基于亮度保持S型函數(shù)的雙直方圖均衡方法

王罡 白潔靜 張正軍

摘? 要：傳統(tǒng)直方圖均衡在保持圖像亮度，避免過增強(qiáng)方面表現(xiàn)不佳。為了克服上述缺點(diǎn)，提出了一種基于亮度保持S型函數(shù)變換的雙直方圖均衡方法。首先用輸入圖像的灰度均值對直方圖進(jìn)行分割，然后根據(jù)子直方圖的信息自適應(yīng)地調(diào)整S型函數(shù)的參數(shù)，將子直方圖的灰度均值變?yōu)槠洳粍?dòng)點(diǎn)，同時(shí)調(diào)整S型函數(shù)曲線的傾斜程度，最后用調(diào)整參數(shù)后的S型函數(shù)代替子直方圖的累積分布函數(shù)進(jìn)行雙直方圖均衡。通過對USC-SIPI數(shù)據(jù)庫中的灰度圖像進(jìn)行試驗(yàn)，該算法在亮度保持和圖像保真方面均取得較好的效果。

關(guān)鍵詞：圖像增強(qiáng);雙直方圖均衡;S型函數(shù);亮度保持;峰值信噪比

中圖分類號：TP391? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：2096-4706（2021）16-0073-06

Bi-Histogram Equalization Method Based on Brightness Preserving Sigmoid Function

WANG Gang1， BAI Jiejing1， ZHANG Zhengjun2

（1. Department of Quality Education， Nanjing Vocational College of Information Technology， Nanjing? 210023， China; 2. College of Science， Nanjing University of Science and Technology， Nanjing? 210094， China）

Abstract：Traditional histogram equalization performs poorly in maintaining image brightness and avoiding over enhancement. In order to overcome the above shortcomings， a bi-histogram equalization method based on the brightness preserving sigmoid function transformation is proposed. First， the gray mean of the input image is used to segment the histogram. Secondly， the parameters of the sigmoid function are adjusted adaptively according to the information of the sub-histogram， then the gray mean of the sub-histogram is changed to its fixed point， and the steepness of the sigmoid function curve is adjusted. Finally， the sigmoid function after adjusting the parameters is used to replace the cumulative distribution function of sub-histogram for bi-histogram equalization. By testing the grayscale images taken from the USC-SIPI database， the proposed method has achieved good effects in terms of brightness preserving and image fidelity.

Keywords： image enhancement; bi-histogram equalization; sigmoid function; brightness preserving; Peak Signal-to-Noise Ratio（PSNR）

0? 引? 言

圖像增強(qiáng)是圖像處理中的一個(gè)重要領(lǐng)域，其目的是提高圖像質(zhì)量，以改善圖像的視覺效果或者增強(qiáng)圖像的某些特定信息，來滿足人眼視覺或者機(jī)器視覺的要求[1]。在眾多圖像增強(qiáng)算法中，直方圖均衡由于其算法簡單快速，并且可以相對有效地增強(qiáng)幾乎所有類型圖像[2]，目前已成為最受歡迎的圖像增強(qiáng)技術(shù)之一。直方圖均衡運(yùn)用輸入圖像的累積分布函數(shù)作為變換函數(shù)，對原始灰度級進(jìn)行調(diào)整，擴(kuò)展圖像的動(dòng)態(tài)范圍，提高圖像的整體對比度。然而該方法主要缺點(diǎn)是當(dāng)輸入圖像直方圖存在尖峰，直方圖均衡會導(dǎo)致圖像過度增強(qiáng)[3]，而且運(yùn)用累積分布函數(shù)作為變換函數(shù)可能會顯著改變輸入圖像的亮度，不能滿足電子產(chǎn)品的增強(qiáng)需求[4]。

研究者們提出了許多改進(jìn)方法克服傳統(tǒng)直方圖均衡的缺陷。直方圖均衡過程中，概率密度較大的灰度級容易導(dǎo)致過增強(qiáng)，因此一些研究者通過對直方圖進(jìn)行修正[5-7]，用新直方圖代替原始直方圖進(jìn)行均衡控制增強(qiáng)結(jié)果。此類方法雖然可以避免過增強(qiáng)，但無法較好地保持原始圖像的亮度。

