基于微分幾何法的非線性分?jǐn)?shù)階懸架主動(dòng)控制

常宇健， 田沃沃， 金 格， 陳恩利， 李韶華

(1.石家莊鐵道大學(xué) 省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，石家莊 050043)

目前對(duì)于油氣懸架、空氣懸架和磁流變懸架的研究主要考慮其部分彈性或是阻尼特性，并沒有反映實(shí)際懸架阻尼材料的記憶特性。因此國內(nèi)外學(xué)者基于分?jǐn)?shù)階模型具有良好的記憶功能，提出采用分?jǐn)?shù)階微積分理論建立黏彈性懸架的動(dòng)力學(xué)模型。Oustaloup等[1]首次提出CRONE懸架，該懸架采用分?jǐn)?shù)階阻尼的機(jī)械系統(tǒng)代替?zhèn)鹘y(tǒng)被動(dòng)懸架中的彈簧和阻尼器。文獻(xiàn)[2-4]針對(duì)油氣懸架的整數(shù)階模型不能準(zhǔn)確描述其多相介質(zhì)力學(xué)特點(diǎn)，提出采用分?jǐn)?shù)階微積分理論建立其Bagley-Torvik方程，并驗(yàn)證了該模型的可行性。文獻(xiàn)[5]將分?jǐn)?shù)階微分引入液壓氣動(dòng)懸架建模中，并通過仿真和實(shí)驗(yàn)證明了分?jǐn)?shù)階液壓氣動(dòng)懸架模型的有效性。文獻(xiàn)[6]提出一種能夠準(zhǔn)確描述空氣彈簧記憶特性的分?jǐn)?shù)階模型。文獻(xiàn)[7]利用分?jǐn)?shù)階模型描述磁流變阻尼器的阻尼特性，該模型比整數(shù)階模型具有更高的擬合精度。文獻(xiàn)[8]建立了MR阻尼器的分?jǐn)?shù)階模型，并且分析了該模型的動(dòng)力學(xué)特性。上述研究都驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階微積分理論在汽車懸架系統(tǒng)建模中的適用性及有效性，為今后分?jǐn)?shù)階懸架模型的研究奠定了基礎(chǔ)。

為改善分?jǐn)?shù)階懸架系統(tǒng)垂向動(dòng)力學(xué)性能，文獻(xiàn)[9]利用粒子群算法研究了被動(dòng)分?jǐn)?shù)階汽車懸架參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，研究結(jié)果表明參數(shù)優(yōu)化后的分?jǐn)?shù)階懸架的乘坐舒適性得到明顯改善。然而該被動(dòng)分?jǐn)?shù)階懸架模型忽略了非線性剛度對(duì)系統(tǒng)的影響，因此并不能準(zhǔn)確反映實(shí)際懸架性能。雖然文獻(xiàn)[10-11]對(duì)汽車懸架系統(tǒng)中的線性阻尼成分進(jìn)行改進(jìn)，建立由分?jǐn)?shù)階阻尼和非線性彈簧組成的懸架系統(tǒng)，并采用整數(shù)階PID控制和分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制改善汽車的行駛性能。但是，這些研究僅僅針對(duì)磁流變懸架，而且忽略了分?jǐn)?shù)階磁流變Bingham模型中補(bǔ)償器產(chǎn)生的力和庫倫阻尼力，這就造成了分?jǐn)?shù)階懸架模型的研究具有特定的適用范圍。因此本文在傳統(tǒng)線性剛度和線性阻尼的懸架模型基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，增加了非線性剛度和分?jǐn)?shù)階阻尼，使分?jǐn)?shù)階懸架模型具有更廣的適用范圍。另外，PID控制針對(duì)非線性系統(tǒng)通常控制效果并不理想，因此對(duì)于非線性分?jǐn)?shù)階懸架系統(tǒng)控制仍需進(jìn)一步深入研究。

