空心圓柱形金屬橡膠非成型向阻尼特性理論研究及參數識別

張 彬， 任志英， 白鴻柏， 陳其勝， 路純紅

(1.福州大學 機械工程及自動化學院 金屬橡膠工程研究中心， 福州 350108;2.河北工業(yè)職業(yè)技術學院 汽車工程系，石家莊 050001)

金屬橡膠是一種彈性多孔材料，由金屬絲加工成螺旋卷，再經過特殊的纏繞編織工藝制成毛坯，通過冷沖壓成型。因其具備類似橡膠的彈性和阻尼性能而被稱為金屬橡膠。由于金屬橡膠原材料是金屬絲，與橡膠相比，金屬橡膠具有真空中不揮發(fā)，耐高/低溫，耐腐蝕，不懼怕輻射，疲勞老化壽命長，可長期保存等特點[1-2]，故近年來金屬橡膠被廣泛應用于減振領域。經研究，金屬橡膠的剛度特性和阻尼特性均具有較大的歷史依賴性，隨著變形的增加，其性能不斷變化，具有強烈的非線性特征[3-7]，這導致對金屬橡膠的動力學分析過程十分復雜。目前來看，對金屬橡膠類隔振系統(tǒng)的方法大多是將非線性恢復力進行分解，而后對各個分解力分別進行表示，最后通過不同算法對模型進行參數識別。張玲凌等[8]用參數分離法建立了金屬橡膠阻尼器力學模型，利用二維拉格朗日插值法和人工神經網絡法對模型參數進行了識別，取得了良好的識別精度；閆輝等[9]將利用雙折線模型來描述金屬橡膠隔振器模型，用能量法和最小二乘法對模型進行參數識別，最終取得了較好的精度；李冬偉等[10]根據金屬橡膠材料的作用機理提出了一種非對稱彈性黏性阻尼雙折線恢復力模型，經傅里葉級數展開后設計了一種分離參數算法對模型進行識別；路純紅等[11]設計了金屬橡膠/橡膠疊層耗能裝置，在試驗結果基礎上建立動力學模型，并利用遲滯回線分解識別算法對模型進行識別；李玉龍等[12]設計了串聯金屬橡膠減振系統(tǒng)，借鑒雙折線模型建立了系統(tǒng)動力學模型，利用小生境遺傳算法進行了參數識別。以上成果對金屬橡膠減振設計具有一定的參考意義，不過現有的研究都是局限于金屬橡膠的成型方向。

由金屬橡膠特殊的成型工藝可知金屬橡膠非成型方向的減振特性必然不同于其成型方向。而目前，對于金屬橡膠非成型方向的研究成果可以說鳳毛麟角。筆者所了解到的關于非成型方向的研究成果由曹鳳利等[13]從微觀角度著手，研究了金屬橡膠非成型方向的變形機制，最終結合螺旋卷彈性變形特征和金屬橡膠內部摩擦力接觸點分布規(guī)律建立了非成型方向的力學模型；吳榮平等[14]通過實驗對比了部分金屬橡膠參數對其徑向力學性能的影響，從宏觀角度建立了金屬橡膠力學模型，該模型同樣較好地描述金屬橡膠的載荷-變形關系。已有的研究成果都局限于靜力學方面，對金屬橡膠非成型方向動態(tài)阻尼性能方面的研究較少。事實上，工程實際中，金屬橡膠更多是作為減振材料，需要發(fā)揮其阻尼耗能特性。對其各個方向的阻尼性能進行全面的研究是必要的。

本文以空心圓柱形金屬橡膠為研究對象，深入研究了金屬橡膠非成型方向的阻尼特性。先通過實驗對比了成型方向和非成型方向的壓縮機理，進一步研究了金屬橡膠密度和加載頻率變化時，對應的非成型方向的阻尼特性的變化規(guī)律?；谠囼灲Y果利用參數分離法建立了阻尼特性模型，用最小二乘法對模型參數進行了識別。經驗證，所建立模型具有良好的精度。本文研究內容對推廣金屬橡膠減振應用設計有重要意義。

1 制備及試驗方法

1.1 金屬橡膠制備

通過傳統(tǒng)的制備工藝制備的四種密度的金屬橡膠如圖1所示。金屬橡膠外徑30 mm，內徑10 mm，高30 mm。試件原材料選用了牌號為304(06Cr19Ni10)的奧氏體不銹鋼絲，絲徑為0.3 mm。