對于亮度改變這一問題，提出了許多亮度保持算法。例如亮度保持的雙直方圖均衡方法（Brightness Preserving Bi-histogram Equalization， BBHE）[8]，運(yùn)用輸入圖像的灰度均值將直方圖分割為兩個(gè)子直方圖，然后分別進(jìn)行均衡。該方法在一定程度上可以保持圖像亮度，但輸出圖像可能會出現(xiàn)過增強(qiáng)和噪聲偽影[9]。等面積的雙直方圖均衡（Dualistic Sub-image Histogram Equalization， DSIHE）[10]運(yùn)用輸入圖像灰度的中值分割直方圖，再對左右子直方圖進(jìn)行均衡。由于左右子直方圖中像素個(gè)數(shù)大致相等，DSIHE在亮度保持方面優(yōu)于BBHE，但DSIHE存在與BBHE相同的缺點(diǎn)。類似地還有許多其他基于BBHE改進(jìn)算法[11-13]。但此類方法只有當(dāng)輸入圖像直方圖在其分割點(diǎn)周圍具有擬對稱分布時(shí)，才能較好地保持圖像平均亮度[14]。

本文結(jié)合直方圖修正和雙直方圖均衡思想，提出一種基于亮度保持S型函數(shù)的雙直方圖均衡方法（Bi-Histogram Equalization with brightness preserving sigmoid function， BEBPSF），該方法的主要思路是運(yùn)用調(diào)整參數(shù)后的S型函數(shù)代替累積分布函數(shù)進(jìn)行直方圖均衡和灰度拉升。首先基于圖像灰度均值將原始圖像分割成兩個(gè)子圖像，通過調(diào)整提出的S型函數(shù)參數(shù)，將子圖像的均值設(shè)為S型函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，為亮度保持奠定理論基礎(chǔ)，同時(shí)控制曲線的傾斜程度抑制過增強(qiáng)。本文組織結(jié)構(gòu)安排如下。第二部分簡要介紹雙直方圖均衡的一般過程。第三部分詳細(xì)闡述本文所提出的基于亮度保持S型函數(shù)的雙直方圖均衡方法。第四部分通過實(shí)驗(yàn)將本文的方法和現(xiàn)有的一些直方圖均衡改進(jìn)算法進(jìn)行客觀比較。最后對本文提出的方法進(jìn)行總結(jié)。

1? 雙直方圖均衡

對于給定的輸入圖像X，其灰度級個(gè)數(shù)記為I，以灰度值XT為閾值，將輸入圖像X分割成兩個(gè)子圖像XL和XU，其中

XL={X（I，j）|X（I，j）≤XT，X（I，j）∈X}? ? ? ? （1）

XU={X（I，j）|X（I，j）>XT，X（I，j）∈X}? ? ? （2）

子圖像XL和XU的灰度級分別為{X0，X1，…，XT}和{XT+1，XT+2，…，XI-1}。用Hk表示灰度級Xk所對應(yīng)的像素的個(gè)數(shù)，則XL和XU的直方圖分別為：

HL={H0，H1，…，HT}

HU={HT+1，HT+2，…，HI-1}? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

依據(jù)（3）式，子圖像XL和XU的概率密度函數(shù)可以分別用（4）式和（5）式來表示

pL（Xk）=H（k）/NL，k=0，1，…，T? ? ? ? ? ? （4）

pU（Xk）=H（k）/NU，k=T+1，T+2，…，L-1? ? ? ? ?（5）

其中，，分別為XL和XU的像素總數(shù)。由（4）和（5）式可以分別得到子圖像XL和XU的累積分布函數(shù)：

（6）

（7）

顯然cL（XT）=cU（XL-1）=1.基于累積分布函數(shù)，圖像X的雙直方圖均衡變換函數(shù)為：

fL（Xk）=X0+（XT-X0）cL（Xk）? ? ? ? ? ? ? ? （8）

fU（Xk）=XT+1+（XI-1-XT+1）cU（Xk）? ? ? ? ? （9）

分別運(yùn)用（8）式和（9）式對XL和XU進(jìn)行直方圖均衡，最終的輸出圖像為

Y? ? ? ? ? ? ?（10）

雙直方圖均衡在增強(qiáng)圖像之前對原始圖像的動(dòng)態(tài)范圍進(jìn)行分割，因此相比于傳統(tǒng)直方圖均衡，雙直方圖均衡在一定程度上可以保持輸入圖像的亮度，控制增強(qiáng)強(qiáng)度。但由于直方圖均衡的輸出灰度是和累積分布函數(shù)的值成正比的，當(dāng)輸入圖像直方圖存在尖峰，會使得累積分布函數(shù)遞增劇烈，此時(shí)雙直方圖均衡仍然存在全局直方圖均衡的缺陷。為了抑制尖峰控制增強(qiáng)強(qiáng)度，本文提出一種非線性光滑且具有亮度保持能力的S型函數(shù)，代替式（8）和式（9）中的累積分布函數(shù)cL（Xk）和cU（Xk）進(jìn)行雙直方圖均衡。

