計(jì)及運(yùn)動(dòng)副間隙的雙曲柄六桿壓力機(jī)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真向量鍵合圖法

王中雙， 尹久政

(齊齊哈爾大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006)

平面多體系統(tǒng)在工業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用十分廣泛[1-3]，雙曲柄六桿壓力機(jī)機(jī)構(gòu)是典型的該類系統(tǒng)，其低速鍛沖和急回特性十分突出，具有較高的推廣應(yīng)用價(jià)值。然而，多體系統(tǒng)構(gòu)件的實(shí)際加工及裝配均會(huì)產(chǎn)生誤差，所導(dǎo)致的運(yùn)動(dòng)副間隙會(huì)引發(fā)設(shè)備運(yùn)行中的沖擊、振動(dòng)及噪聲問(wèn)題，給其性能及工作壽命帶來(lái)不利的影響。因此，計(jì)及運(yùn)動(dòng)副間隙的平面多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究一直是學(xué)術(shù)界關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題[4-7]?，F(xiàn)有的運(yùn)動(dòng)副間隙碰撞模型多數(shù)是以Hertz理論為基礎(chǔ)，但在機(jī)構(gòu)實(shí)際運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，Hertz定律的假設(shè)條件并不能始終得到滿足，這會(huì)對(duì)間隙接觸碰撞力描述的準(zhǔn)確程度產(chǎn)生影響。為此，文獻(xiàn)[8]基于L-N(Lankarani-Nikravesh)碰撞力模型及改進(jìn)彈性基礎(chǔ)模型，提出了一種修正的運(yùn)動(dòng)副間隙連續(xù)碰撞力混合模型，實(shí)際應(yīng)用中能夠更精確地描述運(yùn)動(dòng)副間隙。

上述模型的建立方法是以分析力學(xué)及彈性力學(xué)為基礎(chǔ)，對(duì)于計(jì)及運(yùn)動(dòng)副間隙的多種能量形式并存的系統(tǒng)(例如：電機(jī)驅(qū)動(dòng)的雙曲柄六桿壓力機(jī)機(jī)構(gòu)系統(tǒng))，不能用統(tǒng)一的方式實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的建模，這在很大程度上制約了該類系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)自動(dòng)建模與仿真。鍵合圖法[9]從理論上可以有效地解決該類問(wèn)題，但對(duì)于復(fù)雜的平面多體系統(tǒng)(例如:計(jì)及運(yùn)動(dòng)副間隙的雙曲柄六桿壓力機(jī)機(jī)構(gòu)系統(tǒng))，其標(biāo)量鍵合圖模型的表達(dá)方式過(guò)于繁雜，實(shí)用價(jià)值有限。文獻(xiàn)[10]將標(biāo)量鍵合圖的概念進(jìn)一步擴(kuò)展，提出了向量鍵合圖法。不僅可以用統(tǒng)一的方式實(shí)現(xiàn)多能域并存系統(tǒng)的建模，還具有表達(dá)方式簡(jiǎn)明、建模過(guò)程程式化的特點(diǎn)，對(duì)于復(fù)雜多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)計(jì)算機(jī)建模與仿真問(wèn)題的研究頗具特色及潛力。

文獻(xiàn)[11]基于向量鍵合圖方法，推導(dǎo)出便于計(jì)算機(jī)建模的系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)力矩及運(yùn)動(dòng)副約束反力方程，建立了三角形肘桿壓力機(jī)機(jī)構(gòu)的向量鍵合圖模型，實(shí)現(xiàn)了其動(dòng)力學(xué)自動(dòng)建模與動(dòng)態(tài)靜力計(jì)算。文獻(xiàn)[12]闡述了以廣義位移、廣義速度向量為關(guān)鍵向量的平面連桿機(jī)構(gòu)向量鍵合圖模型的建立方法，應(yīng)用相應(yīng)的算法，在計(jì)算機(jī)上自動(dòng)建立了RRR-RRP型平面六連桿壓力機(jī)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力矩方程，揭示了脈沖載荷作用下的機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力矩變化規(guī)律。文獻(xiàn)[13]基于向量鍵合圖的基本概念，推導(dǎo)出便于計(jì)算機(jī)自動(dòng)建立的系統(tǒng)狀態(tài)方程及運(yùn)動(dòng)副約束反力方程的統(tǒng)一公式，實(shí)現(xiàn)了計(jì)及驅(qū)動(dòng)電機(jī)在內(nèi)的3-RRR型平面并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)計(jì)算機(jī)建模及仿真，其方法特別適用于多種能量形式并存系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)統(tǒng)一化建模及仿真問(wèn)題。