對(duì)于傳統(tǒng)非線性主動(dòng)懸架系統(tǒng)的研究，文獻(xiàn)[12-14]分別針對(duì)特種車輛主動(dòng)油氣懸架、礦用汽車主動(dòng)油氣懸架和導(dǎo)彈發(fā)射車主動(dòng)油氣懸架進(jìn)行非線性系統(tǒng)建模，然后基于微分幾何法將非線性系統(tǒng)反饋線性化，并利用PID控制和最優(yōu)控制進(jìn)行控制研究。結(jié)果表明該非線性系統(tǒng)的控制策略具有算法設(shè)計(jì)簡單、控制效果良好等特點(diǎn)?；谏鲜鲅芯砍晒?，本文基于微分幾何法對(duì)含分?jǐn)?shù)階微分的非線性系統(tǒng)進(jìn)行反饋線性化，從而將低了原系統(tǒng)的復(fù)雜性。

本文基于分?jǐn)?shù)階微積分理論對(duì)傳統(tǒng)非線性懸架系統(tǒng)模型進(jìn)行改進(jìn)，建立了相比傳統(tǒng)整數(shù)階模型更為精確的1/4車二自由度非線性分?jǐn)?shù)階懸架模型。為提高汽車的行駛過程中的動(dòng)態(tài)性能，分別設(shè)計(jì)PID控制器和基于微分幾何法反饋線性化LQR控制器對(duì)該懸架系統(tǒng)進(jìn)行主動(dòng)控制，對(duì)兩種主動(dòng)懸架在隨機(jī)路面輸入和脈沖路面輸入兩種激勵(lì)下三種性能時(shí)域響應(yīng)結(jié)果以及兩種主動(dòng)控制力進(jìn)行對(duì)比分析。

1 非線性分?jǐn)?shù)階主動(dòng)懸架系統(tǒng)建模

1.1 1/4車二自由度主動(dòng)懸架模型

圖1為1/4車二自由度非線性分?jǐn)?shù)階主動(dòng)懸架系統(tǒng)。

如圖1所示，非線性分?jǐn)?shù)階主動(dòng)懸架系統(tǒng)中彈性力包括一次線性恢復(fù)力和三次非線性恢復(fù)力，主動(dòng)懸架彈性力為

圖1 1/4車二自由度主動(dòng)懸架系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structural diagram of 2-DOF active suspension system for 1/4 vehicle

Fs=ks(zs-zu)+εks(zs-zu)3

(1)

式中:zs為簧載質(zhì)量位移；zu為非簧載質(zhì)量位移；ks為彈簧剛度;ε為非線性系數(shù)。

主動(dòng)懸架系統(tǒng)中線性阻尼力為

(2)

分?jǐn)?shù)階微積分主要有3種定義方式[15]， Riemann-Liouville定義、Grunwald-Letnikov定義和Caputo定義。本文利用Caputo分?jǐn)?shù)階微分描述懸架系統(tǒng)中的分?jǐn)?shù)階阻尼力，Caputo定義式為

(3)

式中:0,t為分?jǐn)?shù)階微分上下限;α為分?jǐn)?shù)階微分階次;Γ(·)為Gamma函數(shù)。

分?jǐn)?shù)階阻尼力為

Fc=hDp(zs-zu)

(4)

式中：h為分?jǐn)?shù)階微分系數(shù)；p為分?jǐn)?shù)階微分階次，且滿足0≤p≤1。

根據(jù)牛頓第二定律建立該系統(tǒng)的微分方程為

(5)

1/4車二自由度非線性分?jǐn)?shù)階懸架系統(tǒng)參數(shù)選取為ms=240 kg，mu=36 kg，ks=16 000 N/m，ε=0.1，c=1 650 N·s/m，kt=160 000 N/m，h=1 000，p=0.5。

1.2 分?jǐn)?shù)階微分的Oustaloup濾波器近似算法

由于非線性分?jǐn)?shù)階懸架系統(tǒng)較為復(fù)雜，為方便利用Matlab/Simulink進(jìn)行仿真分析，本文利用Oustaloup濾波器算法[16]對(duì)分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)進(jìn)行近似計(jì)算。即在選定的頻率段(ωb,ωh)內(nèi)做分?jǐn)?shù)階算子sp的近似替代，根據(jù)該思想構(gòu)造的Oustaloup濾波器為

