基于凍結(jié)磁導(dǎo)率的變壓器漏感計(jì)算

張懷亮，操桃秀，齊 悅

（1.海裝裝備項(xiàng)目管理中心，北京 100000；2.中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，湖北 武漢 430064）

0 引言

變壓器漏感是分析變壓器運(yùn)行的重要參數(shù)，對(duì)分析變壓器的性能以及應(yīng)用有著重要的作用[1]。在變壓器的設(shè)計(jì)過(guò)程中，工程師往往需要對(duì)變壓器的漏感進(jìn)行仿真估算[2-3]；近幾年來(lái)，在一些新的變壓器保護(hù)理論中，如等值電路參數(shù)法[3-4]、磁通特性判別法[5]、功率差動(dòng)原理及基于變壓器的回路方程法中也需要已知變壓器各繞組的漏感[6-7]。在已有的研究中，研究者們多注重于計(jì)算變壓器的短路電抗，然而短路電抗是原、副邊繞組漏感之和，無(wú)法精確確定各繞組漏感的具體值。

文中通過(guò)運(yùn)用有限元數(shù)值分析方法和直接耦合法同時(shí)求解電磁場(chǎng)和電路方程，建立了變壓器的三維場(chǎng)-路耦合模型。運(yùn)用凍結(jié)磁導(dǎo)率的方法計(jì)算了變壓器的自感互感矩陣，再由自感互感矩陣計(jì)算得到了變壓器的漏感參數(shù)。該方法從變壓器的幾何結(jié)構(gòu)出發(fā)，能充分考慮變壓器的制造工藝、結(jié)構(gòu)特征以及連接組別等因素。

1 場(chǎng)-路耦合計(jì)算原理

1.1 場(chǎng)域控制方程

三維渦流場(chǎng)的計(jì)算主要可以分為矢量磁位A法和標(biāo)量電位T法兩大類[8-10]。T法（其中典型的為T φφ法）雖然未知數(shù)少，求解效率高；但在場(chǎng)-路耦合計(jì)算中，T法與電壓項(xiàng)耦合比較復(fù)雜；當(dāng)模型中含有鐵磁材料時(shí)，T法計(jì)算的誤差也較大，這也使介質(zhì)參數(shù)磁導(dǎo)率μ的迭代很難收斂[8]；然而在變壓器內(nèi)部短路過(guò)程中，鐵心局部區(qū)域會(huì)進(jìn)入飽和，這反而降低了求解速度。矢量磁位A法在場(chǎng)-路耦合計(jì)算中易與引入的電壓項(xiàng)耦合，對(duì)含有鐵磁材料的模型計(jì)算精度較高。由以上分析可見(jiàn)，矢量磁位A法比較適合變壓器的場(chǎng)-路耦合計(jì)算，故文中引入矢量磁位A，忽略鐵心疊片渦流效應(yīng)，根據(jù)Maxwell方程組可得三維非線性磁場(chǎng)的控制方程[11]。

上式中：μ為磁導(dǎo)率，H/m。

變壓器在實(shí)際運(yùn)行中，磁力線一般不會(huì)或只有極微小部分會(huì)穿出變壓器的油箱。文中以變壓器油箱為整體求解場(chǎng)域，在計(jì)算過(guò)程中假設(shè)變壓器磁力線不會(huì)超過(guò)求解域，即邊界上磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量為零，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下所示。

1.2 有限元離散

有限元離散過(guò)程中，插值函數(shù)對(duì)計(jì)算過(guò)程和精度也有較大的影響，傳統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)有限元計(jì)算時(shí)易出現(xiàn)偽解，處理邊界條件也不方便；而棱邊元在這些方面具有一定的優(yōu)勢(shì)。針對(duì)于變壓器模型，文獻(xiàn)[10]中分析就表明：節(jié)點(diǎn)有限元法在計(jì)算變壓器漏磁時(shí)誤差較大，而棱邊有限元法具有較高的計(jì)算精度，更適合變壓器的三維場(chǎng)計(jì)算。故文中運(yùn)用Whitney型棱單元的形狀函數(shù)[11]，采用最常用的四面體離散單元，單元插值函數(shù)如下所示。

