基于 ADMM 的非凸正則化軸承故障診斷方法研究

北京化工大學(xué)機電工程學(xué)院 北京 100029

如今的工業(yè)生產(chǎn)中，機械設(shè)備不斷向大型化、高速化和集成化的方向發(fā)展，在提高生產(chǎn)效率的同時，也帶來一系列問題，比如設(shè)備長期工作于復(fù)雜工況下，測得的振動數(shù)據(jù)冗余。因此，如何從海量振動數(shù)據(jù)中獲取有用的設(shè)備故障信息，成為當(dāng)前設(shè)備診斷領(lǐng)域亟待解決的問題[1-2]。

近年來，基于l1范數(shù)正則化的稀疏表示模型在故障診斷領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，其在一定程度上降低了數(shù)據(jù)的冗余度和處理難度。然而，當(dāng)故障信息非常微弱，且被淹沒于多干擾源和強背景噪聲中時，傳統(tǒng)的稀疏表示模型不能得出較好的效果[3-4]。因此，一些研究人員便開展了基于非凸正則化的稀疏算法研究。在引入非凸正則化的同時，又增加了新的問題，目標(biāo)函數(shù)較復(fù)雜，稀疏分解規(guī)模較大，使用傳統(tǒng)的優(yōu)化算法 (如梯度下降法、共軛梯度法)難以得到全局最優(yōu)解[5-7]。針對這一問題，交替方向乘子法 (Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM)提供了一個新的解決思路[8-9]。

ADMM 算法早在 20 世紀(jì) 70 年代就已經(jīng)被提出，2010 年被 Boyd 等人[10]證明適用于具有可分離變量的大規(guī)模優(yōu)化問題。ADMM 算法首先依據(jù)原始優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件構(gòu)造一個增廣拉格朗日函數(shù)，然后通過對偶上升法交替更新變量。其本質(zhì)是將原始優(yōu)化問題等價分解為若干個低維子問題，使用傳統(tǒng)的優(yōu)化算法求出低維子問題的最優(yōu)解，從而得到原始優(yōu)化問題的全局解。多數(shù)情況下，分離得到的子問題不需要進行收斂性證明即可求得最優(yōu)解[11-12]。相較于一些傳統(tǒng)算法，ADMM 算法的求解速度快，收斂性能好，因此在統(tǒng)計、機器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[13-14]。

Du 等人[15]提出了一種新型稀疏框架，即將時域波形不同，頻譜相似的多個故障信號通過冗余字典來稀疏表示，把得到的稀疏系數(shù)作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的正則項，然后通過 ADMM 算法求解此優(yōu)化問題，并使用風(fēng)電場齒輪箱故障信號驗證。與現(xiàn)有技術(shù)相比，該框架在故障診斷領(lǐng)域表現(xiàn)出一定的優(yōu)越性。孫占龍等人[16]提出了一種基于 ADMM 字典學(xué)習(xí)的稀疏分解方法，該方法在字典學(xué)習(xí)階段使用 ADMM 更新字典原子，稀疏編碼階段使用正交匹配追蹤算法 (OMP)。與 K-SVD 字典學(xué)習(xí)相比，該方法構(gòu)造的字典與滾動軸承振動信號更匹配，可以有效抑制原始信號中的高頻噪聲，準(zhǔn)確提取故障特征。Song 等人[17]提出了一種新的滾動軸承振動信號稀疏重建算法，該算法在重構(gòu)階段采用最小二乘 QR 分解 (LSQR)算法優(yōu)化 Lasso回歸模型，并且使用 ADMM 算法求解該優(yōu)化問題。與基追蹤算法和 Lasso 回歸相比，該算法重構(gòu)誤差較小，能在較高的壓縮比下達到足夠的重構(gòu)精度。筆者將 ADMM 算法應(yīng)用于非凸稀疏正則化問題的優(yōu)化求解，充分利用了目標(biāo)函數(shù)的可分離性，解決了目標(biāo)函數(shù)較復(fù)雜和稀疏分解規(guī)模較大的問題。

1 ADMM 算法原理

ADMM 算法將對偶上升法的可分解性和乘子法的上界收斂性進行了整合，最初被用來求解以下等式的約束問題。

式中：x、z為優(yōu)化變量。

作為一種原對偶方法，ADMM 將式 (1)中的目標(biāo)函數(shù)和約束條件通過一個對偶參數(shù)耦合在一起，并且為了保證構(gòu)造的函數(shù)是嚴(yán)格凸的，再增加一個懲罰項。于是，構(gòu)成的增廣拉格朗日函數(shù)為