(6)

式中：M為濾波器階次，濾波器的零點(diǎn)為

極點(diǎn)為

根據(jù)Oustaloup濾波器近似算法，構(gòu)造一個(gè)頻率段為(0.001 rad/s,1 000 rad/s)，階次為M=5的濾波器近似代替非線性分?jǐn)?shù)階懸架系統(tǒng)中的Caputo分?jǐn)?shù)階。

1.3 路面輸入模型的建立

1.3.1路面隨機(jī)輸入建模

為了能夠真實(shí)反映汽車在實(shí)際路面的行駛性能，本文利用Matlab/Simulink建立濾波白噪聲隨機(jī)路面作為1/4車二自由度非線性分?jǐn)?shù)階懸架系統(tǒng)的輸入模型，即

(7)

式中:q(t)=zr(t)為路面位移；η1為下截止空間頻率，η1=0.011 m-1；v0為車速，v0=10 m/s；η0為參考空間頻率，η0=0.1 m-1；Gq(η0)為路面不平度系數(shù)，Gq(η0)=256×10-6m3；w1(t)是均值為0、方差為1的Gauss白噪聲。

1.3.2 路面脈沖輸入建模

根據(jù)GB/T 4970—2009《汽車平順性試驗(yàn)方法》規(guī)定[17]，采用三角形凸塊描述路面脈沖輸入，如圖2所示。

圖2 三角形凸塊Fig.2 Triangle bump

三角形凸塊的長度l=0.4 m，高度H=0.04 m，在離凸塊L處汽車以v0直線勻速駛向凸塊[18]，如圖3所示。

圖3 汽車駛過三角形凸塊的力學(xué)模型Fig.3 Mechanics model of a automobile running triangle bump

路面脈沖輸入時(shí)域模型為

(8)

2 基于PID控制器的分?jǐn)?shù)階主動(dòng)懸架

為提高汽車的乘坐舒適性和行駛安全性，需要對(duì)非線性分?jǐn)?shù)階懸架系統(tǒng)車身加速度、懸架動(dòng)撓度和輪胎動(dòng)載荷進(jìn)行協(xié)同控制。本文設(shè)計(jì)三個(gè)PID控制器分別以上述三個(gè)性能指標(biāo)為控制量進(jìn)行控制，并將控制量期望值均設(shè)置為0，構(gòu)造控制器參數(shù)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

(9)

PID控制器的輸入信號(hào)為

(10)

PID控制器的輸出信號(hào)為

(11)

式中，KPi,KIi,KDi(i=1,2,3)分別為PID控制器的比例、積分、微分系數(shù)。

基于PID控制器的非線性分?jǐn)?shù)階主動(dòng)懸架的控制力為

u3(0-(zu-zr))

(12)

通過經(jīng)驗(yàn)法并不斷分析響應(yīng)曲線，多次調(diào)節(jié)后可得到滿足需求的整定參數(shù)如表1所示。

表1 PID控制器整定參數(shù)Tab.1 PID controller setting parameters

3 基于反饋線性化LQR控制器分?jǐn)?shù)階主動(dòng)懸架

為改善汽車行駛過程中懸架系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，本文利用微分幾何法[19]將非線性分?jǐn)?shù)階懸架系統(tǒng)反饋線性化，針對(duì)線性系統(tǒng)利用LQR控制獲得最優(yōu)控制律，通過非線性狀態(tài)反饋獲得懸架系統(tǒng)的控制律。

3.1 非線性分?jǐn)?shù)階懸架系統(tǒng)狀態(tài)空間表示

[x1x2x3x4]T

(13)

[y1y2y3y4]T

(14)

(15)

式中:

其中，

3.2 輸出函數(shù)各階李導(dǎo)數(shù)對(duì)x偏導(dǎo)計(jì)算

令h1(x)=x1，當(dāng)k=0時(shí)，有

(16)