上述以向量鍵合圖法為基礎(chǔ)的研究工作，均未有涉及到計(jì)及運(yùn)動(dòng)副間隙的機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。文獻(xiàn)[14]基于二狀態(tài)非連續(xù)接觸運(yùn)動(dòng)副間隙模型，建立了考慮運(yùn)動(dòng)副間隙的平面四連桿機(jī)構(gòu)向量鍵合圖，對(duì)其動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了分析。由于所建立的機(jī)構(gòu)向量鍵合圖模型存在微分因果關(guān)系，使其建立機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程的過(guò)程局限于手工推導(dǎo)。文獻(xiàn)[15]以MLSD(massless-link/spring-damper)運(yùn)動(dòng)副間隙模型為基礎(chǔ)，建立了含轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙的RRR-RRP六連桿壓力機(jī)機(jī)構(gòu)的向量鍵合圖模型，實(shí)現(xiàn)了其計(jì)算機(jī)自動(dòng)建模及動(dòng)力學(xué)仿真。但是，其在精確程度及實(shí)用性方面具有局限性。

為此，本文基于白爭(zhēng)鋒的研究所提出的修正非線性連續(xù)接觸碰撞力混合模型，推導(dǎo)出間隙運(yùn)動(dòng)副的相對(duì)碰撞速度向量方程，建立了更加精確描述運(yùn)動(dòng)副間隙的向量鍵合圖模型，具有通用性強(qiáng)、模塊化的特點(diǎn)，便于嵌入到系統(tǒng)的向量鍵合圖模型中。在此基礎(chǔ)上，建立了計(jì)及驅(qū)動(dòng)電機(jī)、運(yùn)動(dòng)副間隙的雙曲柄六桿壓力機(jī)機(jī)構(gòu)向量鍵合圖模型。應(yīng)用王中雙等所述算法，實(shí)現(xiàn)了機(jī)構(gòu)的計(jì)算機(jī)建模及動(dòng)力學(xué)仿真。通過(guò)對(duì)仿真結(jié)果的分析討論，揭示了運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)雙曲柄六桿壓力機(jī)機(jī)構(gòu)刀具的加速度及運(yùn)動(dòng)副約束反力的影響，驗(yàn)證了所述方法的可靠性及有效性。通過(guò)與無(wú)質(zhì)量彈簧阻尼運(yùn)動(dòng)副間隙模型的計(jì)算對(duì)比，進(jìn)一步表明本文方法可以提高系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真的精度及實(shí)用性。

1 修正非線性連續(xù)接觸碰撞力混合間隙向量鍵合圖模型

圖1為修正非線性連續(xù)接觸碰撞力混合間隙模型簡(jiǎn)圖，構(gòu)件Fi為軸套；構(gòu)件Fj為軸；OFi，OFj分別為軸套和軸的軸心點(diǎn)；RFi，RFj分別為軸套和軸的半徑；rFOi，rFOj分別為軸套、軸的軸心點(diǎn)在全局坐標(biāo)系OXY中的位置向量；δFi，δFj分別為軸套、軸的碰撞點(diǎn)在全局坐標(biāo)系OXY中的位置向量；e為軸與軸套的偏心向量，其表達(dá)式為

圖1 修正非線性連續(xù)接觸碰撞力混合模型簡(jiǎn)圖Fig.1 An improved hybrid nonlinear continuous contact and collision model

e=rFOj-rFOi

(1)

設(shè)δF為軸與軸套相互碰撞的壓入深度向量，相應(yīng)的壓入深度δF為

δF=e-c

(2)

