小回線瞬變電磁法多匝回線電感研究

連晨光，石顯新

（1.煤炭科學(xué)研究總院,北京100013；2.中煤科工集團(tuán)西安研究院有限公司，陜西 西安710077）

瞬變電磁法（簡(jiǎn)稱TEM 法）觀測(cè)純二次場(chǎng)，對(duì)低阻體敏感，對(duì)野外場(chǎng)地的適應(yīng)能力強(qiáng), 施工效率高,是探測(cè)與煤礦水害隱患有關(guān)的異常地質(zhì)體的重要手段,在煤田水文地質(zhì)勘探中得到廣泛應(yīng)用。小回線瞬變電磁法對(duì)傳統(tǒng)瞬變電磁法的探測(cè)裝置進(jìn)行了改進(jìn)，采用邊長(zhǎng)幾米（一般1～5 m）的多匝方形回線發(fā)射、同一回線接收或中心探頭接收的方式進(jìn)行探測(cè)。由于小回線裝置受地形影響小、可在地面障礙物密集、施工場(chǎng)地狹小（如井下巷道）等地段進(jìn)行有效探測(cè)，施工靈活方便，體積效應(yīng)小，因此小回線瞬變電磁法在山地、隧道、煤礦井下及其他施工布置困難地區(qū)的含水地質(zhì)異常體探測(cè)中得到廣泛應(yīng)用，并取得了較好的效果[1]。為增加探測(cè)深度、提高抗干擾能力，小回線瞬變電磁法除盡可能增大發(fā)射電流外，一般通過增加回線的匝數(shù)進(jìn)而增大發(fā)射磁偶極矩來實(shí)現(xiàn)。因此線圈自感和互感影響較突出。而多匝回線之間的自感和互感影響往往會(huì)造成瞬變電磁法測(cè)量早期信號(hào)嚴(yán)重失真[2]，導(dǎo)致計(jì)算的視電阻率普遍偏低，與實(shí)際情況嚴(yán)重不符。因此，準(zhǔn)確計(jì)算出線圈的自感和互感，從而消除其影響對(duì)小回線瞬變電磁法探測(cè)具有重要意義。

關(guān)于回線電感的研究，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)做了大量的研究。自感方面，Green House 將線圈看成同等長(zhǎng)度的直導(dǎo)體，給出的回線自感互感表達(dá)式[3]，計(jì)算方便；《電感計(jì)算手冊(cè)》雖以簡(jiǎn)化公式、圖表以及數(shù)據(jù)表的形式給出單匝矩形線圈自感表達(dá)式，但使用不便[4]；蔣邦遠(yuǎn)、牛之璉給出了單匝矩形線圈自感計(jì)算公式[5,-6]，誤差極大；李文堯等推導(dǎo)出單匝矩形線圈自感精確解析式和近似式[7]；薛國(guó)強(qiáng)等以近似公式計(jì)算出了單匝線圈自感[8-9]；楊海燕等對(duì)多匝圓回線的自感互感計(jì)算公式進(jìn)行了大量的研究，給出了多匝線圈電感的近似公式[10-12]；武中華等推導(dǎo)出圓形回線自感積分表達(dá)式，并用matlab 進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，雖精度較高，但計(jì)算較為復(fù)雜[13]；羅垚、吳德會(huì)等采用有限元方法對(duì)矩形截面圓線圈自感進(jìn)行研究，給出計(jì)算線圈自感的公式，提高了計(jì)算速度[14-16]。在回線互感方面，Christian Peters 等基于畢奧薩伐爾定律計(jì)算出回線的互感，只能直接計(jì)算出整個(gè)回線的互感[17-18]；嵇艷菊、劉洋等則利用Neumann 公式計(jì)算出了回線的互感，可以計(jì)算回線部分電感，進(jìn)行累加求出回線的總互感[19-22]。

但目前對(duì)多匝回線自感互感常用公式的準(zhǔn)確性比較與適用性分析少有人研究，因此總結(jié)目前常用的的多匝回線自感互感計(jì)算公式，主要包括圓形回線自感計(jì)算、矩形回線自感計(jì)算、互感計(jì)算3 個(gè)方面，比較分析現(xiàn)有公式的自感互感值及其誤差，以便選出準(zhǔn)確的公式來計(jì)算小回線電感，為小回線瞬變電磁法電感影響的消除提供依據(jù)。

1 多匝回線自感計(jì)算公式

在瞬變電磁法中，回線的自感參數(shù)主要應(yīng)用于局部導(dǎo)體晚期瞬變電磁場(chǎng)的等效計(jì)算、接收線圈固有過渡過程計(jì)算、關(guān)斷時(shí)間計(jì)算及其瞬變電磁儀器研制方面[6]。