當(dāng)k=1時(shí)，有

(17)

由此可得相對(duì)階r=2，則有

(18)

η=[0 0 -1 0]T

(19)

(20)

則

(21)

同理可知:

令h2(x)=x2，相對(duì)階r=1

u2=-[ks(zs-zu)+εks(zs-zu)3+

(22)

令h3(x)=x3，相對(duì)階r=2

u3=-[ks(zs-zu)+εks(zs-zu)3+

(23)

令h4(x)=x4，相對(duì)階r=1

u4=ks(zs-zu)+εks(zs-zu)3+

(24)

3.3 非線性分?jǐn)?shù)階懸架系統(tǒng)反饋線性化

通過對(duì)式(21)、式(22)、式(23)和式(24)進(jìn)行比較和分析，選取非線性分?jǐn)?shù)階懸架系統(tǒng)的控制律為

u=ks(zs-zu)+εks(zs-zu)3+

(25)

將式(25)代入式(15)中可得

(26)

其中，

3.4 LQR控制器設(shè)計(jì)

為提高乘坐舒適性和操縱穩(wěn)定性，針對(duì)非線性分?jǐn)?shù)階懸架系統(tǒng)設(shè)計(jì)了LQR控制器，該控制器性能指標(biāo)函數(shù)的矩陣形式為

(27)

其中：

Q=CTMC
R=DTMD+ρ
M=diag[q1q2q3q4]

式中，q1,q2,q3,q4分別為車身加速度、懸架動(dòng)撓度、輪胎動(dòng)載荷和減震器能耗加權(quán)系數(shù);ρ為加權(quán)系數(shù);各個(gè)系數(shù)取值分別為q1=636，q2=3 030，q3=1 012，q4=1，ρ=1×10-7。

LQR控制律為

v=-R-1(BTP+WT)X=KX

(28)

式中，P為黎卡提矩陣方程式(29)的解，W=CTMD。

ATP+PA-(PB+W)R-1(PTB+W)+Q=0

(29)

計(jì)算可得LQR最優(yōu)控制律為

v=16 970x1+30x2-25 861x3-1 346x4

(30)

將式(30)代入式(25)可得基于微分幾何法反饋線性化LQR非線性分?jǐn)?shù)階主動(dòng)懸架的最優(yōu)控制力為

hDp(zs-zu)-(16 970x1+3 076x2-2 5861x3-1 346x4)

(31)

由此可得到非線性分?jǐn)?shù)階懸架系統(tǒng)反饋線性化模型的LQR控制系統(tǒng)框圖如圖4所示。

圖4 LQR控制系統(tǒng)框圖Fig.4 Diagram of LQR control system

4 仿真分析

利用Matlab/Simulink建立1/4車二自由度非線性分?jǐn)?shù)階被動(dòng)懸架、基于PID控制的主動(dòng)懸架以及基于微分幾何法反饋線性化LQR控制的主動(dòng)懸架的仿真模型。Simulink主動(dòng)懸架仿真圖如圖5所示。經(jīng)過仿真，三種懸架在隨機(jī)路面激勵(lì)下三個(gè)性能指標(biāo)時(shí)域響應(yīng)結(jié)果對(duì)比如圖6、圖7和圖8所示；在脈沖路面激勵(lì)下三個(gè)性能指標(biāo)時(shí)域響應(yīng)結(jié)果對(duì)比如圖9、圖10和圖11所示。

圖5 Simulink主動(dòng)懸架仿真圖Fig.5 Simulink active suspension simulation diagram

圖6 車身加速度時(shí)域響應(yīng)對(duì)比Fig.6 Time domain response comparison of vehicle body acceleration

圖7 懸架動(dòng)撓度時(shí)域響應(yīng)對(duì)比Fig.7 Time domain response comparison of suspension dynamic deflection

圖8 輪胎動(dòng)載荷時(shí)域響應(yīng)對(duì)比Fig.8 Time domain response comparison of tyre dynamic load