圖1 不同密度的金屬橡膠Fig.1 Metal rubber of different densities

1.2 試驗設備及試驗方法

試驗采用長春機械科學研究所SDS-200高低溫動靜材料試驗機對金屬橡膠進行正弦加載以及響應數據采集。試驗機最大工作載荷200 kN，試驗頻率為0.01～40 Hz。試驗設備及原理如圖2所示。

圖2 動靜材料試驗機Fig.2 Dynamic and static material testing machine

2 金屬橡膠非成型向壓縮機理

為比較非成型方向與成型方向的動態(tài)特性，首先對ρ=2.5 g/cm3的金屬橡膠進行加載試驗，得到成型方向和非成型方向的遲滯回線如圖3所示。從圖中可以看出金屬橡膠非成型方向和成型方向的遲滯回線走向不同，說明兩個方向的力學特性并不一致。非成型方向的遲滯回線整體斜率明顯大于成型方向，即動態(tài)平均剛度更大，說明金屬橡膠是一種各向異性材料。

圖3 金屬橡膠不同加載方向的遲滯回線Fig.3 Hysteresis loop of metal rubber in different loading direction

出現這種現象是因為成型后的金屬橡膠內部結構可視為眾多的金屬絲螺旋卷相互勾連疊加堆砌在一起，其中大部分的螺旋卷平行于與壓力成型方向相垂直的法向面。在外力載荷的作用下，金屬絲產生類似曲梁的彎曲變形。在金屬橡膠成型方向上產生的變形類似于螺旋彈簧受到軸向力時產生的變形，在成型方向上層疊的金屬絲可視為相互串聯累加；而在非成型方向上，產生的變形類似螺旋彈簧非承載方向上承受徑向載荷時產生的變形，此時金屬絲的彎曲變形所產生的反力更大，且相互層疊、串聯的金屬絲可視為并聯形式，故其非成型方向上所產生的彈性力更大。下面進一步研究非成型方向的動態(tài)特性。

3 試驗過程及結果分析

3.1 阻尼特性評價指標

阻尼是用來表征系統(tǒng)受激后快速恢復到受激前狀態(tài)的一種能力。阻尼越大，系統(tǒng)所需的恢復時間越短。表征材料阻尼性能的參量有很多，最常用的度量參量有阻尼比ψ、相位差角正切值tanφ、損耗因子η、對數衰減率δ和品質因子的倒數Q-1。由于金屬橡膠的非線性遲滯特性，故無法使用一些基于線性原理的測試方法。

遲滯回線體現了材料的阻尼特性，其包圍的面積與阻尼耗能有直接關系。本文對金屬橡膠施加正弦位移，利用實測恢復力響應信號，直接計算一個周期內的耗能與最大彈性勢能，進而得到金屬橡膠的等效耗能因子。

試驗機對金屬橡膠施加位移可表示為

X=X0cos(ωt+α)

(1)

式中:α為初始相位;X0為試驗輸入的振幅；ω為加載頻率。

一個周期內，金屬橡膠試件所耗損的能量ΔW可離散化[15]表示為

(2)

式中：N為一個周期內的離散點數量，N=f0/f,f0為系統(tǒng)采樣頻率，f0=2 500 Hz;f為加載頻率。

材料所儲存的最大彈性勢能W可表示為

(3)

式中：Fmax,Fmin為采樣系統(tǒng)中采集的恢復力的最大值與最小值；K為動態(tài)平均剛度，其表達式為

(4)

損耗因子η為系統(tǒng)中損耗的能量與最大彈性能的比值。通過式(5)可以計算得出等效損耗因子

(5)

3.2 試驗過程

為了避免加載過程中工件脫離工裝的情況，試驗前對工件進行預緊。假定預緊后的位置為正弦位移加載的平衡位置，對試件施加正弦激勵。應用數據采集裝置對力、位移信號進行采樣，其中采樣頻率f0=2 500 Hz。試驗數據處理中，考慮將正弦位移中點作為坐標原點，恢復力為上下位移加載過程中的實測值，未加入預緊力的影響。本文研究了加載頻率和金屬橡膠密度對金屬橡膠非成型向阻尼特性的影響。具體試驗參數如表1所示。