2 非凸優(yōu)化稀疏表示

實際工業(yè)生產(chǎn)中，軸承所處的工作環(huán)境往往含有大量噪聲干擾，再加上采集的振動信號故障較微弱，導(dǎo)致采用基于l1范數(shù)正則化的傳統(tǒng)稀疏表示模型難以準(zhǔn)確提取和識別信號特征頻率。針對這一問題，筆者構(gòu)造了一個新型稀疏表示模型，即在基于l1范數(shù)正則化的基礎(chǔ)上增加非凸懲罰函數(shù)，然后利用 ADMM 算法進行求解。

2.1 基于 l1范數(shù)正則化的稀疏表示模型

旋轉(zhuǎn)機械運行過程中，采集到的振動信號往往伴有大量的噪聲干擾，因此觀測信號通常表示為

式中：y為采集到的振動信號；s為僅包含故障特征的振動成分；w為噪聲干擾，通常假設(shè)為高斯白噪聲。

為了從采集到的振動信號y中提取出故障特征成分s，稀疏表示特征提取方法構(gòu)造了如下無約束優(yōu)化問題：

式中：F(x)為目標(biāo)函數(shù)，由數(shù)據(jù)保真項和懲罰函數(shù)項組成；α為正則化參數(shù)，用來調(diào)節(jié)目標(biāo)函數(shù)中 2 個部分的權(quán)重。

雖然基于l1范數(shù)的優(yōu)化方法可以使得提取出的故障特征成分呈現(xiàn)稀疏性，但是往往會低估高振幅分量，導(dǎo)致特征成分提取不夠準(zhǔn)確[18]?；诜峭箲土P函數(shù)的優(yōu)化方法可以更準(zhǔn)確地提取信號的特征成分，考慮在傳統(tǒng)稀疏表示模型基礎(chǔ)上增加非凸懲罰函數(shù)，以提高滾動軸承故障特征提取精度。

2.2 非凸懲罰函數(shù)

筆者選用非凸懲罰函數(shù)來增強重構(gòu)信號的稀疏性，選用的非凸函數(shù)φ∶R→R 應(yīng)滿足以下條件：

(1)φ在 R 范圍內(nèi)連續(xù)；

(2)φ在 R≠0 范圍內(nèi)二階可微；

(3)φ在 R+范圍內(nèi)是凹函數(shù)，且是遞增的；

(4)φ是偶函數(shù)；

(5)?x≠0,。

圖1 絕對值函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖像 (b=1)Fig.1 Graph of absolute function and logarithmic function (b=1)

2.3 ADMM 算法求解非凸正則化問題

式中：b為標(biāo)量參數(shù)，可以調(diào)節(jié)懲罰函數(shù)的非凸程度[19]。

將函數(shù)F對b做微分，針對不同的x取值，選取最優(yōu)標(biāo)量參數(shù)b。

此時式 (3)變?yōu)?/p>

式中：x、z為優(yōu)化變量；D∈RN×M為稀疏字典；y∈RN為待分析信號；λ為對偶參數(shù)；α、μ為懲罰參數(shù)。

2.4 非凸優(yōu)化稀疏表示方法流程

基于上述思想，筆者提出了基于 ADMM 算法的非凸優(yōu)化稀疏表示方法。軸承微弱故障診斷流程如圖2 所示。

圖2 軸承微弱故障診斷流程Fig.2 Process flow of bearing minor fault diagnosis

3 仿真信號驗證

為了驗證所提方法的有效性，采用如下仿真信號進行試驗。

式中：A為信號幅值；ξ為衰減阻尼系數(shù)，ξ=0.1；k為周期沖擊個數(shù)，k= 0，1，2，…；τ為沖擊時間間隔，τ=0.02 s；fn為系統(tǒng)固有頻率，fn=3 kHz；v(t)為高斯白噪聲，用來模擬背景噪聲。

采樣頻率為 10 kHz，故障特征頻率為 50 Hz。

仿真加噪信號的時域波形圖和包絡(luò)頻譜圖如圖 3所示。由圖 3 可以看出，背景噪聲和信號特征成分混雜在一起，在時域圖和頻譜圖中難以區(qū)分。

圖3 仿真加噪信號Fig.3 Simulation of noisy signal

圖4 改進算法的稀疏重構(gòu)信號Fig.4 Sparse reconstructed signals obtained by applying improved algorithm

根據(jù)圖 2 所示方法流程圖，利用筆者所提方法對上述仿真加噪信號進行處理，其中標(biāo)量參數(shù)b=1.25，得到稀疏重構(gòu)信號的時域波形圖和包絡(luò)頻譜圖，如圖 4 所示。從圖 4 可以看出，原始仿真信號中的高頻噪聲得到有效剔除，稀疏效果好；對稀疏重構(gòu)信號進行包絡(luò)分析，從包絡(luò)頻譜圖中能夠較為清楚地辨認(rèn)出 51.3、100.1、148.9、200.2 和 249.0 Hz 等頻率成分，這與仿真加噪信號特征頻率 50 Hz 的 1～5 倍頻非常接近。說明采用基于 ADMM 算法的非凸優(yōu)化稀疏表示方法處理仿真加噪信號，能夠剔除大量背景噪聲干擾，增強特征頻率成分，診斷效果較為理想。

