基于分形理論的樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)形態(tài)設(shè)計(jì)研究

陳雷 高安亭 胡浩

中信建筑設(shè)計(jì)研究總院有限公司

1 分形理論

1967年，分形幾何藝術(shù)創(chuàng)始人、數(shù)學(xué)家曼德布羅特（Benoit B.Mandelbrot）在《英國(guó)海岸線(xiàn)有多長(zhǎng)》一文中提出“分形”（Fractal）一詞，意為不規(guī)則的、破碎的、用來(lái)描述自然中歐幾里得無(wú)法描述的復(fù)雜事物，如起伏的山脈、曲折的海岸線(xiàn)等。直到1975年，曼德布羅特才在《分形——形式、機(jī)遇和維數(shù)》一書(shū)中對(duì)分形的定義和特征進(jìn)行了較為詳細(xì)地解釋?zhuān)瑸榉中蔚膽?yīng)用打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)[1]。

分形的研究對(duì)象是無(wú)限復(fù)雜且具備相似性的事物（即分形圖形在簡(jiǎn)單幾何變換下仍具有形式不變性），是大自然復(fù)雜表面下的內(nèi)在邏輯體現(xiàn)。

2 分形樹(shù)圖形生成方法

分形樹(shù)圖形的生成主要是采用分形理論中的遞歸算法，其本質(zhì)是在不同層級(jí)上將分形單元進(jìn)行組合的過(guò)程。分形圖形具體遞歸過(guò)程如下:

（1）圖1為分形樹(shù)的Y字形基本單元。設(shè)L為樹(shù)干的長(zhǎng)度，α為生長(zhǎng)于一個(gè)節(jié)點(diǎn)上的兩個(gè)枝干間的夾角。

（2）通過(guò)設(shè)定初始生長(zhǎng)點(diǎn)A點(diǎn)坐標(biāo)（Y0，Z0），基本桿件長(zhǎng)度L=L0，初始生長(zhǎng)角度α=0，計(jì)算可得B點(diǎn)坐標(biāo)（Y0，Z1）。因此由A點(diǎn)坐標(biāo)（Y0，Z0），B點(diǎn)坐標(biāo)（Y0，Z1），可得到一級(jí)樹(shù)枝AB。

（3）同理，以B點(diǎn)為生長(zhǎng)點(diǎn)，桿件L=L1，生長(zhǎng)角度α=θ＞0，可得C1點(diǎn)及C2點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可以得到二級(jí)樹(shù)枝BC1和BC2。

以上步驟是以A點(diǎn)為初始生長(zhǎng)點(diǎn)的一個(gè)基本分形單元的初次迭代生成過(guò)程，二次迭代可以將C1點(diǎn)和C2點(diǎn)作為新的生長(zhǎng)點(diǎn)進(jìn)行迭代分形，以此類(lèi)推可得到形態(tài)豐富的分形樹(shù)圖形[2]。

3 樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)的分形設(shè)計(jì)

基于相同的生長(zhǎng)機(jī)制，樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)通過(guò)逐級(jí)分形可得到集束狀的結(jié)構(gòu)形態(tài)，使力流由分散到集中地從屋頂傳遞到地面，將復(fù)雜的荷載以軸力的形式傳遞到基礎(chǔ)上。但如果沒(méi)有上部水平構(gòu)件的連接，僅憑Y形分支結(jié)構(gòu)很可能在桿件中產(chǎn)生彎矩。其次，過(guò)于隨意的分形也不利于功能的使用以及標(biāo)準(zhǔn)化建造。因此，在進(jìn)行樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)形態(tài)設(shè)計(jì)時(shí)，需同時(shí)考慮分形結(jié)構(gòu)和上部水平結(jié)構(gòu)構(gòu)件的搭接以及不同結(jié)構(gòu)單元之間的銜接。為了具體說(shuō)明，本文以12m×12m×12m的空間為原型來(lái)研究樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)的具體分形設(shè)計(jì)（材料參數(shù)如表1所示）。如圖2所示，屋頂平面中的點(diǎn)（包括點(diǎn)E、F、G、H、O等）以及各點(diǎn)之間的桿件是可以確定的，其次點(diǎn)A、B以及桿件AB也是確定的，因此具體的分形方式只需要在兩組點(diǎn)之間依據(jù)相同的生長(zhǎng)角度α進(jìn)行合理連接就可以了。根據(jù)生長(zhǎng)點(diǎn)的不同，樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)的分形方式主要分為三種：1）基于相同生長(zhǎng)點(diǎn)通過(guò)枝干分叉的分形方式；2）基于逐級(jí)遞增生長(zhǎng)點(diǎn)通過(guò)枝干分級(jí)的分形方式；3）基于生長(zhǎng)點(diǎn)連續(xù)變化通過(guò)枝干拓?fù)鋬?yōu)化的分形方式。