上式中：α為單元棱邊的標(biāo)號(hào)；Ni、Nj為單元節(jié)點(diǎn)的形狀函數(shù)；Aα為矢量磁位在棱邊上的線積分。

根據(jù)式（3），運(yùn)用加權(quán)余量法對(duì)式（1）、（2）離散可得如下矩陣方程。

為了文中敘述的方便，此處將變壓器整個(gè)求解域分為8部分：鐵心、油箱組成的無(wú)電流區(qū)（1部分），原副邊三相繞組、故障繞組組成的源電流區(qū)（共7部分），則式（4）可寫為如下形式。

上式中：Fj、Bj分別為各區(qū)域形成的矩陣對(duì)整體矩陣的貢獻(xiàn)（j=0對(duì)應(yīng)無(wú)電流區(qū)，j=1~7對(duì)應(yīng)各繞組組成的源電流區(qū)）；其中分別為線圈的匝數(shù)、總截面積（除去繞組外表皮絕緣部分）和切向方向的單位矢量；Ij（j=1~7）為各繞組電流的大小。

1.3 電路方程

對(duì)電路中各支路列出方程可得：

上式中：U、I、E、L、R分別為各支路中的電壓源、電流、繞組反電勢(shì)、電感以及電阻矩陣；其中繞組的反電勢(shì)e可由下式計(jì)算[12]。

上式中：Ωc為繞組截流區(qū)，則式（6）可寫成如下形式。

上式中，B*T=[B1B2B3B4B5B6B7]T。

由所得的式（4）場(chǎng)域離散方程和式（8）所示的電路方程可得場(chǎng)-路耦合計(jì)算方程如下所示。

1.4 時(shí)間離散

采用Crank-Nicholson離散格式[13]，式（9）對(duì)應(yīng)的離散格式為：

由于求解區(qū)域中存在非線性的鐵磁材料，式（10）為非線性的矩陣方程，文中采用牛頓-拉夫遜法進(jìn)行迭代求解，運(yùn)用ICCG法進(jìn)行矩陣求解運(yùn)算即可實(shí)現(xiàn)場(chǎng)-路耦合計(jì)算。

1.5 鐵心損耗計(jì)算

文中分析過(guò)程中，雖然忽略了鐵心渦流效應(yīng)，但鐵心的損耗依然可通過(guò)最常用的損耗分離模型進(jìn)行估算。損耗分離模型認(rèn)為鐵心的損耗可分為三部分表示，如下所示。

式中：k1=khf+kcf2；k2=kef1.5；kh為硅鋼片材料的磁滯系數(shù)；kc=π2σd2/（6ρ）為渦流損耗系數(shù)，σ為硅鋼片的電導(dǎo)率（S/m）；d為硅鋼片的厚度（m）；ρ為鐵心的質(zhì)量密度（kg/m3）；ke為附加損耗系數(shù)。根據(jù)硅鋼片廠家提供的損耗曲線，采用最小二乘法可以求出系數(shù)k1、k2，進(jìn)而求出kh、ke，如下所示。

2 仿真模型

文中以S9-500/10型三相電力變壓器進(jìn)行計(jì)算，變壓器的參數(shù)見(jiàn)表1.

表1 變壓器模型參數(shù)

建立變壓器有限元模型和場(chǎng)-路耦合模型如下圖1、圖2所示。

圖1 變壓器有限元模型

圖2 場(chǎng)-路耦合仿真示意圖

圖2 中：UM、rM（M=A，B，C）為變壓器電壓激勵(lì)和內(nèi)阻；LN（N=1~6）分別對(duì)應(yīng)三相原副邊繞組，L7為短路故障繞組，它們分別與式（5）中的Fj、Bj一一對(duì)應(yīng)；rload、Lload為三相對(duì)稱阻感負(fù)載；圖中開(kāi)關(guān)S的開(kāi)斷與閉合可以模擬變壓器正常工作和內(nèi)部故障兩種狀態(tài)，變壓器內(nèi)部短路可以被看做是變壓器繞組連接方式的改變，從上文可以看出，式（8）只建立了各繞組的獨(dú)立支路方程，并未考慮繞組的連接方式，因此在式（8）左乘考慮繞組連接方式的變換矩陣即可模擬開(kāi)關(guān)S的開(kāi)斷與閉合（變壓器正常工作與內(nèi)部故障），變換矩陣如下所示。

