電壓駐波比測(cè)量不確定度的評(píng)定和表述

高申翔， 夏 偉， 顧衛(wèi)紅， 柏永斌

(中國衛(wèi)星海上測(cè)控部，江蘇 江陰 214431)

1 引 言

電壓駐波比(voltage standing wave ratio,VSWR,簡稱駐波比)是表征射頻/微波器件反射特性的傳統(tǒng)參量[1]，現(xiàn)在仍有應(yīng)用場(chǎng)景。比如很多廠家仍用駐波比作為儀器輸入/輸出端口的反射特性技術(shù)指標(biāo)；用來校準(zhǔn)網(wǎng)絡(luò)分析儀的標(biāo)準(zhǔn)失配器仍用駐波比標(biāo)稱其量值。表1是幾個(gè)大型實(shí)驗(yàn)室在CNAS網(wǎng)站上公布的駐波比測(cè)量能力。

對(duì)表1測(cè)量不確定度的質(zhì)疑：1)小信號(hào)的測(cè)量不確定度應(yīng)該大于大信號(hào)的測(cè)量不確定度，整個(gè)測(cè)量范圍的不確定度不應(yīng)該用一個(gè)數(shù)值表示；2)給出的不確定度對(duì)于某個(gè)范圍的測(cè)量值是否偏小？

本文將針對(duì)以上問題開展研究，并給出表述駐波比測(cè)量不確定度的建議。

表1 部分實(shí)驗(yàn)室公布的駐波比測(cè)量能力Tab.1 Measurement capability for SWR of some famous laboratories

表2為當(dāng)前某主流型號(hào)網(wǎng)絡(luò)分析儀電壓反射系數(shù)ρ的測(cè)量不確定度,表中MPE為最大誤差。顯然，反射系數(shù)越小，不確定度越大。

表2 ZVA24型網(wǎng)絡(luò)分析儀反射系數(shù)模值測(cè)量不確定度(50 MHz～24 GHz)Tab.2 Measurement uncertainty of reflection coefficient’s amplitude at frequency 50 MHz to 24 GHz of ZVA24

2 SWR測(cè)量不確定度的GUM法評(píng)定

現(xiàn)在幾乎所有實(shí)驗(yàn)室都用矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀測(cè)量駐波比，然而，產(chǎn)品手冊(cè)一般只給出電壓反射系數(shù)的測(cè)量不確定度，它們之間的關(guān)系為

(1)

式中：S是電壓駐波比；ρ是電壓反射系數(shù)模值。

根據(jù)不確定度傳播律[2～4]，用GUM法可以從ρ的不確定度計(jì)算出S的不確定度。但是，式(1)明顯為非線性函數(shù)，函數(shù)圖形如圖1所示。用冪級(jí)數(shù)將式(1)展開[5]

S=(1+ρ)(1+ρ+ρ2+…)

=1+2ρ+2ρ2+2ρ3+…

(2)

圖1 公式(1)函數(shù)圖形Fig.1 Curve of equation(1)

對(duì)于式(2)，一階近似不確定度傳播律為

u(S)=2u(ρ)

(3)

三階近似不確定度傳播律為

(4)

式中:u(S)、u(ρ)分別為S和ρ的標(biāo)準(zhǔn)不確定度；S′、S″、S?分別為S的一階到三階導(dǎo)數(shù)。

3 公式(4)的推導(dǎo)

引理根據(jù)文獻(xiàn)[6]，若X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即x～N(0,1)，則E(X2)=1，E(X3)=1，于是

(5)

證畢。

4 駐波比不確定度的蒙特卡洛法評(píng)定

為了比較公式(3)和公式(4)計(jì)算結(jié)果的誤差，本文以蒙特卡洛法評(píng)定[7～9]的駐比標(biāo)準(zhǔn)不確定度為參考值。蒙特卡洛法的基本算法為：

1) 假設(shè)ρ服從正態(tài)分布，這是公式(4)成立的前提；

2)ρ的數(shù)學(xué)期望ρ0和標(biāo)準(zhǔn)偏差δρ的水平根據(jù)表2設(shè)置，其中σρ=ρ0·MPE/3；

3) 用Excel內(nèi)置函數(shù)NormInv產(chǎn)生ρ的正態(tài)樣本，代入式(1)產(chǎn)生S的樣本；

4) 用Excel內(nèi)置函數(shù)Stdev計(jì)算S的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

具體算法見文獻(xiàn)[10]，仿真結(jié)果見圖2、圖3和表3所示。

圖2 ρ服從正態(tài)分布時(shí)S的概率密度曲線Fig.2 Probability density curve of SWR when ρ obeys normal distribution

圖3 ρ服從均勻分布時(shí)S的概率密度曲線Fig.3 Probability density curve of SWR when ρ obeys uniform distribution