3.1 枝干分叉的分形設(shè)計(jì)

樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)通過(guò)枝干在平面及空間上的分形創(chuàng)建出不同的結(jié)構(gòu)形態(tài)，營(yíng)造出豐富多彩的空間氛圍。其具體方式為以B點(diǎn)（Y0，Z1）為生長(zhǎng)點(diǎn)，在平面內(nèi)表現(xiàn)為二分叉和四分叉樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)，空間上則表現(xiàn)為四分叉樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)（表2）。

通過(guò)對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，隨著平面內(nèi)枝干分叉逐漸增多，其結(jié)構(gòu)形態(tài)也變得更加纖細(xì)，仿佛自然中無(wú)序生長(zhǎng)的灌木，營(yíng)造了輕松活躍的空間氛圍。同時(shí)密集的枝干強(qiáng)化了樹(shù)下空間的圍合感和幾何形式，并產(chǎn)生向上的空間動(dòng)勢(shì)而使空間更富有張力[3]。此類(lèi)結(jié)構(gòu)適用于尺度較小又需要輕松氛圍的空間，如塞米亞納住宅的客廳和檐下都采用一級(jí)四分叉的樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)，使其結(jié)構(gòu)纖細(xì)、屋頂輕盈，營(yíng)造出輕松活潑的空間氛圍。

表1 結(jié)構(gòu)計(jì)算中材料參數(shù)

1 分形樹(shù)圖形

2 樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)的分形

其次，空間樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)比平面樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)桿件更纖細(xì)，空間形態(tài)更模糊和不確定，具有原始森林般的空間效果。如在日本鄉(xiāng)野教堂的設(shè)計(jì)中，將下層結(jié)構(gòu)單元枝干支撐上層結(jié)構(gòu)單元的受荷中心（即主干），水平向采用鋼拉桿連接，充分發(fā)揮鋼材的抗拉作用，盡量使樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)各桿件只受到軸力作用，并將約25t的屋面荷載由分散到集中地傳遞到地面，結(jié)構(gòu)纖細(xì)層層疊落，給人以充滿(mǎn)生機(jī)、蓬勃向上的精神震撼。

3.2 枝干分級(jí)的分形設(shè)計(jì)

通過(guò)枝干的分級(jí)分叉，生長(zhǎng)點(diǎn)逐級(jí)上移，產(chǎn)生頗具韻律感的樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)。以一級(jí)四分叉樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)為例，隨著分級(jí)的增多，生長(zhǎng)點(diǎn)也會(huì)成倍地增長(zhǎng)，形成多級(jí)多分叉的樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)（表3）。