為了驗證筆者所提方法的優(yōu)勢，與稀疏優(yōu)化領(lǐng)域常用的 OMP 算法作對比，經(jīng) OMP 算法處理后的稀疏重構(gòu)信號如圖 5 所示。由圖 5 可以發(fā)現(xiàn)，原始仿真信號中的背景噪聲被剔除的同時，某些周期性沖擊成分也被剔除了，特征頻率增強效果明顯不如筆者所提方法；對此稀疏重構(gòu)信號進行包絡(luò)分析，包絡(luò)譜雖然能勉強提取到 51.3 Hz 的特征頻率，但是其倍頻成分均被淹沒，且存在大量干擾譜線，并不能確定信號故障類型。由此可見，筆者所提方法在去噪和特征增強方面較 OMP 算法具有一定的優(yōu)勢。

圖5 OMP 算法的稀疏重構(gòu)信號Fig.5 Sparse reconstructed signals obtained by applying OMP algorithm

4 試驗驗證

4.1 試驗條件

為了再次驗證所提方法的有效性，采用實測的故障軸承振動信號進行試驗。采用型號為 NTN-N204的圓柱滾子軸承，利用線切割技術(shù)分別在軸承內(nèi)圈和外圈上加工深度為 0.05 mm、寬度為 0.3 mm 的凹槽，將此故障軸承安裝在圖 6 所示旋轉(zhuǎn)機械故障模擬試驗臺，并利用固定在軸承座 CH1 處的加速度傳感器采集軸承振動信號。試驗過程中，設(shè)定電動機轉(zhuǎn)速為 1 300 r/min，采樣頻率為 100 kHz，該軸承的理論內(nèi)、外圈特征頻率分別為 145.8、86.3 Hz。

圖6 軸承故障模擬試驗臺Fig.6 Bearing failure simulation test platform

4.2 試驗結(jié)果

將上述采集到的軸承外圈故障振動信號截取 0.12 s，作為試驗對象進行研究。軸承外圈原始信號的時域波形圖和包絡(luò)頻譜圖如圖 7 所示。

圖7 軸承外圈原始信號Fig.7 Original signals of bearing outer ring

從圖 7 可以看出，該原始信號含有大量噪聲和諧波干擾，波形比較雜亂，沖擊成分周期性不明顯。對其進行包絡(luò)分析，只能提取出接近軸承轉(zhuǎn)頻 2 倍頻的頻率成分 42.7 Hz，且存在干擾譜線 18.3 Hz，頻譜能量集中在低頻區(qū)段，轉(zhuǎn)頻的 1 倍頻成分和故障特征成分淹沒在干擾成分中，無法識別軸承故障類型。

采用非凸正則化軸承故障診斷方法對上述采集到的信號進行處理，其中標(biāo)量參數(shù)b＝0.52，得到稀疏重構(gòu)信號的時域波形圖和包絡(luò)頻譜圖，如圖 8 所示。由圖 8 可以看出，原始振動信號中的高頻噪聲被有效剔除，稀疏效果好；對稀疏重構(gòu)信號進行包絡(luò)分析，從包絡(luò)頻譜圖中能夠較為清楚地辨認(rèn)出 85.5、170.9、256.3、341.8 和 427.3 Hz 等頻率成分，與軸承理論外圈故障特征頻率 86.3 Hz 的 1～5 倍頻非常接近，說明軸承外圈出現(xiàn)了故障?？梢?，非凸正則化軸承故障診斷方法能夠有效提取滾動軸承微弱故障特征，實現(xiàn)軸承故障狀態(tài)識別。

圖8 軸承外圈改進算法的稀疏重構(gòu)信號Fig.8 Sparse reconstructed signals of bearing outer ring obtained by applying improved algorithm

同樣采用 OMP 算法對采集到的軸承外圈信號進行處理，得到稀疏重構(gòu)信號的時域波形圖和包絡(luò)頻譜圖如圖 9 所示。從圖 9 可以看出，原始振動信號中的噪聲被剔除的同時，也剔除掉了某些故障沖擊，只能從重構(gòu)信號中恢復(fù)一部分故障沖擊成分，特征提取效果明顯不如采用非凸正則化軸承故障診斷方法；對此稀疏重構(gòu)信號進行包絡(luò)分析，得到如圖 9(b)所示的包絡(luò)頻譜圖，雖然提取出了接近軸承轉(zhuǎn)頻 2 倍頻的頻率成分 42.7 Hz，但是轉(zhuǎn)頻的 1 倍頻成分和故障特征成分淹沒在干擾成分中，并且存在干擾譜線 18.3 Hz，無法有效診斷軸承故障。可見，基于 ADMM 的非凸正則化軸承故障診斷方法與 OMP 算法相比，有著更好的去噪能力和特征增強能力。

