區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣一致性水平修正的離散化方法

吳志彬,陳 雪,徐玖平

(四川大學(xué)商學(xué)院,四川成都610065)

1 引言

多屬性決策是現(xiàn)代商業(yè)社會常見的一類決策問題.決策者常常使用Saaty[1]提出的層次分析法來解決經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域的各種復(fù)雜決策問題.這一方法的核心思想就是將備選方案兩兩配對比較,構(gòu)造判斷矩陣來反映方案的排序情況[2-4].然而,由于復(fù)雜和不確定的社會經(jīng)濟(jì)環(huán)境以及人類判斷的內(nèi)在主觀性質(zhì),有時(shí)難以獲得準(zhǔn)確的判斷.在與研究領(lǐng)域相關(guān)人員的交談中以及從文獻(xiàn)中發(fā)現(xiàn),企業(yè)界和學(xué)術(shù)界均已經(jīng)使用多種方法來處理及表示這種不確定性.區(qū)間判斷矩陣就已經(jīng)廣泛應(yīng)用于多屬性評價(jià)和決策中表示人們的主觀判斷信息,以解決偏好信息的不確定性和偏好強(qiáng)度的模糊性.然而,使用區(qū)間判斷矩陣進(jìn)行決策有兩個(gè)亟待解決的問題:如何定義區(qū)間判斷矩陣的一致性指標(biāo)?如何修正不滿足一致性水平要求的區(qū)間判斷矩陣? 常用的區(qū)間判斷矩陣主要為區(qū)間互反判斷矩陣和區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣[3,5],本文集中于討論區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣.

同判斷矩陣一樣,區(qū)間判斷矩陣的一致性指標(biāo)可用來判斷決策者給出的判斷是否是合理的和符合邏輯的.由于區(qū)間偏好具有不確定性,初始的區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣很難滿足給定的個(gè)體一致性水平[6].高度不一致的判斷矩陣可能產(chǎn)生誤導(dǎo)性的決策結(jié)果.但是,學(xué)術(shù)界對區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣的一致性指標(biāo)定義還沒有達(dá)成共識.Liu 等[7]考慮了所有區(qū)間邊界值的排列組合,定義了區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣的弱一致性指標(biāo),以此反映決策者的有限理性程度.此外,Wang[8,9]對區(qū)間偏好的最大值和最小值求取幾何平均值,定義了區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣的幾何一致性指標(biāo).這些一致性指標(biāo)定義方法僅考慮了眾多區(qū)間內(nèi)部偏好信息的排列組合中的某種特殊情況[10],而且當(dāng)其一致性指標(biāo)定義不被滿足時(shí)不能得出其不一致性水平具體達(dá)到的程度[6,11].為此,Dong等[12]將區(qū)間偏好看作正態(tài)分布,定義了區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣的均值一致性指標(biāo),也定義了最優(yōu)一致性指標(biāo)和最差一致性指標(biāo).最優(yōu)一致性和最差一致性指標(biāo)能反映從屬于區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣的確定型互補(bǔ)判斷矩陣的一致性水平范圍.首先,當(dāng)為提高決策者偏好的一致性水平,為他們提供輔助的修正意見時(shí),決策者希望知道他們給出的不確定判斷矩陣信息中包含的所有確定型判斷矩陣中最差的一致性水平不會低于多少.其次,當(dāng)區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣最優(yōu)一致性指標(biāo)和最差一致性指標(biāo)得到了改進(jìn),其均值一致性指標(biāo)在某種程度上也得到了提升.因此改進(jìn)區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣的最優(yōu)一致性指標(biāo)與最差一致性指標(biāo)具有重要的理論意義,能較為科學(xué)全面地保障決策者所給偏好信息的質(zhì)量和可靠程度.

當(dāng)區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣未達(dá)到預(yù)定的一致性水平要求時(shí),需要調(diào)整區(qū)間偏好[13].各種區(qū)間判斷矩陣一致性指標(biāo)及其改進(jìn)方法被提出,這些方法在特定的研究背景中都取得了比較好的效果，但已有研究仍然存在不足之處.Dong 等[12]僅討論了改進(jìn)均值一致性指標(biāo)的方法,迫切需要建立改進(jìn)區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣最優(yōu)一致性指標(biāo)和最差一致性指標(biāo)的方法.另一方面,現(xiàn)有的部分一致性指標(biāo)改進(jìn)方法提出的建議往往是連續(xù)的數(shù)值[13].然而,決策者使用的原始判斷標(biāo)度往往是有具體含義的離散標(biāo)度集[6,14],因此可假設(shè)決策者更容易接受符合離散標(biāo)度集的修正意見.基于以上分析,本文提出了互補(bǔ)判斷矩陣個(gè)體一致性指標(biāo)改進(jìn)的新的迭代方法,進(jìn)而建立了改進(jìn)區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣的最優(yōu)一致性指標(biāo)和最差一致性指標(biāo)的方法.這些方法給出的建議符合初始的評估標(biāo)度集,更易于被決策者理解.算例及比較分析驗(yàn)證了本文所提方法的有效性.