對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，隨著枝干不斷分級(jí)，桿件也越來(lái)越密集，桿件截面也越來(lái)越細(xì)，形成既具有支撐作用又具有裝飾作用的復(fù)雜樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)。因此隨著枝干級(jí)數(shù)的增加，空間形態(tài)更為幾何化、明晰化。這種樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)更適用于文化建筑中，如荷蘭西貝柳斯音樂(lè)廳入口大廳的結(jié)構(gòu)，由9個(gè)高達(dá)12.95m的二級(jí)四分叉樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)組成，其結(jié)構(gòu)枝干與X形的水平結(jié)構(gòu)相連，支撐著10.97m×10.97m的屋頂，整個(gè)結(jié)構(gòu)體系不僅支撐著屋面，同時(shí)又是屋頂?shù)难b飾構(gòu)件。

3.3 拓?fù)鋬?yōu)化的分形設(shè)計(jì)

拓?fù)鋬?yōu)化指的是在不改變樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)受力特點(diǎn)的前提下，對(duì)結(jié)構(gòu)的幾何形態(tài)進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整，以取得更具多樣化和個(gè)性化的空間效果。具體優(yōu)化方式包括弧曲桿件、控制生長(zhǎng)點(diǎn)B點(diǎn)（Y0，Z1）在桿件AB軸上移動(dòng)以及加密交錯(cuò)桿件形成多支點(diǎn)空間網(wǎng)架結(jié)構(gòu)（表4）。

對(duì)比分析可知，拓補(bǔ)優(yōu)化后的樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)形態(tài)更為柔美，可以營(yíng)造出靜謐而細(xì)膩的空間氛圍，適用于休閑療養(yǎng)等建筑中。如位于意大利蒙特卡提尼的礦泉療養(yǎng)大廳，由10根樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)柱組成，其結(jié)構(gòu)枝干通過(guò)層層不斷往上生長(zhǎng)、優(yōu)化拓?fù)渥冃蝸?lái)支撐二層樓板和屋面板。光線(xiàn)從中庭上空的七彩玻璃天窗傾瀉而下，透過(guò)紛繁的枝干體系最后灑落在室內(nèi)，營(yíng)造出密林中光影婆娑的空間氛圍，喻示了天國(guó)的圖景。

4 瓏府生活體驗(yàn)中心的分形設(shè)計(jì)

4.1 項(xiàng)目概況

瓏府生活體驗(yàn)中心（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“瓏府中心”）位于河南省北部濮陽(yáng)縣城市中心的東南角，周?chē)r(nóng)田居多，但伴隨著城市的快速發(fā)展，周邊逐漸蓋起了高樓。設(shè)計(jì)師羅宇杰考慮到瓏府中心作為售樓處，不僅要保證建筑作為銷(xiāo)售中心的使用功能，還要滿(mǎn)足建筑在其他用途上的附加功能，即以一種開(kāi)放式的空間形式來(lái)應(yīng)對(duì)功能的變化。同時(shí)，建筑還必須具備可以被快速拆除及搭接的能力，因此一種可重復(fù)使用和可拼接的樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)單元由此而生（圖3）。

表2 枝干分叉的分形設(shè)計(jì)

表3 枝干分級(jí)的分形設(shè)計(jì)

表4 拓?fù)鋬?yōu)化的分形設(shè)計(jì)

4.2 分形樹(shù)的生成

瓏府中心的空間原型為8m×8m×4.5m的方體邊界空間?；谶f歸算法，通過(guò)在屋頂平面上以中心O為基準(zhǔn)點(diǎn)，以30°夾角畫(huà)放射線(xiàn)，過(guò)四邊中點(diǎn)與邊長(zhǎng)相交，從而得到分形樹(shù)的頂點(diǎn)集合（圖4中四條邊中點(diǎn)C、D、E、F及兩側(cè)相鄰點(diǎn)）。由于桿件AB可定，即A點(diǎn)和B點(diǎn)已知，則基于相同的生長(zhǎng)角度α，將屋頂平面上點(diǎn)和B點(diǎn)之間進(jìn)行連接（圖5），從而得到由桿件XB（X為相交得到的點(diǎn)集）、桿件YB（Y為X對(duì)面的點(diǎn)，如C點(diǎn)對(duì)面點(diǎn)為E）、桿件AB以及桿件OB這四根桿件構(gòu)成的一級(jí)三分叉的分形樹(shù)（圖6），在B點(diǎn)和6組點(diǎn)之間完成連接后，可以得到6組一級(jí)三分叉的分形樹(shù)，至此瓏府中心的分形樹(shù)基本完成。

