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    基于觀測器的多智能體系統(tǒng)的有限時間包含控制

    2021-03-04 13:51:54張靜怡苗國英
    計算機測量與控制 2021年2期
    關(guān)鍵詞:智能系統(tǒng)

    張靜怡, 苗國英, 2, 紀 龍

    (1.南京信息工程大學 自動化學院,南京 210044;2.南京信息工程大學 江蘇大氣環(huán)境與裝備技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心,南京 210044)

    0 引言

    近年來,由于在無人機編隊、機器人聚集等領(lǐng)域的廣泛應用,多智能體系統(tǒng)的分布式協(xié)同控制已成為控制領(lǐng)域[1-2]的熱點問題,其主要研究方向有:一致性問題[3]、群集問題和編隊問題[4]等。早期對多智能體系統(tǒng)的研究工作,主要集中無領(lǐng)導者和單領(lǐng)導者的拓撲結(jié)構(gòu),然而在多智能體實際應用中,由于單領(lǐng)導者能力有限,往往需要多個領(lǐng)導者來實現(xiàn)集體層面上的協(xié)同合作。當系統(tǒng)中存在多領(lǐng)導者的情況時,文獻[5]為使跟隨者移動至領(lǐng)導者組成的給定幾何空間中,提出包含控制問題。

    包含控制可以看作編隊問題的特殊情形,是指通過設(shè)計分布式控制器,驅(qū)使一組跟隨者在多個領(lǐng)導者的引領(lǐng)下, 最終進入并保持在由領(lǐng)導者所形成的幾何空間(凸包)中運動。與傳統(tǒng)多智能體的一致性問題相比,包含控制更能突出分布式協(xié)同控制的優(yōu)勢,因此包含控制問題得到國內(nèi)外學者的廣泛研究。對于高階多智能體系統(tǒng),文獻[6]考慮了在連續(xù)和離散時間的情況下,基于相鄰智能體輸出信息的包含控制問題。文獻[7]考慮基于馬爾科夫切換的通信拓撲下,作者提出帶有測量白色噪聲的包含控制方法。文獻[8]針對帶有靜態(tài)和動態(tài)領(lǐng)導者的多智能體系統(tǒng),考慮輸入延遲問題,基于脈沖控制算法理論,提出一類基于脈沖通信周期的包含控制算法。文獻[9]考慮基于系統(tǒng)的狀態(tài)反饋量和輸出反饋量設(shè)計包含控制協(xié)議,得到多智能體系統(tǒng)在輸入飽和狀態(tài)下達到包含控制的充分條件。針對離散時間系統(tǒng),在無向固定通信拓撲下,文獻[10]實現(xiàn)包含控制的收斂時間根據(jù)任務要求預先設(shè)定。在文獻[11]中,考慮帶有通信噪聲的多智能體系統(tǒng),基于卡爾曼濾波理論,作者設(shè)計一種隨機包含控制協(xié)議。目前已有的多智能體系統(tǒng)包含控制算法,大多是基于漸近穩(wěn)定性理論[12],即各個智能體在時間趨于無窮大時達到理想狀態(tài)。為提高系統(tǒng)的控制精度,進而提出有限時間控制算法,既提高了系統(tǒng)的收斂速度,又可以增強控制器的魯棒性。文獻[13]引入非線性反饋控制方程,通過線性矩陣不等式,得到了系統(tǒng)實現(xiàn)有限時間包含控制的充分條件。文獻[14]研究了二階系統(tǒng)基于跟隨者的相對狀態(tài),在固定拓撲下的有限時間包含控制問題。

    在有向圖通信拓撲下,本文研究了具有一般形式的多智能體有限時間包含控制問題,利用終端滑模控制良好的魯棒性,可使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間收斂到平衡點,突破了傳統(tǒng)系統(tǒng)漸近收斂的局限。與文獻[13]相比,本文考慮了二階系統(tǒng)的情況,并針對跟隨者狀態(tài)不可在線獲得的問題,提出一種基于有限時間狀態(tài)觀測器的算法。與文獻[14]相比,本文引入快速終端滑??刂疲⒖紤]具有未知有界加速度的領(lǐng)導者情況,可在保持傳統(tǒng)滑??刂苾?yōu)點的前提下,有效加快系統(tǒng)收斂速度且更具有實際應用意義。本文提出了兩類有限時間控制算法,利用模型轉(zhuǎn)換的技巧,把包含控制問題轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題?;诶钛牌罩Z夫理論、圖論、線性矩陣不等式的技巧,得到使系統(tǒng)達到包含控制的充分條件,最后通過仿真,驗證算法的有效性。