式中：c=RFi-RFj，為軸與軸套的半徑差；e為軸與軸套的偏心量。

在白爭(zhēng)鋒的研究基礎(chǔ)上，間隙運(yùn)動(dòng)副的連續(xù)接觸碰撞力可以進(jìn)一步歸納成如式(3)向量形式

(3)

(4)

(5)

由圖1可得向量δF，δFi，δFj間的關(guān)系式為

δF=Sn(δF)(δFj-δFi)

(6)

對(duì)式(6)兩邊求導(dǎo)得

(7)

圖2 間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副向量鍵合圖模型Fig.2 A vector bond graph model with joint clearance

Behzadipour等和王中雙等的研究詳細(xì)闡述了平面多體系統(tǒng)向量鍵合圖模型的建立方法，將圖2所示間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副向量鍵合圖模型嵌入到系統(tǒng)向量鍵合圖模型的相應(yīng)處，便可以建立計(jì)及運(yùn)動(dòng)副間隙的平面多體系統(tǒng)向量鍵合圖模型，這為該類系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)建模與仿真奠定了重要基礎(chǔ)，下面通過(guò)仿真實(shí)例對(duì)此具體予以說(shuō)明。

2 計(jì)及運(yùn)動(dòng)副間隙的雙曲柄六桿壓力機(jī)機(jī)構(gòu)向量鍵合圖模型

由王中雙和等的研究可建立該系統(tǒng)永磁式直流驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)的鍵合圖模型，如圖4(a)所示。由圖3可以看出，該機(jī)構(gòu)是由通用曲柄滑塊壓力機(jī)的曲柄和傳動(dòng)軸之間串聯(lián)一個(gè)雙曲柄機(jī)構(gòu)所構(gòu)成，曲柄AB、連桿BC、曲柄CDE、機(jī)架及連桿EF彼此間用轉(zhuǎn)動(dòng)副連接，滑塊(刀具)與機(jī)架通過(guò)移動(dòng)副連接。由于機(jī)構(gòu)運(yùn)行時(shí)滑塊(刀具)沖切工件會(huì)發(fā)生碰撞與沖擊， 轉(zhuǎn)動(dòng)副F受實(shí)際沖切力的影響最直接，極易產(chǎn)生磨損，故這里僅計(jì)及轉(zhuǎn)動(dòng)副F的間隙。應(yīng)用Behzadipour等研究所述方法，可以分別建立圖3所示機(jī)構(gòu)各構(gòu)件的向量鍵合圖模型，將其按照機(jī)構(gòu)的上述運(yùn)動(dòng)約束關(guān)系鍵接起來(lái)，可以建立計(jì)及運(yùn)動(dòng)副間隙的雙曲柄六桿壓力機(jī)機(jī)構(gòu)向量鍵合圖模型，將其與圖4(a)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的鍵合圖模型進(jìn)一步鍵接，可以建立圖3所示系統(tǒng)完整的向量鍵合圖模型，如圖4所示。其中，間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副F的向量鍵合圖模型如圖4(b)所示。

圖3 電機(jī)驅(qū)動(dòng)含運(yùn)動(dòng)副間隙的雙曲柄六桿壓力機(jī)機(jī)構(gòu)Fig.3 Double crank six-bar press mechanism with joint clearance driven by motor

通過(guò)上述方法所建立的機(jī)構(gòu)向量鍵合圖模型，同時(shí)具有積分因果關(guān)系及微分因果關(guān)系，直接應(yīng)用現(xiàn)有的方法進(jìn)行機(jī)構(gòu)的計(jì)算機(jī)建模及動(dòng)力學(xué)仿真，代數(shù)上的處理非常困難。為此，將該機(jī)構(gòu)各運(yùn)動(dòng)副約束反力向量Se5(轉(zhuǎn)動(dòng)副B)、Se8(轉(zhuǎn)動(dòng)副C)、Se10(轉(zhuǎn)動(dòng)副D)、Se12(轉(zhuǎn)動(dòng)副E)作為未知?jiǎng)菰聪蛄?，添加在圖4相應(yīng)的0-結(jié)處，可以完全消除微分因果關(guān)系。如此建立的如圖4所示的機(jī)構(gòu)向量鍵合圖，所有貯能元件皆具有積分因果關(guān)系，可以直接應(yīng)用王中雙等所述方法實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的計(jì)算機(jī)建模與動(dòng)力學(xué)仿真。