4.3 枝干的分叉、分級(jí)與拓?fù)鋬?yōu)化

分形樹(shù)的完成也意味著基本樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)的生成，但桿件AB和桿件BO內(nèi)部需留出空腔營(yíng)造出輕盈、通透、無(wú)柱感的空間效果，同時(shí)還需內(nèi)藏設(shè)備管線(xiàn)，因此需分叉得到新的分形樹(shù)（圖7）。在此基礎(chǔ)上，瓏府中心的結(jié)構(gòu)進(jìn)一步分級(jí)和分叉，形成二級(jí)二分叉的樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)（圖8）。桿件拓?fù)鋬?yōu)化成曲線(xiàn)形態(tài)，但受材料的限制，拓?fù)浞绞街皇窃谠A(chǔ)上進(jìn)一步分級(jí)分叉，形成接近于曲線(xiàn)形態(tài)卻是由更小直桿件構(gòu)成的樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)（圖9）。最后通過(guò)桿件和金屬連接件在生長(zhǎng)點(diǎn)處加以連接形成圈梁和橫梁，得到瓏府中心樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)的最終形態(tài)（圖10，11）。

4.4 符合標(biāo)準(zhǔn)化建造的分形

為了便于快速施工和后期的拆卸安裝，瓏府中心采用了標(biāo)準(zhǔn)化的重復(fù)結(jié)構(gòu)單元和正方形結(jié)構(gòu)平面，使結(jié)構(gòu)可以在X軸或Y軸任意拼接，既可以獨(dú)立存在，又可以組合成兩個(gè)或者多個(gè)更大的空間，以此應(yīng)對(duì)各種功能和空間的靈活變化（圖12～15）。同時(shí)結(jié)構(gòu)單元形態(tài)質(zhì)樸端莊，無(wú)論單個(gè)存在還是多個(gè)組合，都能帶給人舒適的視覺(jué)體驗(yàn)。由此可見(jiàn)，合理的分形方式不僅可以創(chuàng)建出優(yōu)美的結(jié)構(gòu)形態(tài)，還能創(chuàng)造多樣的利用方式，提高建筑的可持續(xù)性和使用效率。

5 結(jié)論

美國(guó)著名物理學(xué)家惠勒曾說(shuō)：“今后誰(shuí)不熟悉分形，誰(shuí)就不能被稱(chēng)為科學(xué)上的文化人。”[4]分形理論為樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)的形態(tài)設(shè)計(jì)提供了合理的方法和新的視角，使樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)的形態(tài)設(shè)計(jì)更多樣化和合理化。在分形幾何的方法理論基礎(chǔ)上，樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)通過(guò)枝干的分叉、分級(jí)以及拓?fù)鋬?yōu)化來(lái)構(gòu)成千變?nèi)f化的結(jié)構(gòu)形態(tài)，并適用于不同類(lèi)型的建筑及空間中。因此在樹(shù)狀木結(jié)構(gòu)的應(yīng)用過(guò)程中，需選擇合理的分形方式和空間尺度，使結(jié)構(gòu)、功能和空間相互適應(yīng)協(xié)調(diào)。

3 瓏府生活體驗(yàn)中心內(nèi)景

4 點(diǎn)的產(chǎn)生

5 點(diǎn)的連接

6 樹(shù)形生成

7 枝干分叉

8 枝干分級(jí)

10 結(jié)構(gòu)平面

9 拓?fù)鋬?yōu)化

11 結(jié)構(gòu)剖面

12 亭子

13 茶室

14 閱覽室

15 火車(chē)站

圖表來(lái)源

表2～4 的案例圖片，圖3，12～15 來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)；其余圖表均為作者自繪。