線圈自感的計(jì)算有數(shù)值解法和解析解法，解析解法又分為近似解析解和精確解析解2 種[7]。

1.1 矩形回線自感計(jì)算公式比較

利用蔣邦遠(yuǎn)、牛之璉、楊海燕、Green House、薛國(guó)強(qiáng)、李文堯等學(xué)者給出的矩形回線自感計(jì)算公式[2-3,5-7,9,11]，在導(dǎo)線半徑為0.001 m，線圈匝數(shù)為1，回線邊長(zhǎng)為1～5 m 的方形單匝線圈下，以李文堯給出的矩形回線自感解析公式作為理論值，計(jì)算其余公式自感值及其相對(duì)誤差，方回線自感值及自感誤差見表1。

表1 方形回線自感值及自感誤差Table 1 Error of self-inductance of square loop

通過matlab 計(jì)算發(fā)現(xiàn)，文獻(xiàn)［6］和文獻(xiàn)［9］中公式的計(jì)算結(jié)果與理論值相差多個(gè)數(shù)量級(jí)，因此不在表1 中出現(xiàn)，不建議使用。從表1 中可以看出，計(jì)算的方形回線自感值都會(huì)隨著線圈邊長(zhǎng)的增大呈現(xiàn)線性增大的趨勢(shì)。文獻(xiàn)［5］中公式計(jì)算的自感值與理論值相差多個(gè)數(shù)量級(jí)，誤差大。

從表1 中可以清晰地比較出各個(gè)公式與理論值的誤差百分比，當(dāng)方形線圈邊長(zhǎng)為1～5 m 范圍內(nèi)，文獻(xiàn)［2］中公式相對(duì)誤差為－3.60%～－5.28%，文獻(xiàn)［3］中公式相對(duì)誤差為30.36%～23.96%，文獻(xiàn)［7］中近似式相對(duì)誤差為－0.43%～－0.40%。

因此，可以得出計(jì)算方形線圈自感值可以采用文獻(xiàn)［2］和文獻(xiàn)［7］中給出的公式。

1.2 圓形回線自感計(jì)算公式比較

利用楊海燕、李文堯、Green House 等學(xué)者給出的圓形回線自感公式[3,7,11]，在導(dǎo)線半徑為0.001 m，線圈匝數(shù)為1,半徑為1～5 m 的圓回線，利用楊海燕給出的圓回線自感公式自感值作為理論值，計(jì)算其余公式自感值及其相對(duì)誤差。圓回線自感值及自感誤差見表2。

表2 圓回線自感值及自感誤差Table 2 Error of self-inductance of circular loop

從表2 中可以看出，隨著圓回線半徑的增加，自感值也呈線性增加，與矩形回線類似。文獻(xiàn)［11］和文獻(xiàn)［7］中的公式計(jì)算出的圓回線自感值相差較小。在半徑為1～5 m 的范圍內(nèi)，文獻(xiàn)［7］中根據(jù)矩形自感公式利用圓回線和方回線等磁距求得的計(jì)算公式，誤差為－0.6%～1.67%。文獻(xiàn)［3］則是將圓回線看成長(zhǎng)度相同的直導(dǎo)體，誤差為在11.34%～9.31%,誤差相對(duì)較大。

因此,可以得出文獻(xiàn)［11］和文獻(xiàn)［7］中的公式可以作為計(jì)算圓回線自感的計(jì)算公式。

2 小回線互感計(jì)算

任何2 個(gè)線圈之間都存在互感，互感系數(shù)有線圈的幾何形狀、尺寸、匝數(shù)及線圈之間的相對(duì)位置決定[23]?；芈冯姼泻筒糠蛛姼惺怯?jì)算線圈之間互感的2 種主要方法[24]?；芈冯姼屑粗苯佑?jì)算出整個(gè)回線的互感，主要利用畢奧薩伐爾定律進(jìn)行計(jì)算，如楊海燕、Christian Peters、Yuhua Cheng 等給出的回線互感計(jì)算公式[11,17-18]。部分電感則是將發(fā)射回線和接收回線分為多個(gè)部分，利用Neumann 公式等分別就算出這些部分之間的互感，累加求出回路互感值，如嵇艷菊、劉洋、Hadi Tavakkoli、Salahuddin Raju 線圈互感的計(jì)算公式[19-22]。