圖9 軸承外圈 OMP 算法的稀疏重構(gòu)信號Fig.9 Sparse reconstructed signals of bearing outer ring obtained by applying OMP algorithm

同樣將試驗中采集到的軸承內(nèi)圈故障信號截取0.12 s，作為試驗對象開展研究。軸承內(nèi)圈原始信號如圖 10 所示，時域圖的波形雜亂，沖擊成分被背景噪聲淹沒，沖擊成分周期性不明顯。這可能是由于故障尺寸較小，與噪聲成分相比能量較微弱。對其進行包絡(luò)分析處理，只能提取出接近軸承轉(zhuǎn)頻 2 倍頻的頻率成分 42.7 Hz，且存在較多干擾譜線，轉(zhuǎn)頻的 1 倍頻成分和故障特征成分淹沒在干擾成分中，無法識別軸承故障狀態(tài)。

圖10 軸承內(nèi)圈原始信號Fig.10 Original signals of bearing inner ring

采用非凸正則化軸承故障診斷方法對上述試驗采集的內(nèi)圈故障信號進行處理，其中標(biāo)量參數(shù)b＝0.84，得到稀疏重構(gòu)信號的時域波形圖和包絡(luò)頻譜圖，如圖 11 所示。由圖 11 可以看出，此方法能夠有效消除原始信號中的噪聲干擾，稀疏效果好。對稀疏重構(gòu)信號進行包絡(luò)分析，其中 42.7、146.5 和 293.0 Hz 等頻率成分被提取出來，這分別與軸承轉(zhuǎn)頻的 2倍頻，軸承理論內(nèi)圈故障頻率 145.8 Hz 的 1、2 倍頻非常接近。雖然干擾譜線仍然存在，但是能夠辨認(rèn)出此時軸承內(nèi)圈發(fā)生了故障。軸承轉(zhuǎn)頻的 2 倍頻被提取出來的原因可能是試驗裝置存在缺陷 (例如結(jié)構(gòu)未對中)。

圖11 軸承內(nèi)圈改進算法的稀疏重構(gòu)信號Fig.11 Sparse reconstructed signals of bearing inner ring obtained by applying improved algorithm

為了進一步驗證筆者所提方法的優(yōu)勢，同樣采用OMP 算法對采集到的軸承內(nèi)圈信號進行處理，得到稀疏重構(gòu)信號時域波形圖和包絡(luò)頻譜圖，如圖 12 所示。由圖 12 可以看出，原始振動信號中的噪聲被剔除的同時，也剔除掉了某些故障沖擊，只能從重構(gòu)信號中恢復(fù)一部分故障沖擊，特征提取效果明顯不如采用非凸正則化軸承故障診斷方法；雖然包絡(luò)譜提取出了 42.7 和 146.5 Hz 頻率成分，但是干擾譜線的能量占據(jù)主導(dǎo)地位，故障特征頻率的幅值較小，無法識別軸承故障類型?？梢姺峭拐齽t化軸承故障診斷方法較OMP 算法在去噪和特征增強方面具有一定優(yōu)勢。

圖12 軸承內(nèi)圈 OMP 算法的稀疏重構(gòu)信號Fig.12 Sparse reconstructed signals of bearing inner ring obtained by applying OMP algorithm

5 結(jié)語

通過利用基于 ADMM 的非凸正則化軸承故障診斷方法對復(fù)雜工況下軸承微弱故障信號進行提取，以仿真加噪信號和滾動軸承實際信號作為試驗對象進行驗證。試驗結(jié)果表明：基于 ADMM 的非凸正則化軸承故障診斷方法顯著消除了原始信號中的噪聲干擾，有效增強了微弱故障特征，并實現(xiàn)了振動信號微弱故障的準(zhǔn)確診斷。該方法在基于l1范數(shù)正則化的傳統(tǒng)稀疏模型基礎(chǔ)上增加了對數(shù)懲罰函數(shù)，增強了微弱故障特征，解決了傳統(tǒng)稀疏表示模型難以準(zhǔn)確提取微弱故障特征的問題。引入 ADMM 算法，解決了加入非凸懲罰函數(shù)后目標(biāo)函數(shù)復(fù)雜，無法使用單一優(yōu)化算法求解的問題。