2? 亮度保持S型函數(shù)的雙直方圖均衡

運(yùn)用雙直方圖均衡方法對圖像進(jìn)行增強(qiáng)時(shí)，首先要考慮對圖像X進(jìn)行分割。分割閾值XT通常取X的灰度均值，分布函數(shù)的中位數(shù)，OTSU閾值，或動(dòng)態(tài)搜索閾值XT使得輸出圖像的某個(gè)指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。本文選取輸入圖像X的灰度均值（記為XE）作為閾值對X進(jìn)行分割，得到子圖像XL和XU。

（11）

2.1? 亮度保持S型函數(shù)

首先將子圖像XL和XL所在的灰度區(qū)間分別歸一化，它們的灰度均值mL和mU被調(diào)整為區(qū)間（0，1）內(nèi)的實(shí)數(shù) m*L和 m*U。本文所提出的S型函數(shù)如（12）式所示：

（12）

x∈[0，1]，a，b為待定的非負(fù)參數(shù)，m的值取或。

為使變換函數(shù)s*（x）具有亮度保持能力，我們讓子圖像XL和XU的灰度均值m*L和m*U成為s*（x）的不動(dòng)點(diǎn)，令s*（m）=m，可解得參數(shù)a：

（13）

固定參數(shù)b，讓m分別取1/2，1/3，2/3，對應(yīng)算出參數(shù)a的值，得到s*（x）圖像如圖1所示。

為了確定s*（x）中參數(shù)b的值，首先分析函數(shù)s*（x）的性質(zhì)：

性質(zhì)1：函數(shù)s*（x）的最大導(dǎo)數(shù)為。

證明：

由于，因此，最大導(dǎo)數(shù)在與相等時(shí)取得。令=，解得，因此函數(shù)s*（x）在處取得最大導(dǎo)數(shù)，此時(shí)s*（x0）=。

性質(zhì)2：函數(shù)s*（x）的曲線在處呈中心對稱。

證明：記，只需證s*（x）滿足

即可。

==

==

+=1，得證。

綜合性質(zhì)1和性質(zhì)2可知，參數(shù)b控制了曲線s*（x）在對稱中心處的最大傾斜程度。由于m是已知的，參數(shù)a的值可以由（13）式算出，因此可以通過控制s*（x）對稱中心的位置，求出參數(shù)b的值。令=x0，解得：

（14）

例如當(dāng)m=0.65時(shí)，解得a=7/13，再分別令對稱中心

x0=等于0.5，0.55和0.6解出參數(shù)b，得到S型函數(shù)s*（x）的圖像如圖2所示：

下面進(jìn)一步討論參數(shù)b的取值：

讓x0在1/2與m之間取值，這時(shí)：

令，對m取極限：

我們通過實(shí)驗(yàn)并結(jié)合上述兩個(gè)極限發(fā)現(xiàn)，當(dāng)對稱點(diǎn)x0取值接近均值m時(shí)，參數(shù)b的值逐漸過大，導(dǎo)致函數(shù)s*（x）的曲線過于陡峭，這時(shí)運(yùn)用s*（x）處理圖像會導(dǎo)致過增強(qiáng);當(dāng)對稱點(diǎn)x0取值接近灰度中心1/2時(shí)，函數(shù)s*（x）的曲線過于平坦，運(yùn)用s*（x）處理圖像時(shí)增強(qiáng)效果不明顯。對稱點(diǎn)x0最佳取值位于1/2和m之間，記，我們通過大量次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)c=0.66時(shí)對應(yīng)的x0計(jì)算出的參數(shù)b取得最佳的圖像增強(qiáng)效果。

綜上，亮度保持S型函數(shù)中參數(shù)a，b取值為：

（15）

2.2? 灰度映射

根據(jù)子圖像XL和XU的特征信息，運(yùn)用（15）式對s*（x）的參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，分別得到特定的S型函數(shù)s*L（x）和s*U（x），用它們分別代替（8）式和（9）式中的累計(jì)分布函數(shù)cL（Xk）和cU（Xk）進(jìn)行雙直方圖均衡，其灰度映射函數(shù)如（16）式和（17）式所示：