2 互補(bǔ)判斷矩陣的一致性

本節(jié)首先回顧了經(jīng)典的互補(bǔ)判斷矩陣的一致性定義,接著提出了一種迭代方法來識別不一致元素,用于改進(jìn)互補(bǔ)判斷矩陣的個(gè)體一致性水平.

2.1 互補(bǔ)判斷矩陣的一致性定義

設(shè)X={x1,x2,...,xn}為方案集,記N={1,2,...,n}.決策者對X中的方案兩兩比較后構(gòu)成矩陣F=(fij)n×n.

定義1[15]若矩陣F=(fij)n×n滿足fii=1,0 ≤fij≤1,fij+fji=1,?i,j ∈N,i/=j,則稱矩陣F為互補(bǔ)判斷矩陣.

F中的元素表示方案xi優(yōu)于方案xj的隸屬程度.fij＞1/2 意味著方案xi優(yōu)于方案xj,fij=1/2 意味著方案xi與方案xj具有同等的重要性.決策者在給出其判斷偏好時(shí),僅須提供矩陣中上三角位置的元素,下三角元素可通過互補(bǔ)性得出,即fij+fji=1.

在決策過程中,決策者需要依賴于一個(gè)評估標(biāo)度集,來表示fij的取值.最常用的兩個(gè)標(biāo)度集為

S[0,1]={0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1},S[0.1,0.9]={0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9}.

S[0,1]與S[0.1,0.9]均為離散的標(biāo)度集,其中每一個(gè)元素本質(zhì)上對應(yīng)一個(gè)語言判斷或語言術(shù)語.決策分析的方法通常假定決策者接受一個(gè)給定的離散語言標(biāo)度集(與一個(gè)具有有限的奇數(shù)個(gè)元素的語言術(shù)語集相對應(yīng)),從而使得他們給出的偏好更易于理解和后繼分析.標(biāo)度集S[0,1]考慮了0 和1 兩個(gè)極端偏好,而已有大部分相關(guān)獻(xiàn)給出的例子并沒有極端偏好值.使用哪種標(biāo)度集并不影響后文算法的提出,因此不失一般性后文所提出的方法假定決策者在給出偏好時(shí)基于的標(biāo)度集為S[0.1,0.9].

定義2[16]若互補(bǔ)判斷矩陣F=(fij)n×n滿足fij+fjk+fki=3/2,i,j,k ∈N,則稱F是完全一致的互補(bǔ)判斷矩陣.

定義3[17]互補(bǔ)判斷矩陣F=(fij)n×n的一致性指標(biāo)CI(F)定義為

式(1)可寫為

一致性指標(biāo)從側(cè)面反映了個(gè)體偏好的理性程度.CI(F)度量了F的基數(shù)一致性水平.如果CI(F)=1,則稱F為一致性互補(bǔ)判斷矩陣.對于給定的閾值CI,若CI(F)≥CI,則稱F具有滿意的一致性水平.

2.2 互補(bǔ)判斷矩陣的一致性改進(jìn)原理

2.3 互補(bǔ)判斷矩陣的一致性改進(jìn)方法

由2.2 節(jié)的分析可知,為達(dá)到提高修正速度、減少迭代次數(shù)的目的,需要在原始矩陣元素中選取|ρij|最大值時(shí)對應(yīng)的偏好(最不一致元素)進(jìn)行修改.在不改變FS中元素的正負(fù)號的原則下,修改量越大,對提高一致性指標(biāo)的作用越大.因此,對于給定的互補(bǔ)判斷矩陣,一致性指標(biāo)改進(jìn)的步驟如下.

表1 算例1 的結(jié)果Table 1 Results for example 1

文獻(xiàn)[18]在修改此算例時(shí),先后修改了f24與f34,是此判斷矩陣個(gè)體一致性修正的另一種可行的方法.但是文獻(xiàn)[18]并未定義元素的修改范圍.文獻(xiàn)[19]提出了一種離散化修改的迭代方法,采用文獻(xiàn)[19]的方法修改此算例,修改的也是f24與f34兩個(gè)元素,上三角的修改量為0.7,與本文方法得到的修改量相同.