3 計(jì)及運(yùn)動(dòng)副間隙的雙曲柄六桿壓力機(jī)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真

由王中雙等所述方法知，與圖4所示系統(tǒng)向量鍵合圖相對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)獨(dú)立貯能場(chǎng)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的能量變量向量為

圖4 系統(tǒng)向量鍵合圖模型Fig.4 Vector bond graph model of system

(8)

式中，pi(i=1,3,7,11,14)為圖2中相應(yīng)慣性元件的廣義動(dòng)量。

系統(tǒng)獨(dú)立貯能場(chǎng)非獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的能量變量向量

(9)

式中，pix，piy(i=6,9,13)為圖4中相應(yīng)慣性元件的廣義動(dòng)量向量在X軸及Y軸方向的投影；p20為圖4中相應(yīng)慣性元件的廣義動(dòng)量；VBCx，VBCy，VCDEx，VCDEy，VEFx，VEFy分別為相應(yīng)構(gòu)件質(zhì)心速度向量在X軸及Y軸方向的投影；q15x，q15y為圖4相應(yīng)容性元件的廣義位移δF在X軸及Y軸方向的投影。

相應(yīng)的共能量變量向量

[VBCxVBCyVCDExVCDEyVEFxVEFyFFxFFyVK]T

(10)

式中：fi(i=1,3,7,11,14,20)為圖4相應(yīng)慣性元件的流變量；e15x，e15y為圖4相應(yīng)容性元件的勢(shì)變量向量在X軸及Y軸方向的投影；fix，fiy(i=6,9,13)為圖4相應(yīng)慣性元件的流變量向量在X軸及Y軸方向的投影。

耗散場(chǎng)輸入、輸出向量分別為

(11)

(12)

式中：ei，fi(i=2,4)分別為圖4相應(yīng)阻性元件的勢(shì)變量和流變量；e16x，e16y，f16x，f16y分別為圖4相應(yīng)阻性元件的勢(shì)向量和流向量在X軸及Y軸方向的投影。

系統(tǒng)已知?jiǎng)菰聪蛄?/p>

U1=[Se21Se6xSe6ySe9xSe9ySe13xSe13ySe18Se19]T=

[Vt0-mBCg0-mCDEg0-mEFgFr-mKg]T

(13)

式中，Seix，Seiy(i=6,9,13)分別為圖4相應(yīng)勢(shì)源向量在X軸及Y軸方向的投影；Se1，Se18，Se19分別為圖4相應(yīng)的勢(shì)源。

系統(tǒng)未知?jiǎng)菰聪蛄?/p>

U2=[Se5xSe5ySe8xSe8ySe10xSe10ySe12xSe12y]T=
[FBxFByFCxFCyFDxFDyFExFEy]T

(14)

式中：Seix，Seiy(i=5,8, 10,12)分別為圖4相應(yīng)勢(shì)源向量在X軸及Y軸方向的投影；FBx，F(xiàn)By，F(xiàn)Cx，F(xiàn)Cy，F(xiàn)Dx，F(xiàn)Dy，F(xiàn)Ex，F(xiàn)Ey分別為運(yùn)動(dòng)副B、C、D、E約束反力向量在X軸及Y軸方向的投影。

應(yīng)用王中雙等所述方法，由圖4可以建立向量Xi1與向量Zi1之間的關(guān)系矩陣Fi1、向量Xi2與向量Zi2之間的關(guān)系矩陣Fi2、向量Dout與向量Din之間的關(guān)系矩陣R。同時(shí)，可以建立與圖4所示系統(tǒng)向量鍵合圖模型相對(duì)應(yīng)的結(jié)型結(jié)構(gòu)矩陣。