（16）

（17）

為了擴(kuò)大直方圖均衡后圖像的動(dòng)態(tài)范圍，提升輸出圖像的視覺效果，運(yùn)用（18）式和（19）式進(jìn)行灰度范圍拉升：

（18）

（19）

αL和αU為拉升系數(shù)：

，

L0和Lf分別是輸出圖像動(dòng)態(tài)范圍的上下限，本文中我們?nèi)0=0，Lf=I-1。

將（18）式和（19）式作用于輸入圖像，得到最終的增強(qiáng)圖像。

3? 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了較全面檢驗(yàn)本文所提出的基于亮度保持S型函數(shù)的雙直方圖均衡方法的性能，使用USC-SIPI數(shù)據(jù)庫中的15幅灰度圖像進(jìn)行試驗(yàn)，同時(shí)與BBHE，DSIHE，BHEPL[5]，ASFBHE[15]算法進(jìn)行對比，采用絕對平均亮度誤差（the Absolute Mean Brightness Error，AMBE）[11]和峰值信噪比（PSNR）[16]兩種客觀指標(biāo)來衡量算法的增強(qiáng)效果。這兩種指標(biāo)從亮度保持和圖像保真性兩個(gè)不同角度對算法進(jìn)行評價(jià)，具有相互補(bǔ)充的作用。AMBE計(jì)算兩幅圖像的平均亮度絕對誤差，計(jì)算公式如（20）式所示。當(dāng)AMBE值較小時(shí)，表示具有較好的亮度保持性能。

AMBE=|E（X）-E（Y）|? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（20）

PSNR是一個(gè)用來評估圖像的保真性的全參考指標(biāo)，其計(jì)算公式如（21）式所示：

（21）

其中，

當(dāng)PSNR值越大時(shí)，代表失真越少。

運(yùn)用本文所提出的方法和上述參考算法對USC-SIPI數(shù)據(jù)庫中灰度圖像進(jìn)行增強(qiáng)，部分增強(qiáng)結(jié)果如圖3和圖4所示。

從圖3和圖4處理結(jié)果和原圖對比可以看出，本文方法在處理圖像時(shí)增強(qiáng)適當(dāng)，視覺效果自然。BBHE，DSIHE，和BHEPL在增強(qiáng)圖像時(shí)容易導(dǎo)致過度增強(qiáng)，如圖3中的局部區(qū)域因過度增強(qiáng)而發(fā)黑，圖4中的草地因過度增強(qiáng)而發(fā)白。另外本文方法在細(xì)節(jié)保持上優(yōu)于其他算法，觀察圖（4）坦克右邊的空地，本文的方法可以清晰地顯示地面裂痕，BHEPL和ASFHE雖然在影子處細(xì)節(jié)較好，但在影子右邊的空地處細(xì)節(jié)幾乎沒有。

我們對USC-SIPI數(shù)據(jù)庫中的灰度圖像進(jìn)行處理，計(jì)算得到AMBE和PSNR指標(biāo)數(shù)據(jù)如表1和表2所示，最優(yōu)結(jié)果用加粗標(biāo)注的數(shù)據(jù)表示。

從表1可見，本文方法在亮度保持上均優(yōu)于其他四種算法，這得益于用（13）式計(jì)算參數(shù)a時(shí)，將子圖像的亮度均值調(diào)整為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，使得（12）式的亮度保持能力較好。表2峰值信噪比數(shù)據(jù)顯示，本文方法在80%的圖像取得了最優(yōu)，說明本文方法在保持圖像細(xì)節(jié)，抑制過度增強(qiáng)上優(yōu)于其他算法。

4? 結(jié)? 論

本文提出了一種基于亮度保持S型函數(shù)變換的雙直方圖均衡方法用于灰度圖像增強(qiáng)。該方法通過子直方圖信息自適應(yīng)地調(diào)整參數(shù)，將子圖像的灰度均值變?yōu)槠洳粍?dòng)點(diǎn)，從理論上保障了該算法的亮度保持能力，同時(shí)也可以抑制過度增強(qiáng)。實(shí)驗(yàn)表明本文方法在亮度保持和峰值信噪比指標(biāo)上均取得了很好的結(jié)果。

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作者簡介：王罡（1983—），男，漢族，江蘇南京人，講師，碩士，主要研究領(lǐng)域：數(shù)字圖像處理、模式識別;白潔凈（1981—），女，漢族，江蘇南京人，副教授，博士，主要研究領(lǐng)域：數(shù)值算法、微分方程數(shù)值解;張正軍（1965—），男，漢族，江蘇南京人，副教授，碩士研究生導(dǎo)師，博士，主要研究領(lǐng)域：圖形圖像技術(shù)，數(shù)據(jù)挖掘。