表1 單因素控制試驗參數Tab.1 Single factor control test parameters

3.3 試驗結果分析

3.3.1 不同加載頻率對阻尼特性的影響

圖4可知不同加載頻率所形成的金屬橡膠遲滯回線變化較小，說明在不同頻率的激勵下，金屬橡膠元件的阻尼性能相差較小,金屬橡膠的非成型向具有相對穩(wěn)定阻尼性能。

圖4 不同加載頻率下遲滯回線Fig.4 Hysteresis loop at different loading frequencies

圖5可以反映材料的實際變化情況。密度為2.5 g/cm3的金屬橡膠的動態(tài)耗能變化較小，動態(tài)平均剛度有下降的趨勢。最大彈性勢能與動態(tài)平均剛度正相關。結合式(5)，動態(tài)平均剛度的變化幅度較大導致損耗因子呈現上升趨勢。密度為3.5 g/cm3的金屬橡膠耗能與動態(tài)平均剛度都略微提高，其中動態(tài)平均剛度的變化幅度相對較大，也即最大彈性勢能變化幅度較大，這導致損耗因子呈現一個微小的下降趨勢。

圖5 不同頻率下參數變化曲線Fig.5 Parameter change curves at different frequencies

3.3.2 不同密度對阻尼特性的影響

由圖6可知滯環(huán)面積隨試件密度增大而增大，即密度大的金屬橡膠絕對耗能能力越強。

圖6 不同密度下遲滯曲線Fig.6 Hysteresis loop at different densities

由圖7可看出損耗因子的變化隨試件密度增加呈下降趨勢。隨著密度增加，動態(tài)平均剛度增大，導致最大彈性勢能的增大。同時絕對耗能也隨著密度的增大而增大。但最大彈性勢能的增加速度相較于絕對耗能的增加速度更快，由式(5)得損耗因子呈下降趨勢。

圖7 不同密度下參數變化曲線Fig.7 Parameter variation curves under different densities

4 非成型方向金屬橡膠材料阻尼模型的建立及識別方法

實際應用中，金屬橡膠通常承受的是動態(tài)變化載荷，其動態(tài)力學性能會直接影響應用效果。由于遲滯特性的存在，其恢復力與位移變量并非是一一對應關系，故有必要建立其力學特性與參數之間的聯系。此處建立了金屬橡膠非成型方向的阻尼模型來表征阻尼特性隨密度和頻率的變化關系，并基于實驗數據進行參數識別。

4.1 遲滯模型建立

圖8(a)所示為實測的金屬橡膠工件的遲滯回線。所測得的遲滯回線為非對稱回線，在工程上，金屬橡膠常以對稱形式布置。故將試驗數據去除初始壓力后，取上半支曲線進行曲線擬合。重構后的金屬橡膠遲滯回線如圖8(b)所示。下面借助重構后的曲線進行建模和參數識別。

圖8 金屬橡膠非成型方向遲滯回線Fig.8 Hysteretic loop in non-forming direction of metal rubber

將上、下半支遲滯回線用冪函數多項式表述為

(6)

(7)

式中，αi為多項式系數。

若將兩式的奇、偶次項分開，可進一步表示為

(8)

(9)

這樣，式(8)、式(9)可統(tǒng)一寫為

(10)

(11)

式中，sgn為符號函數。經處理后遲滯回線可分解為非線性彈性恢復力Fk和非線性阻尼恢復力Fc兩部分。一般情況下忽略三次以上高次彈性恢復力可得

Fk{x(t)}=k1x+k3x3

(12)

k1=a1k3=a2

(13)

引入指數形式來描述非線性阻尼恢復力

(14)

最終得到恢復力數學模型為

(15)

4.2 參數識別

4.2.1 剛度系數

金屬橡膠的動態(tài)平均剛度受到密度的影響較為明顯，故本節(jié)識別出的剛度系數考慮密度為基礎變量，并對其進行識別。采用第3章中的數據結果作為基礎，通過提取某工況下的實驗數據，采用最小二乘法對遲滯回線進行三階多項式擬合即可得到剛度系數(k1，k3)。各階剛度系數隨密度變化的曲線如圖9所示。

圖9 剛度系數隨密度的變化曲線Fig.9 Variation curve of stiffness coefficient with density

這里選用冪函數多項式擬合其隨密度變化曲線

(16)

(17)

式中，a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3為待識別參數。

根據擬合識別得到的各個密度下的剛度系數k1,k3，用最小二乘法分別對二式進行多項式擬合，即可得到待定參數的識別結果，將其代入式(16)與式(17)可得

0.249 9ρ3

(19)