3 區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣的一致性

本節(jié)首先引入?yún)^(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣的最優(yōu)一致性指標(biāo)與最差一致性指標(biāo)的定義,隨后將算法1拓展應(yīng)用于區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣的一致性指標(biāo)改進(jìn)當(dāng)中.

3.1 最優(yōu)一致性指標(biāo)與最差一致性指標(biāo)

3.2 區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣的一致性改進(jìn)方法

4 算例與對比分析

表2 算例2 區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣修改結(jié)果Table 2 Results for example 2

Dong 等[12]提出的方法是針對區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣均值一致性指標(biāo)的改進(jìn),但是其本質(zhì)是逐步縮小區(qū)間,提高均值一致性指標(biāo).與文獻(xiàn)[12]的對比結(jié)果如表3所示.

表3 文獻(xiàn)[12]與本文方法修改結(jié)果對比Table 3 Comparison results between the proposed method and method in literature[12]

在兩種算法修改后的矩陣的最差一致性指標(biāo)值相同的情況下,本文方法的修改量更小,修改元素的個(gè)數(shù)也更少.

算例3設(shè)決策者給出的區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣為[22]

該區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣的最優(yōu)一致性指標(biāo)和最差一致性指標(biāo)分別為CCI(R)=1 和WCI(R)=0.9.為便于比較,設(shè)置和本文的修改結(jié)果和Meng 等[22]的結(jié)果對比如表4所示.Meng 等[22]雖然修改了所有的上三角元素,但是其最差一致性指標(biāo)WCI 仍然不滿足可接受的一致性水平.主要原因是文獻(xiàn)[22]定義的一致性指標(biāo)同本文不同,在那里作者并沒有對最差一致性指標(biāo)進(jìn)行控制.

表4 文獻(xiàn)[22]與本文方法修改結(jié)果對比Table 4 Comparison results between the proposed method and method in literature[22]

算例4設(shè)決策者給出的區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣為[23]

該區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣的最優(yōu)一致性指標(biāo)和最差一致性指標(biāo)分別為CCI(R)=1 和WCI(R)=0.733 3.為便于比較,設(shè)置和本文的修改結(jié)果和Liu 等[23]的結(jié)果對比如表5所示.雖然兩種方法的修改量差不多,但是在文獻(xiàn)[23]中幾乎修改了判斷矩陣的所有元素.

表5 文獻(xiàn)[23]與本文方法修改結(jié)果對比Table 5 Comparison results between the proposed method and method in literature[23]

從算例2 到算例4 這幾個(gè)例子看出,本文所提方法得出的修改量同已有方法比較不一定是最優(yōu)的,因?yàn)楸举|(zhì)上本文所提的方法潛在的目標(biāo)是使得修改的元素個(gè)數(shù)最小.本文所提方法的另一個(gè)顯著特點(diǎn)是為決策過程的意見交互階段提供離散的修改意見,從而提高結(jié)果的可解釋性和可接受性.值得注意的是,如果在以上算法中使用的是第一種標(biāo)度集合S[0,1],則修正后的判斷矩陣同前述結(jié)果仍然是一致的.

5 結(jié)束語

在區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣信息環(huán)境下,最優(yōu)與最差一致性指標(biāo)是衡量決策者給出的判斷信息的理性程度的一種方式.本文提出的離散化方法通過識別、修改最不一致元素改進(jìn)區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣對應(yīng)的最優(yōu)一致性指標(biāo)和最差一致性指標(biāo),從而對區(qū)間互補(bǔ)判斷矩陣的一致性水平進(jìn)行控制.跟已有文獻(xiàn)的對比分析表明了所提方法的優(yōu)越性.最優(yōu)一致性指標(biāo)及最差一致性指標(biāo)的閾值的確定反映出對決策者所給偏好信息的理性程度要求.目前的研究多是采用主觀方式直接設(shè)定,尚未有明確和統(tǒng)一的設(shè)置這些閾值的客觀方法.未來的研究可考慮用模擬的方法來確定出這些一致性指標(biāo)閾值與修改量、修改次數(shù)的關(guān)系,從而為偏好信息修改提供更精準(zhǔn)的指導(dǎo).偏好的次序一致性是比基數(shù)一致性更為基本的一種理性度量概念,本文考慮的個(gè)體一致性屬于基數(shù)一致性,如何結(jié)合次序一致性研究區(qū)間判斷矩陣的個(gè)體一致性是進(jìn)一步研究的方向.