    1 圖論及相關(guān)引理

    在給出本文的主要定理之前,先引入一些重要的引理和假設(shè)條件。

    假設(shè)1:在多智能系統(tǒng)中,對于任意跟隨者智能體,領(lǐng)導者至少存在一條通往該跟隨者的有向路徑。

    引理1[15]:對于如下多智能體系統(tǒng),假設(shè)存在一連續(xù)正定的函數(shù)V(x)定義在原點的鄰域,且滿足實數(shù)c>0,a∈(0,1),使得:

    1)V(x)是正定的;

    2 有限時間包含控制

    本文考慮由M個跟隨者和N-M個領(lǐng)導者組成的有外部干擾的多智能體系統(tǒng),有向圖G= (V,E,A)表示系統(tǒng)的通信拓撲結(jié)構(gòu)。在實際的系統(tǒng)中,單個無人艇看作是一個智能體,由于傳統(tǒng)單無人艇存在執(zhí)行任務能力單一、魯棒性差等問題,多無人艇協(xié)同控制技術(shù)已在海洋環(huán)境中得到廣泛應用。例如,M艘跟隨艇和N-M艘領(lǐng)航艇組成的多無人艇系統(tǒng),控制目標是通過設(shè)計無人艇控制器算法驅(qū)使跟隨艇在有限時間內(nèi)達到期望的位置和速度,并收斂到由領(lǐng)導者組成的凸包中。多無人艇系統(tǒng)由領(lǐng)航艇和跟隨艇組成,領(lǐng)航者具有自主完成任務的行為,跟隨者具有通信信息交互和追蹤領(lǐng)航者行為。

    由于考慮領(lǐng)導者不與其它領(lǐng)導者通信的情況,因此圖G的拉普拉斯矩陣可以寫成如下形式:

    式中,F(xiàn)={1,…,M}和R={M+1,…,N}分別表示跟隨者和領(lǐng)導者所在的集合,LFF∈RM×M,LFR∈RM×(N-M)。

    考慮跟隨者的二階動力學模型描述如下:

    (1)

    其中:xi∈Rn,vi∈Rn分別表示第i個跟隨者智能體的位置狀態(tài)和速度狀態(tài),ui∈Rn表示第i個跟隨者智能體的控制輸入,ωi∈Rn為外部干擾及不確定項。

    考慮領(lǐng)導者的二階動力學模型描述如下:

    (2)

    其中:xi∈Rn,vi∈Rn,ui∈Rn分別表示第i個領(lǐng)導者智能體的位置、速度和控制輸入。

    針對帶有多個領(lǐng)導者的多智能體系統(tǒng),本文基于快速終端滑模控制設(shè)計有限時間包含控制算法。首先引入閉環(huán)位置和速度包含誤差系統(tǒng)設(shè)計終端滑模面;其次基于設(shè)計的滑模面,分別構(gòu)造領(lǐng)導者和跟隨者的有限時間包含控制協(xié)議,該包含控制算法能有效抑制外部干擾,使系統(tǒng)表現(xiàn)出更好的魯棒性。

    exi=xfi-xqi,i=1,…,M

    evi=vfi-vqi,i=1,…,M

    (3)

    根據(jù)系統(tǒng)位置誤差和速度誤差方程式(3),定義滑模面為:

    Si(t)=(exi(t))q/p+evi(t)

    (4)

    針對系統(tǒng)式(1)、(2),基于快速終端滑模控制的思想,提出分布式控制算法如下:

    ui(t)=

    (5)

    定義1[13]:對于有限時間T∈(0,+∞),若系統(tǒng)滿足對智能體任意初始狀態(tài)x(0),跟隨者式(1)都能移動并保持在由領(lǐng)導者式(2)組成的凸包中運動,則稱控制協(xié)議(4)、(5)能在T時刻內(nèi)解決系統(tǒng)的有限時間包含問題,表示如下式:

    定理1:對于帶有外部干擾的多智能體系統(tǒng),假設(shè)通信拓撲圖G具有有向生成樹且滿足假設(shè)1,若存在常數(shù)η>0,則在協(xié)議(4)、(5)作用下,多智能體系統(tǒng)(1)、(2)可實現(xiàn)有限時間包含控制。

    其中:uf(t)=[u1(t),…,uM(t)]Τ。

    3 基于觀測器的有限時間包含控制

    上述內(nèi)容研究基于滑模面的有限時間包含控制問題,其中跟隨者的位置和速度信息都可以在線獲得。下面進一步考慮靜態(tài)多領(lǐng)導者系統(tǒng)中,跟隨者狀態(tài)不能在線獲得的情況??紤]跟隨者是較為一般的系統(tǒng)模型[17]如下:

    (6)

    考慮領(lǐng)導者的系統(tǒng)模型為:

    (7)

    其中:A∈Rn×n,B∈Rn×p,C∈Rq×n表示維度相容的輸入和輸出矩陣,xi(t)∈Rn,ui(t)∈Rp,yi(t)∈Rq分別表示在t時刻,第i個智能體的狀態(tài)、控制輸入和輸出。

    假設(shè)2:在線性多智能體系統(tǒng)(6)中,A為Hurwitz矩陣且(A,B,C)為可鎮(zhèn)定且可檢測的。

    由于在實際應用系統(tǒng)中,領(lǐng)導者的狀態(tài)可知,跟隨者需要根據(jù)相鄰智能體之間的信息交互來更新自身狀態(tài)信息,考慮由于通信時延、環(huán)境噪聲干擾等因素的影響,跟隨者不能在線獲得相鄰智能體狀態(tài)的情況,因此本文為每個跟隨者智能體設(shè)計狀態(tài)觀測器,如式(8)所示:

    (8)

    sig(y)α=(|y1|αsgn(y1),…,|yk|αsgn(yk))Τ,α>0

    其中:|yi|表示yi的絕對值,sgn(·)表示符號函數(shù),y=(y1,y2,…,yk)Τ,i=1,2,…,k。

    受到文獻[13]啟發(fā),對于第i個跟隨者智能體,基于上述觀測器設(shè)計分布式有限時間控制協(xié)議如下:

    (9)

    其中:k>0,ε>0為常數(shù),0<γ<1,P為滿足式(10)的正定矩陣。

    pΤsig(p)α≥(pΤp)(1+α/2),α∈(0,1)

    在假設(shè)2成立的情況下,矩陣A為Hurwitz矩陣,對于矩陣P>0,滿足下列不等式:

    PA+AΤP-ελmin(LFF)PBBΤP<0

    (10)

    其中:λmin(·)表示矩陣的最小特征值。

    定理2:考慮帶有多個領(lǐng)導者的多智能體系統(tǒng),滿足假設(shè)1~2且通信拓撲圖G具有有向生成樹,對于任意的正實數(shù)β,矩陣P>0滿足式(10),則在算法(8)、(9)的作用下能使系統(tǒng)(6)、(7)在有限時間實現(xiàn)包含控制。

    證明:定義每個智能體系統(tǒng)狀態(tài)和觀測器狀態(tài)之間的誤差ei(t)為:

    (11)

    (12)

    定義每個跟隨者智能體包含控制誤差向量δi(t)為:

    (13)

    將式(12)整理成如下增廣矩陣形式:

    (14)

    選定Lyapunov函數(shù)V1(t)=e(t)Τe(t),沿著系統(tǒng)(14)的軌跡求(t)關(guān)于時間t的導數(shù),并將式(12)代入,則有:

    2e(t)T(IM?A)e(t)-2e(t)TβCTGTsig[(IM?GC)e(t)]a

    考慮A為Hurwitz矩陣,且e(t)T(IM?A)e(t)<0,由引理3可得:

    ε(LFF?B)sig[(I?P)δ(t)]γ

    選定Lyapunov函數(shù)V2(t)=δΤ(t)(I?P)δ(t),根據(jù)上式,對V2(t)求導可得:

    2εδΤ(t)(I?P)(LFF?B)sig[(I?P)δ(t)]γ

    由引理2和3可知,矩陣LFF的所有特征值均具有正實部,且正定矩陣P滿足式(10)的矩陣不等式,如下形式:

    I?(PA+AΤP)-ελmin(LFF)(IN?PBBTP)<0

    其中:λmin(LFF)表示LFF矩陣的最小特征值。

    于是滿足下式:

    4 仿真結(jié)果與分析

    為驗證本文所提算法的有效性,給出以下的仿真示例。本文針對實際應用中多無人艇系統(tǒng),考慮復雜多變的海洋環(huán)境和通信環(huán)境,多無人艇系統(tǒng)需要適應各類不確定因素,同時也要高效完成協(xié)同控制任務,對多無人艇有限時間包含控制問題進行仿真。

    假設(shè)多無人艇系統(tǒng)具有3個跟隨艇和3個領(lǐng)航艇,其中無人艇1,2,3為跟隨者,無人艇4,5,6為領(lǐng)導者,圖1為系統(tǒng)的有向通信拓撲圖。

    圖1 無人艇通信拓撲結(jié)構(gòu)

    由圖1可知,系統(tǒng)的鄰接矩陣、Laplacian矩陣分別如下:

    選取無人艇控制器的參數(shù)為p=7,q=5,η=10,μ=0.1。假設(shè)各艘跟隨無人艇受到的未知海洋環(huán)境干擾為ωi=[0.1sin(t),0.1cos(t)]Τ,i∈1,2,…,M。各艘無人艇的初始狀態(tài)坐標分別為(-7,10)、(9,7)、(-13,-9)、(-2,6)、(5,4)、(-3,-2)。

    根據(jù)定理1,利用算法(4)、(5),多無人艇系統(tǒng)(1)、(2)的狀態(tài)可實現(xiàn)包含控制。圖2表示滑模面隨時間變化的曲線,仿真結(jié)果表明滑模面在2.5 s時到達S(t)=0。圖3表示領(lǐng)航艇和跟隨艇的運動軌跡,跟隨艇航跡在4 s后完全收斂并保持在由領(lǐng)航艇航跡組成的凸包中運動。

    圖2 滑模面變化軌跡

    圖3 無人艇運動軌跡

    假設(shè)基于狀態(tài)觀測器的無人艇系統(tǒng)參數(shù)選取為:

    通過Matlab工具箱求解線性矩陣不等式(10),得到矩陣P的可行解為:

    根據(jù)定理2,利用控制算法(8)、(9),多無人艇系統(tǒng)(6)、(7)的狀態(tài)可以實現(xiàn)包含控制,通過計算,得到T1=3.7 s,T2=2.63 s,時間上限為T1+T2=6.33 s,仿真結(jié)果如圖4和圖5所示。圖4表示每艘跟隨艇狀態(tài)誤差隨時間變化曲線,在2.5 s時系統(tǒng)狀態(tài)估計值與真實值達到一致。圖5表示各無人艇位置狀態(tài)隨時間變化的軌跡曲線,仿真顯示在1.5 s時,跟隨艇進入由領(lǐng)航艇形成的凸包內(nèi),在有限時間6.33 s內(nèi)達到包含控制。通過對多無人艇包含控制仿真結(jié)果與分析,表明本文理論結(jié)果的有效性。

    圖4 誤差變化軌跡

    圖5 無人艇各方向運動軌跡

    5 結(jié)束語

    本文針對多智能體系統(tǒng),提出基于快速終端滑模控制的有限時間包含控制算法,運用圖論、李亞普諾夫穩(wěn)定性理論和非線性系統(tǒng)理論,得到實現(xiàn)包含控制的條件。進而,對于一般形式的多智能體系統(tǒng),考慮基于輸出信息構(gòu)造有限時間狀態(tài)觀測器,即在有限時間內(nèi)估計出智能體的運動狀態(tài),解決了智能體運動狀態(tài)不可在線獲得的問題。此外,當通信中存在噪聲干擾和隨機變化的拓撲情況,研究多智能體系統(tǒng)的包含控制問題,是下一步的主要研究工作。

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