4.2.2 阻尼系數

(20)

從試驗測得的總遲滯恢復力采樣數據gn(i)中減去Fk(xi)，即可得到各個采樣點的非線性阻尼力

(21)

據式(14)表示的阻尼模型，采用最小二乘法即可識別出阻尼系數c及阻尼成分因子α。

通過對不同頻率及密度條件的試驗結果進行參數識別，阻尼系數c(ρ,f)識別結果如表2所示。繪制阻尼系數隨頻率及密度變化的空間曲面，如圖10(a)所示。阻尼系數與頻率及密度的變化關系較為復雜，為建立阻尼系數與頻率及密度間的聯系，采用冪函數的形式，對其進行多項式擬合。擬合結果可用和方差(sum of the squared errors，SSE)與確定系數R-square表示。和方差SSE表示該擬合數據和原始數據對應點的誤差的平方和，SSE越接近于0，說明擬合條件越好；確定系數是通過數據的變化來表征擬合結果的好壞，其正常取值為[0,1]，其數值越接近1，表明擬合結果越好。阻尼系數c(ρ,f)的多項式擬合表達式為

表2 不同頻率及密度條件下阻尼系數Tab.2 Damping coefficients at different frequencies and densities

5.75×10-2ρ2+4.06×10-2ρf+2.38×10-2f2+

8.95×10-3ρ3+3.1×10-3ρ2f-1.33×10-2ρf2-

4.33×10-4f3-2.2×10-3ρ3f+2.45×10-3ρ2f2-

2.33×10-4ρf3+7.29×10-5f4

(22)

其擬合后圖形如圖10(b)所示。擬合結果和方差SSE=8.2×10-6，確定系數R-square為0.964 9。

圖10 不同頻率及密度下阻尼系數變化圖Fig.10 Changes of damping coefficient at different frequencies and densities

4.2.3 阻尼成分因子

通過對不同頻率及密度條件的試驗結果進行參數識別，阻尼系數α(ρ,f)識別結果如表3所示。

表3 不同頻率及密度條件下阻尼成分因子Tab.3 Damping factor under different frequency and density conditions

阻尼成分因子的變化范圍變化較小，圖11為不同密度與頻率下，阻尼系數變化圖。此處多項式擬合表達式為

1.48f2-0.36ρ3-0.63ρ2f+0.52ρf2+0.14f3+0.14ρ3f-

9.60×10-2ρ2f2+1.54×10-2ρf3-1.46×10-2f4

(23)

圖11 不同頻率及密度下阻尼成分因子變化圖Fig.11 Changes of damping component factor at different frequencies and densities

擬合結果和方差SSE=0.027 9，確定系數R-square為0.964 8。

4.3 模型驗證

將式(16)中的待識別參數替換為各個對應參數的表達式(18)、式(19)、式(22)及式(23)，即可得到金屬橡膠動態(tài)非線性模型。通過金屬橡膠非線性模型可以估計出不同密度ρ和頻率f的恢復力遲滯曲線。與實測后重構的金屬橡膠遲滯回線對比如圖12所示。擬合出的預估曲線與實測曲線之間的誤差較小，說明了三次非線性彈性恢復力與與速度相關的高次非線性阻尼力的疊加可較合理的描述金屬橡膠遲滯回線。同時也說明參數分離識別方法具有很好的工程精度。

圖12 擬合線與去除初始壓力后重構曲線對比Fig.12 Comparison of fitting line and reconstructed curve after removing initial pressure

5 結 論

(1)制備了不同密度的金屬橡膠，利用材料試驗機對其非成型方向進行不同頻率的加載試驗，并以等效損耗因子來表征阻尼能力。結果表明金屬橡膠非成型方向的的阻尼性能在低頻段受頻率變化影響較小。隨著密度的增加，金屬橡膠非成型方向的損耗因子呈下降趨勢。對常用的密度ρ=2.5 cm/g3的金屬橡膠的不同成型方向進行了加載試驗，由滯回曲線表明，金屬橡膠非成型方向的動態(tài)剛度大于成型方向的動態(tài)剛度。

(2)為分析金屬橡膠密度和加載頻率變化時，對應的非成型方向阻尼特性的變化規(guī)律，基于試驗結果利用參數分離法建立了阻尼特性的模型，并用最小二乘法對模型參數進行了識別。經驗證，所建立模型具有良好的精度。