟件，窗口如圖1所示．初次接觸該軟件的讀者要熟悉它的界面，便于后續(xù)的操作．

圖1 GeoGebra窗口

2.1 創(chuàng)建滑動(dòng)條

2.1.1 創(chuàng)建控制相位差的滑動(dòng)條

選擇“滑動(dòng)條”(圖1中工具欄第10個(gè))，點(diǎn)擊繪圖區(qū)，出現(xiàn)屬性對(duì)話框，選擇“角度”，默認(rèn)名為α，可以不改動(dòng)，用它代替相位差Δφ，如圖2所示，點(diǎn)擊“確定”．

圖2 創(chuàng)建控制相位差Δφ的變量

2.1.2 創(chuàng)建控制x和y方向振動(dòng)頻率的滑動(dòng)條n1

選擇“滑動(dòng)條”，名稱欄內(nèi)輸入n_1：點(diǎn)擊繪圖區(qū)，出現(xiàn)屬性對(duì)話框，選擇“數(shù)字”，3個(gè)輸入框中，最小值輸入1，最大值輸入8，增量輸入1．

再次選擇“滑動(dòng)條”，名稱欄內(nèi)輸入n_2：點(diǎn)擊繪圖區(qū)，出現(xiàn)屬性對(duì)話框，選擇“數(shù)字”，3個(gè)輸入框中，最小值輸入1，最大值輸入7，增量輸入1．

2.2 繪制李薩如圖

在GeoGebra的命令欄(圖1的最下部)內(nèi)輸入如下代碼便可產(chǎn)生李薩如圖．

曲線[cos(n_1*t+α),cos(n_2*t),t, 0, 2π]

代碼輸入提示：除了中文，其他要在半角下輸入．符號(hào)“_”是下角標(biāo)標(biāo)示符號(hào)，用“Shift+ -”輸入．

繪圖區(qū)出現(xiàn)李薩如圖，如圖3所示．點(diǎn)擊“平移”工具(如圖1工具欄第一個(gè))，然后點(diǎn)擊繪圖區(qū)，隱藏坐標(biāo)和網(wǎng)格，把李薩如圖移動(dòng)到合適位置．也可以改變李薩如圖的線條粗細(xì)和顏色．

圖3 李薩如圖

先點(diǎn)擊“平移”工具，再點(diǎn)擊α滑動(dòng)條，右鍵，在下拉菜單里勾選“啟動(dòng)動(dòng)畫(huà)”，看到相位差逐漸變大時(shí)動(dòng)態(tài)的李薩如圖．通過(guò)拖動(dòng)n1和n2來(lái)改變x和y方向振動(dòng)的角頻率值，觀察圖形變化．需要靜態(tài)圖形時(shí)，點(diǎn)擊繪圖區(qū)左下角的“啟動(dòng)、暫?！卑粹o．至此，我們就制成了頻率比和相位差可控的李薩如圖模擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái)．

3 探究李薩如圖和頻率的關(guān)系

在電工和無(wú)線電技術(shù)中，可以利用示波器觀察李薩如圖，根據(jù)已知振動(dòng)波頻率和相位，來(lái)測(cè)定未知振動(dòng)波的頻率和相位差．下面我們尋找如何從多變的李薩如圖中尋找頻率比的方法．

3.1 獲得一組李薩如圖

把圖2的“增量”改為45°后通過(guò)拖動(dòng)滑動(dòng)條改變?chǔ)う?n1，n2，獲得不同的李薩如圖，如圖4所示．

圖4 不同頻率比和相位差的李薩如圖

3.2 探究頻率比和李薩如圖的關(guān)系

3.2.1 探究1

如圖5所示的兩個(gè)圖形，可以看出如下規(guī)律：n1的大小和李薩如圖左、右側(cè)的“峰”的個(gè)數(shù)相同，n2的大小和李薩如圖上下側(cè)的“峰”的個(gè)數(shù)相同．可以歸納出如下規(guī)律：x方向的振動(dòng)頻率和y方向的振動(dòng)頻率之比等于李薩如圖左(右)側(cè)和上(下)側(cè)“峰”的個(gè)數(shù)的比值．

圖5 不同頻率比和相位差為90°的李薩如圖

3.2.2 探究2

如圖6所示，頻率比為4∶3和8∶6的李薩如圖是相同的．因此，頻率比要進(jìn)行約分后得到頻率比的不可約分?jǐn)?shù)，該不可約分?jǐn)?shù)和“峰”數(shù)比值才相等．可以進(jìn)一步完善規(guī)律的表述：x方向的振動(dòng)頻率和y方向的振動(dòng)頻率的比值(不可約分?jǐn)?shù))等于李薩如圖左(右)側(cè)和上(下)側(cè)“峰”的個(gè)數(shù)的比值．

圖6 頻率比相同的李薩如圖相同

3.2.3 探究3

李薩如圖有曲線“不閉合”現(xiàn)象，如圖7所示．我們發(fā)現(xiàn)，一根線要計(jì)數(shù)1，一個(gè)“峰”要計(jì)數(shù)2，這樣“峰”數(shù)比和頻率比才能相等．為什么呢？下面我們繼續(xù)探究．

圖7 不閉合的李薩如圖

以頻率比為5∶4的李薩如圖為例，相位差每隔15°截取一圖形，如圖8所示．從動(dòng)態(tài)的李薩如圖中可以觀察到一個(gè)現(xiàn)象，好像一簇線條在“三維空間”里繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)“前后”的線條出現(xiàn)遮蔽時(shí)就出現(xiàn)了線條不閉合的現(xiàn)象，如圖8的右邊3圖，這些有端點(diǎn)的線條實(shí)際是一個(gè)“峰”，從側(cè)面看變成線了．圖中的一個(gè)“峰”背后“遮擋”另外一個(gè)“峰”，因此，當(dāng)遇到李薩如圖的有端點(diǎn)圖線時(shí)，我們的計(jì)數(shù)方法是：一根“斷線”計(jì)數(shù)1，一個(gè)“峰”計(jì)數(shù)2．

圖8 頻率比為5∶4相位差不同的李薩如圖

GeoGebra既有電腦版，還有網(wǎng)頁(yè)版和手機(jī)版，讀者可以在網(wǎng)頁(yè)或手機(jī)上制作李薩如圖，探究其變化規(guī)律，為實(shí)驗(yàn)操作做準(zhǔn)備[2，3]．