研究矩形回線互感公式，為了方便計(jì)算，將其設(shè)置為方形回線，設(shè)置2 個(gè)平行的邊長(zhǎng)相等的方回線，回線邊長(zhǎng)為1～5 m，導(dǎo)線半徑為0.001 m，匝數(shù)N=1，2 個(gè)回線距離z＝0.001 m，比較各個(gè)公式計(jì)算出的互感值，同時(shí)以Yuhua Cheng 給出的公式計(jì)算的互感值作為理論值，計(jì)算其余公式的相對(duì)誤差，方回線互感及互感誤差見表3。

表3 方回線互感及互感誤差Table 3 Error of mutual inductance of square loop

由表3 可知，隨著方回線邊長(zhǎng)的增加，回線之間的互感值逐漸增加。文獻(xiàn)［18］和文獻(xiàn)［19］中給出的計(jì)算公式計(jì)算結(jié)果誤差極小，幾乎重合。而文獻(xiàn)［17］和文獻(xiàn)［21］中的公式計(jì)算的互感值差距較大，相差約1 個(gè)數(shù)量級(jí)。文獻(xiàn)［17］中公式的相對(duì)誤差在邊長(zhǎng)為1～5 m 的范圍內(nèi)，誤差達(dá)到－89.550 000%～－30.840 000%，文獻(xiàn)［21］中的公式的相對(duì)誤差為－55.070 000%～－54.110 000%，誤差極大，不適用，而文獻(xiàn)［18］中公式的相對(duì)誤差小于1%。

因此在計(jì)算平行方形回線互感時(shí)，可以采用文獻(xiàn)［18］和文獻(xiàn)［19］中的計(jì)算公式。

為研究圓回線互感公式，設(shè)置2 個(gè)平行的半徑相同的回線，回線半徑為1～5 m，導(dǎo)線半徑0.001 m，匝數(shù)N=1，2 個(gè)回線距離z＝0.001 m，比較各個(gè)公式計(jì)算出的互感值，以文獻(xiàn)［11］中給出的解析公式計(jì)算的互感值作為理論值，計(jì)算與近似公式及其文獻(xiàn)［22］公式的相對(duì)誤差。圓回線互感及互感誤差見表4。

表4 圓回線互感及互感誤差Table 4 Error of mutual inductance of circular loop

從表4 中可以看出，當(dāng)兩平行圓回線之間距離時(shí)，文獻(xiàn)［11］近似公式與解析式計(jì)算出的結(jié)果相差很小，但文獻(xiàn)［22］對(duì)橢圓積分進(jìn)行級(jí)數(shù)展開時(shí)所得的近似公式存在較大誤差。從表4 中得到，在半徑為1～5 m 時(shí)，文獻(xiàn)［11］中近似公式誤差在－3.88%～－4.73%，文獻(xiàn)［22］中近似公式誤差達(dá)到－86.55%～－88.97%，誤差極大，不適用，因此在計(jì)算圓形線圈互感時(shí)可以選用文獻(xiàn)［11］中的公式。

回線總電感為所有回線的自感與回線之間互感的和[25]：

式中：LT為回線總電感；n 為線圈匝數(shù)；Li為線圈自感；Mij為回線互感。

3 結(jié) 語

在考慮實(shí)際多匝回線大小（邊長(zhǎng)或半徑為1～5 m）的前提下，計(jì)算了圓回線和方回線不同計(jì)算公式所計(jì)算出的自感式互感值，并分析其相對(duì)誤差，發(fā)現(xiàn)當(dāng)邊長(zhǎng)為1～5 m 的方回線，利用文獻(xiàn)［2］和文獻(xiàn)［7］中的公式來計(jì)算其自感誤差小于5%，文獻(xiàn)［18］和文獻(xiàn)［19］計(jì)算其互感較準(zhǔn)確。當(dāng)半徑為1～5 m 時(shí)的圓回線，利用文獻(xiàn)［7］和文獻(xiàn)［11］公式計(jì)算自感，其誤差小于5%，利用文獻(xiàn)［11］中的計(jì)算公式計(jì)算互感較準(zhǔn)確。

在礦井瞬變電磁中，計(jì)算多匝回線的自感互感，往往忽略了導(dǎo)線的寬度、厚度、截面形狀、纏繞方式等影響，在做精細(xì)測(cè)量中，應(yīng)該給予考慮。同時(shí)，在實(shí)際生產(chǎn)活動(dòng)中，不僅要準(zhǔn)確計(jì)算出多匝回線的互感自感，也要分析回線電感隨時(shí)間的變化規(guī)律，而目前根據(jù)RCL 等效電路分析給出的自感電流電壓的時(shí)間域方程，未考慮到地質(zhì)體典型特征的影響，應(yīng)進(jìn)行理論研究和分析。