將系統(tǒng)狀態(tài)變量向量Xi1，Xi2的初值、系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)、已知?jiǎng)菰聪蛄縐1、矩陣Fi1，F(xiàn)i2，R及結(jié)型結(jié)構(gòu)矩陣代入以王中雙等所述算法為基礎(chǔ)所編制的MATLAB軟件中去，可以用程式化的方式自動(dòng)建立形式為一階非線性微分方程組的系統(tǒng)狀態(tài)方程并求解，部分仿真結(jié)果曲線如圖5～圖7所示。值得說(shuō)明的是本文所采用的求解器Ode45，其基礎(chǔ)算法是變步長(zhǎng)Runge-Kutta-Felhberg方法，適用于對(duì)精度要求較高的問(wèn)題，是實(shí)際工程中應(yīng)用較多的有效算法。

對(duì)圖3所示機(jī)構(gòu)各構(gòu)件進(jìn)行受力分析，應(yīng)用牛頓-歐拉法可以分別建立各運(yùn)動(dòng)構(gòu)件質(zhì)心加速度與所受外力的關(guān)系方程(既牛頓方程)及各構(gòu)件角加速度與其所受力矩的關(guān)系方程(既歐拉方程)，將所得到的二階微分方程組形式的牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)一步降階整理并與驅(qū)動(dòng)電機(jī)的動(dòng)力學(xué)方程聯(lián)立，可以得到以Xi1，Xi2為狀態(tài)變量向量的一階非線性常微分方程組，這在形式上與用本文方法所得到的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程是完全一致的。在MATLAB環(huán)境下，選用與本文上述方法同樣的求解器、設(shè)定同樣的參數(shù)求解，部分計(jì)算結(jié)果如表1、表2所示，與本文方法所得結(jié)果是完全一致的。將表1、表2所列數(shù)據(jù)用涂黑的圓點(diǎn)表示在圖5～圖7中，這些圓點(diǎn)均在對(duì)應(yīng)的仿真曲線上，更加直觀地表明了這一點(diǎn)。但是，這一驗(yàn)證過(guò)程手工處理量較大，相當(dāng)繁瑣。相比而言，本文所述方法可以用統(tǒng)一的方式使該機(jī)電系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模、仿真及分析過(guò)程以程式化的方式由計(jì)算機(jī)來(lái)完成，提高了該類工作的效率及可靠性。

表1 無(wú)間隙機(jī)構(gòu)牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方法部分計(jì)算結(jié)果Tab.1 Some results without clearance calculated by Newton-Euler dynamic method

圖5 轉(zhuǎn)動(dòng)副F約束反力合力Fig.5 Resultant constraint force of joint F

圖6 滑塊(刀具)加速度曲線Fig.6 Acceleration of slider (cutter)

圖7 轉(zhuǎn)動(dòng)副E約束反力合力Fig.7 Resultant constraint force of joint E

表2 有間隙機(jī)構(gòu)牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方法部分計(jì)算結(jié)果Tab.2 Some results with clearance calculated by Newton-Euler dynamic method

圖5～圖7中，曲柄角位移的初值為87°(對(duì)應(yīng)刀具上極限位置)。曲柄由該位置逆時(shí)針轉(zhuǎn)360°，機(jī)構(gòu)完成一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期。在機(jī)構(gòu)一個(gè)工作循環(huán)中，對(duì)應(yīng)無(wú)間隙機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)仿真曲線均比較光滑。間隙使運(yùn)動(dòng)副軸與軸套間產(chǎn)生脈沖式的間隙碰撞力，導(dǎo)致間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副F的約束反力曲線、刀具加速度曲線及無(wú)間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副E的約束反力曲線均呈高頻振蕩狀態(tài)，在初始點(diǎn)附近表現(xiàn)得尤為明顯。另外，轉(zhuǎn)動(dòng)副F的間隙使其本身的約束反力、(刀具)加速度及轉(zhuǎn)動(dòng)副E約束反力的最大峰值均顯著增大。相比無(wú)間隙機(jī)構(gòu)，有間隙機(jī)構(gòu)相應(yīng)仿真曲線的總體變化趨勢(shì)相近。具體分析如下：

由圖5知，曲柄角位移q1=334°時(shí)，無(wú)間隙機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)副F的約束反力最大峰值為2 821.41 N，角位移q1=336°時(shí)，有間隙機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)副F的約束反力最大峰值為3 329.14 N，其最大峰值增加了507.73 N，兩者達(dá)到最大峰值曲柄角位移相差2°。