4.1 仿真結(jié)論

由表3可以看出，當(dāng)駐波比大于1.4時(shí)，公式(3)的估算誤差已超過30%。對(duì)于公式(4)，當(dāng)駐波比不大于2時(shí)，估算誤差不超過11%；但是當(dāng)駐波比大于3時(shí)，估算誤差將超過30%。

表3 蒙特卡洛法仿真結(jié)果(ρ服從正態(tài)分布)Tab.3 Simulation results of MCM when ρ obeys normal distribution

由圖2和圖3可以看出：在假定ρ服從正態(tài)分布或均勻分布的前提下，S與ρ具有相同的分布。由此可以得到一種快速估算S標(biāo)準(zhǔn)不確定度的方法：

1) 根據(jù)ρ的最佳估計(jì)值及其最大測(cè)量誤差(或擴(kuò)展不確定度)，利用公式(1)計(jì)算S的分布區(qū)間，進(jìn)而得到其分布區(qū)間半寬度a(S)；

2) 假設(shè)k(ρ)是ρ的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的包含因子(如表3列4)，則S的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

u(S)=a(S)/k(ρ)

這里不打算定量檢驗(yàn)S的分布類型，對(duì)于工程計(jì)算來說，關(guān)心的是估算結(jié)果的誤差是多大[11]。由表3倒數(shù)第2列可以看出，即使ρ=0.8，估算誤差不超過2%(不含最后一行)。

4.2 快速估算法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及推廣

由圖1可以看出，當(dāng)ρ趨近0時(shí)，曲線近似為直線；當(dāng)ρ趨近1時(shí)，曲線的非線性增強(qiáng)，但是根據(jù)表2，此時(shí)ρ的測(cè)量誤差變小，使得在ρ的變化區(qū)間內(nèi)曲線可近似為直線。因此，在表2給定的條件下，圖1在任何一個(gè)ρ的鄰域內(nèi)均可近似為直線；于是公式(2)的高階項(xiàng)可以忽略，從而在整個(gè)測(cè)量范圍內(nèi)S與ρ同分布；進(jìn)而該方法可以推廣到滿足下述條件的測(cè)量模型：

1) 輸出量與輸入量是一元函數(shù)關(guān)系；

2) 在輸入量測(cè)量值的誤差范圍內(nèi)，函數(shù)是單調(diào)的且近似為線性函數(shù)；

3) 經(jīng)蒙特卡洛法驗(yàn)證，以上近似帶來的標(biāo)準(zhǔn)不確定度估算誤差是可以接受的。

表3最后一行是人為增大ρ的測(cè)量誤差后的仿真結(jié)果，此時(shí)快速估算法的誤差明顯增大，達(dá)到25%。

5 駐波比測(cè)量不確定度的表述

表3最后一列給出了駐波比的相對(duì)測(cè)量不確定度，即擴(kuò)展不確定度與測(cè)量值的比[12]。根據(jù)表2的參數(shù)水平，將表3的結(jié)果擴(kuò)展到駐波比的常見測(cè)量范圍，如圖4所示。

圖4 駐波比為1～5時(shí)的相對(duì)擴(kuò)展不確定度Fig.4 Relative expanded uncertainty when SWR is 1 to 5

由圖4可見:駐波比的不確定度隨著反射系數(shù)不確定度的變化分為3段。因?yàn)闇y(cè)量值越大，圖1的非線性越強(qiáng)，所以每個(gè)分段內(nèi)，不確定度隨測(cè)量值單調(diào)遞增。對(duì)照?qǐng)D4和表1，可見目前一些實(shí)驗(yàn)室給出的不確定度當(dāng)駐波比大于3時(shí)是偏小的。

本文建議，可以根據(jù)反射系數(shù)測(cè)量不確定度的分段，用相對(duì)擴(kuò)展不確定度分段表述駐波比的不確定度，每段用最大值或“最小值-最大值”的形式表述。在簡要表述場(chǎng)合(例如CNAS校準(zhǔn)能力表),也可以用整個(gè)測(cè)量范圍的“最小值-最大值”的形式表述，但是實(shí)驗(yàn)室應(yīng)提供詳細(xì)表述文本。

6 結(jié) 論

1) GUM法評(píng)定駐波比的不確定度誤差較大，當(dāng)駐波比大于1.4時(shí)，一階近似的估算誤差已超過30%；當(dāng)駐波比大于3時(shí)，高階近似的估算誤差將超過30%。

2) 在常規(guī)測(cè)量條件下駐波比與反射系數(shù)同分布，因此,可通過估算駐波比分布區(qū)間快速計(jì)算其標(biāo)準(zhǔn)不確定度。在反射系數(shù)為0.5，相對(duì)擴(kuò)展不確定度為4.6%時(shí)，駐波比不確定度的估算誤差約為6%。

3) 駐波比的不確定度應(yīng)該用相對(duì)擴(kuò)展不確定度分段表述。