S斷開(kāi)（變壓器正常工作）：

S閉合（變壓器內(nèi)部故障）：

3 基于凍結(jié)磁導(dǎo)率的變壓器自感互感矩陣

計(jì)算瞬時(shí)自感互感矩陣的必要性，三相完全對(duì)稱，三相漏感也不完全一樣，變壓器工作時(shí)，漏感并不是一個(gè)定值，漏感參數(shù)對(duì)新型的變壓器保護(hù)很重要。

3.1 能量法自感互感矩陣計(jì)算的原理

對(duì)于空間中兩線圈i、j分別通入電流Ii、Ij，則空間中儲(chǔ)存的能量為：

式中：Li、Lj分別為線圈i、j的自感、Mij為其互感。

若對(duì)線圈i、j分別通入電流Ii、0 時(shí)，空間磁場(chǎng)分布為Bi、Hi，對(duì)線圈通入電流為 0、Ij，空間磁場(chǎng)分布為Bj、Hi；當(dāng)空間中全為線性材料，根據(jù)式（15），線圈i、j分別通入電流Ii、Ij時(shí)，由疊加定理可知此時(shí)空間磁場(chǎng)儲(chǔ)能為：

由式（15）、（16）可得線圈的自感、互感分別為：

上述計(jì)算電感矩陣的前提是模型材料為線性（磁導(dǎo)率為常數(shù)），但對(duì)于常常分析的電機(jī)等設(shè)備，多含有非線性的鐵磁材料，計(jì)算自感互感矩陣時(shí)應(yīng)考慮鐵磁材料飽和的影響，計(jì)算出來(lái)的結(jié)果才有實(shí)際意義，運(yùn)用凍結(jié)磁導(dǎo)率的方法可解決該問(wèn)題，具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

1）施加激勵(lì)，根據(jù)模型參數(shù)，計(jì)算模型中非線性材料的工作點(diǎn)，并計(jì)算此時(shí)每個(gè)網(wǎng)格單元的磁導(dǎo)率，凍結(jié)各網(wǎng)格單元的磁導(dǎo)率，此時(shí)磁導(dǎo)率為常數(shù)。

2）根據(jù)1）中計(jì)算的結(jié)果，將非線性材料的磁化曲線替換為1）中保存的磁導(dǎo)率，此時(shí)模型材料參數(shù)均為線性，對(duì)每個(gè)繞組施加1 A的激勵(lì)，運(yùn)用式（17）~（19）計(jì)算模型的自感與互感。

可見(jiàn)，運(yùn)用凍結(jié)磁導(dǎo)率的方法是計(jì)算非線性材料工作在不同工作點(diǎn)處的自感、互感，具實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

3.2 自感互感矩陣與漏感之間的關(guān)系

變壓器（有m個(gè)繞組組成）的自感互感矩陣表示如下：

上式中，[M]為變壓器的自感互感矩陣。

設(shè)繞組m上的電壓電流分別為um、im，其關(guān)系可由下式表示：

利用短路測(cè)試法，僅對(duì)一套繞組供電，其余繞組都短路（即繞組端電壓為0），此時(shí)上式可寫為：

以某一變壓器計(jì)算為例，計(jì)算可得變壓器正常工作情況下的漏感變化，如圖3、圖4所示。

圖3 變壓器正常工況時(shí)原邊漏感

圖4 變壓器正常工況時(shí)副邊漏感

變壓器空載合閘時(shí)候的漏感如圖5、圖6所示。

圖5 變壓器空載合閘時(shí)原邊漏感

圖6 變壓器空載合閘時(shí)副邊漏感

4 結(jié)語(yǔ)

1）建立了變壓器的場(chǎng)-路耦合模型，對(duì)變壓器內(nèi)部故障進(jìn)行了仿真分析，模型能充分反映變壓器內(nèi)部故障后的特征，分析表明變壓器內(nèi)部故障同時(shí)受故障繞組位置和匝數(shù)的影響，仿真結(jié)果可作為分析變壓器內(nèi)部故障的理論依據(jù)。

2）所建立的變壓器場(chǎng)-路耦合模型，具有普適性，能夠用于分析變壓器的其他暫態(tài)現(xiàn)象，對(duì)分析其他電磁設(shè)備也具有一定的借鑒意義。