由圖6知，當(dāng)曲柄角位移q1=334°時(shí)，無(wú)間隙機(jī)構(gòu)刀具加速度的最大峰值為47.54 m·s-2，當(dāng)角位移q1=336°，含間隙機(jī)構(gòu)刀具加速度的最大峰值為55.66 m·s-2，其最大峰值增加了8.12 m·s-2，兩者達(dá)到最大峰值曲柄角位移相差2°。

由圖7知，當(dāng)曲柄角位移q1=334°時(shí)，無(wú)間隙機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)副E約束反力的最大峰值為5 757.34 N，角位移q1=336°時(shí)，有間隙機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)副E約束反力的最大峰值為6 622.33 N，其最大峰值增加了864.99 N，兩者達(dá)到最大峰值曲柄角位移相差2°。

由此可見(jiàn)，相比無(wú)間隙機(jī)構(gòu)，含間隙機(jī)構(gòu)刀具的加速度及運(yùn)動(dòng)副約束反力達(dá)到最大峰值時(shí)曲柄角位移相差均較小。間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副F本身的約束反力、刀具的加速度及轉(zhuǎn)動(dòng)副E的約束反力對(duì)間隙均十分敏感，最大峰值分別增加了18%，17%，15%。其中，間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副F約束反力最大峰值的增長(zhǎng)率尤為突出。這會(huì)導(dǎo)致壓力機(jī)機(jī)構(gòu)的實(shí)際運(yùn)行產(chǎn)生較大的沖擊、振動(dòng)及噪聲，加劇運(yùn)動(dòng)副的磨損，給機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性、零部件的強(qiáng)度及工作壽命均帶來(lái)不利的影響。

針對(duì)本文的機(jī)電系統(tǒng)，應(yīng)用王中雙等所述方法，將基于MLSD運(yùn)動(dòng)副間隙模型的向量鍵合圖嵌入到本文機(jī)電系統(tǒng)的向量鍵合圖模型中，可以建立計(jì)及MLSD間隙模型的系統(tǒng)向量鍵合圖模型。在此基礎(chǔ)上，采用王中雙等研究中MLSD模型的物理參數(shù)值，應(yīng)用與本文同樣的建模方法(詳見(jiàn)王中雙等的研究)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模與仿真，其仿真結(jié)果曲線如圖8～圖10所示。

通過(guò)與圖5～圖7對(duì)比分析可知，兩種方法所得到的間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副F約束反力曲線、刀具加速度曲線及無(wú)間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副E約束反力曲線總體變化趨勢(shì)相近。在曲柄轉(zhuǎn)動(dòng)的初始階段，均呈現(xiàn)高頻波動(dòng)狀態(tài)。但是，隨著曲柄角位移的增大，圖8～圖10所示仿真曲線的波動(dòng)頻率均有所下降，明顯低于圖5～圖7相對(duì)應(yīng)的仿真曲線。圖8所示間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副F約束反力曲線的最大值為3 630.61 N，比圖5相應(yīng)曲線的最大值增加了301.47 N；圖9所示刀具加速度曲線的最大值為71.23 N，比圖6相應(yīng)曲線的最大值增加了15.58 N；圖10所示轉(zhuǎn)動(dòng)副E約束反力曲線的最大值為7 053.29 N，比圖7相應(yīng)曲線的最大值增加了430.96 N。由此可見(jiàn)，基于MLSD運(yùn)動(dòng)副間隙模型所得到的間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副F約束反力、刀具加速度及轉(zhuǎn)動(dòng)副E約束反力的最大值均有所增加。進(jìn)一步對(duì)比分析可知，圖8～圖10與圖5～圖7相對(duì)應(yīng)的仿真曲線取得最大值的時(shí)間也皆不相同。

圖8 MLSD模型轉(zhuǎn)動(dòng)副F約束反力合力Fig.8 Resultant constraint force of joint F based on MLSD model

圖9 MLSD模型機(jī)構(gòu)滑塊(刀具)加速度曲線Fig.9 Acceleration of slider (cutter) based on MLSD model