圖9 車身加速度時(shí)域響應(yīng)對(duì)比Fig.9 Time domain response comparison of vehicle body acceleration

圖10 懸架動(dòng)撓度時(shí)域響應(yīng)對(duì)比Fig.10 Time domain response comparison of suspension dynamic deflection

圖11 輪胎動(dòng)載荷時(shí)域響應(yīng)對(duì)比Fig.11 Time domain response comparison of tyre dynamic load

基于PID控制的主動(dòng)懸架和基于微分幾何法反饋線性化LQR控制的主動(dòng)懸架在隨機(jī)路面激勵(lì)和脈沖路面激勵(lì)下的主動(dòng)控制力對(duì)比如圖12和圖13所示。

圖12 主動(dòng)懸架控制力對(duì)比Fig.12 Active suspension control force comparison

圖13 主動(dòng)懸架控制力對(duì)比Fig.13 Active suspension control force comparison

含分?jǐn)?shù)階非線性的被動(dòng)懸架、基于PID控制器的主動(dòng)懸架和基于微分幾何法反饋線性化LQR控制器的主動(dòng)懸架在隨機(jī)路面輸入和脈沖路面輸入激勵(lì)下，車身加速度、懸架動(dòng)撓度和輪胎動(dòng)載荷的均方根值分別如表2和表3。

表2 性能指標(biāo)均方根值數(shù)值表Tab.2 Root mean square value number table of performance indicators

表3 性能指標(biāo)均方根值數(shù)值表Tab.3 Root mean square value number table of performance indicators

通過對(duì)比非線性分?jǐn)?shù)階被動(dòng)懸架、基于PID控制器的主動(dòng)懸架和基于反饋線性化LQR控制器的主動(dòng)懸架的時(shí)域響應(yīng)性能指標(biāo)均方根值數(shù)值表可知，在隨機(jī)路面輸入激勵(lì)下，兩種主動(dòng)懸架車身加速度分別降低到77.38%和74.94%，懸架動(dòng)撓度分別降低到96.70%和94.61%，輪胎動(dòng)載荷分別降低到91.46%和86.51%；在脈沖路面輸入激勵(lì)下，兩種主動(dòng)懸架車身加速度分別降低到80.73%和75.21%，懸架動(dòng)撓度分別降低到95.10%和98.99%，輪胎動(dòng)載荷分別降低到70.78%和56.36%。

通過對(duì)時(shí)域響應(yīng)及相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析可知，兩種控制方式都能有效改善汽車懸架的動(dòng)力學(xué)性能。雖然在脈沖路面輸入激勵(lì)下，PID主動(dòng)控制比反饋線性化LQR主動(dòng)控制能更有效減小懸架動(dòng)撓度，但是對(duì)車身加速度和輪胎動(dòng)載荷控制效果不如反饋線性化LQR主動(dòng)控制。這是因?yàn)槔梦⒎謳缀畏梢詫⒎蔷€性分?jǐn)?shù)階懸架系統(tǒng)精確線性化，即利用反饋抵消系統(tǒng)中非線性項(xiàng)和分?jǐn)?shù)階項(xiàng)。線性化后的懸架系統(tǒng)采用LQR控制能夠更好的抑制懸架的振動(dòng)、降低懸架的動(dòng)變形和減少路面對(duì)懸架的沖擊。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)比整數(shù)階模型更加能夠準(zhǔn)確描述實(shí)際懸架系統(tǒng)的非線性分?jǐn)?shù)階懸架模型，用Oustaloup濾波器算法對(duì)分?jǐn)?shù)階項(xiàng)進(jìn)行處理，采用微分幾何法將系統(tǒng)進(jìn)行反饋線性化，并設(shè)計(jì)了LQR控制器對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行主動(dòng)控制，分別在路面隨機(jī)激勵(lì)和脈沖激勵(lì)下進(jìn)行研究，仿真結(jié)果表明，該方法相對(duì)于PID主動(dòng)控制算法和被動(dòng)控制，控制效果明顯提高。本文為含分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)非線性汽車懸架的控制提供了簡單有效的思路。