圖10 MLSD模型轉(zhuǎn)動(dòng)副E約束反力合力Fig.10 Resultant constraint force of joint E based on MLSD model

導(dǎo)致上述兩種方法仿真結(jié)果出現(xiàn)偏差的主要原因在于機(jī)構(gòu)運(yùn)行時(shí)，其間隙運(yùn)動(dòng)副軸與軸套間的碰撞是復(fù)雜的非線性過(guò)程，MLSD模型是用線性彈簧阻尼描述運(yùn)動(dòng)副間隙的彈性及阻性效應(yīng)，不能真實(shí)反映運(yùn)動(dòng)副軸與軸套間碰撞過(guò)程中的非線性特性。另外，實(shí)際應(yīng)用中準(zhǔn)確地給出彈簧阻尼器的彈性系數(shù)及阻尼系數(shù)比較困難，本文所采用的MLSD模型的具體參數(shù)是通過(guò)直接引用白爭(zhēng)鋒和王中雙等的研究來(lái)獲得，這也是導(dǎo)致其仿真結(jié)果產(chǎn)生誤差的重要原因。相比較而言，本文所建立的模型是用非線性彈簧阻尼描述運(yùn)動(dòng)副間隙的彈性及阻性效應(yīng)，不但能夠描述碰撞過(guò)程中的能量轉(zhuǎn)換特性，還包含碰撞體本身的材料屬性、局部變形及碰撞速度等信息，比較真實(shí)客觀地反映了間隙運(yùn)動(dòng)副的碰撞過(guò)程，有效地解決了實(shí)際應(yīng)用中碰撞剛度系數(shù)及阻尼系數(shù)取值較困難的問(wèn)題，且不受間隙尺寸和恢復(fù)系數(shù)的限制。由此可見(jiàn)，應(yīng)用本文所建立的修正非線性連續(xù)接觸碰撞力混合間隙向量鍵合圖模型，可以進(jìn)一步地提高計(jì)及運(yùn)動(dòng)副間隙的機(jī)電系統(tǒng)計(jì)算機(jī)建模及動(dòng)力學(xué)仿真的精度及實(shí)用性。

4 結(jié) 論

(1)本文基于修正非線性連續(xù)接觸碰撞力混合間隙模型，推導(dǎo)出間隙運(yùn)動(dòng)副相對(duì)碰撞速度向量方程。在此基礎(chǔ)上所建立的間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副向量鍵合圖模型，可以用簡(jiǎn)明的圖形方式更精細(xì)地描述運(yùn)動(dòng)副間隙，具有通用性強(qiáng)、模塊化的特點(diǎn)，便于嵌入到平面多體系統(tǒng)向量鍵合圖模型中，為更精確地實(shí)現(xiàn)計(jì)及運(yùn)動(dòng)副間隙的多能域系統(tǒng)計(jì)算機(jī)建模、動(dòng)力學(xué)仿真及分析奠定了重要基礎(chǔ)。

(2)建立了計(jì)及驅(qū)動(dòng)電機(jī)、運(yùn)動(dòng)副間隙的雙曲柄六桿壓力機(jī)機(jī)構(gòu)向量鍵合圖，實(shí)現(xiàn)了其計(jì)算機(jī)統(tǒng)一建模及動(dòng)力學(xué)仿真。驗(yàn)證對(duì)比分析表明：本文所述方法是可靠的，進(jìn)一步提高了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真的精度及實(shí)用性，其程式化的建模方式提高了計(jì)及運(yùn)動(dòng)副間隙的機(jī)電系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模、仿真及分析工作的效率。

(3)通過(guò)對(duì)具體實(shí)例的仿真結(jié)果分析，揭示了運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)電機(jī)驅(qū)動(dòng)的雙曲柄六桿壓力機(jī)機(jī)構(gòu)刀具的加速度、運(yùn)動(dòng)副約束反力的影響，對(duì)于機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)、控制及可靠性問(wèn)題的研究具有一定的價(jià)值。

(4)本文工作為同類問(wèn)題的研究提供了特色鮮明的新途徑，進(jìn)一步拓展了向量鍵合圖理論及應(yīng)用的研究領(lǐng)域。