無模型控制在氣動變載荷加載系統(tǒng)中的應用

任麗娜， 李小廣， 高琳琪， 劉福才

(燕山大學 工業(yè)計算機控制工程河北省重點實驗室，河北 秦皇島 066004)

氣動加載技術(shù)是一種成本低、重量輕、實用性強的工業(yè)技術(shù)。它以壓縮空氣為工作介質(zhì)，進行能量的轉(zhuǎn)換和控制，以實現(xiàn)機械化的生產(chǎn)制造[1]。當今社會，工業(yè)生產(chǎn)技術(shù)發(fā)展迅猛，機電一體化已成為機械制造發(fā)展的重要趨勢，而其中氣動加載技術(shù)所特有的無污染、性價比高、工作原理簡單等特點，使得系統(tǒng)安全穩(wěn)定[2-3]，并且在工業(yè)生產(chǎn)應用中加上關鍵部件電氣比例閥后，響應速度更快，響應精度也得到了很大的提高，因此在全世界范圍內(nèi)得到了廣泛應用[4]。

但是氣動加載系統(tǒng)的壓力跟蹤控制依然是當代社會工業(yè)研究的一大難題，這其中最主要的原因自然就是氣動加載系統(tǒng)所具有的強非線性、強耦合性。氣動加載的空氣特性、關鍵部件電氣比例閥的時滯性和氣缸兩腔摩擦力這些原因，給氣動加載系統(tǒng)的建模與控制器設計造成了很大的困難[5-6]。

為解決上述問題，近些年來出現(xiàn)了很多針對氣動系統(tǒng)的控制策略。文獻[7]提出了一種基于模糊算法的狀態(tài)反饋增益整定的控制方法，這種方法可以工作在控制非線性系統(tǒng)和加載載荷不斷變化的情況。但是，在被控對象的載荷保持恒定時就有一定的局限性。文獻[8]中提到了一種多輸出反饋的方法對來氣動加載系統(tǒng)進行運動控制，并且能夠?qū)Σ粩嘧兓哪Σ烈驍?shù)進行補償。文獻[9]提出了一種自適應模糊PD(proportion differentiation)控制方法，并證明了該方法的自適應性，最后又在實際系統(tǒng)進行試驗驗證。文獻[10]中提出一種稱為Robust Loop Shaping-Fuzzy Gain Scheduled (RLS-FGS)的控制方法用于氣動系統(tǒng)的控制，通過粒子群算法(particle swarm optimization，PSO)來確定實際應用的最佳參數(shù)。文獻[11]通過在自抗擾控制器中增加積分環(huán)節(jié)，從而增強系統(tǒng)的魯棒性。

上述的這些控制方法雖然都能在一定條件下取得不錯的控制效果，但是控制器的設計都或多或少依賴于被控系統(tǒng)模型，而氣動加載系統(tǒng)的建模困難與強時變性使得這些控制策略在實際應用中有很多困難。本文為實現(xiàn)氣動加載系統(tǒng)的壓力實時跟蹤控制設計無模型自適應控制器，其中無模型控制是指在控制器的設計過程中不包含被控系統(tǒng)的任何數(shù)學模型信息，僅需被控系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)來進行控制的控制器。

1 氣動變載荷加載系統(tǒng)的描述以及數(shù)學建模

1.1 氣動變載荷加載系統(tǒng)的組成及工作原理

氣動加載系統(tǒng)工作原理如圖1所示。

圖1 氣動加載系統(tǒng)原理圖Fig.1 Schematic diagram of pneumatic loading system

氣動加載系統(tǒng)的組成部件包括氣源、氣動二聯(lián)件、電氣壓力比例閥、氣缸、拉壓力傳感器、上位工控機等。其中，氣泵的作用是提供氣源；壓力傳感器位于氣缸和樣品臺之間，作用是實時的反饋加載的壓力大??；然后上位機通過返回的輸出壓力信號與系統(tǒng)給定的輸入信號進行作差，通過無模型自適應控制器或者經(jīng)典PID控制器，產(chǎn)生控制信號；控制信號在模擬量輸出單元轉(zhuǎn)換為輸出電流，電流信號控制電氣比例閥的開度，最終控制氣缸的實時壓力輸出。

1.2 氣動變載荷加載系統(tǒng)數(shù)學模型的建立

氣缸加載系統(tǒng)的控制原理如圖2所示，圖中省去了實際系統(tǒng)必備但與控制系統(tǒng)無關的空氣過濾器、減壓閥等氣源處理單元[12]。

圖2 氣動加載系統(tǒng)控制原理圖Fig.2 Pneumatic loading system control diagram

在仿真計算中，氣動加載系統(tǒng)由于空氣狀態(tài)的非線性與復雜性，不能建立完整的貼近實際系統(tǒng)的數(shù)學模型。為了便于獲取系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，研究系統(tǒng)的實時加載特性，遂作出如下假設[13-14]：①大氣壓力、氣源壓力在一定時間內(nèi)保持恒定不變； ②排氣壓力恒定不變； ③忽略氣體的動能和勢能； ④氣缸與儲氣罐內(nèi)的氣體運動視為等熵絕熱，保持能量守恒；⑤氣體運動過程滿足理想氣體運動方程；⑥氣缸內(nèi)的氣體是均勻的，整個過程不存在氣體泄漏。

由牛頓第二運動定律，得到氣缸運動的力平衡方程為

(1)

式中：M為活塞和負載總質(zhì)量；B為黏滯摩擦因數(shù)；Fc是庫倫摩擦力；Pa和Pb分別為氣缸A腔和B腔的接觸面積作用壓強；Aa和Ab分別為氣缸A腔和B腔的作用面積；Patm為環(huán)境壓強；Ar為氣缸桿橫截面積。

MCL-ZT拉壓力傳感器屬壓阻式傳感器，其輸出壓力F與長度形變量即氣缸位移x之間呈趨勢型線性關系，考慮到零位壓力存在的可能性，其關系式可寫為

F=Kf1x+bf1

(2)

式中：Kf1為比例系數(shù)；bf1為常數(shù)，起到調(diào)零作用。

通過電氣比例閥進入氣缸腔內(nèi)的氣體質(zhì)量流量可表示為[15]

(3)

其中，

(4)

式中：Cf為流量系數(shù)；Av為電氣比例閥的有效開口面積；Pu為氣缸供給壓強；R為理想氣體常數(shù)；T為絕對溫度；Wv為電氣比例閥開口面積梯度；xv為電氣比例閥的閥芯位移長度；k為絕熱指數(shù)，取k=1.4。

電氣比例閥通過電控的方式對氣體流量或氣動加載輸出壓力進行實時連續(xù)控制，因此其輸入輸出特性可以等效為比例環(huán)節(jié)，即

xv=Kvuv

(5)

式中：Kv為電氣比例閥流量增益；uv為控制電壓。

由質(zhì)量守恒定律,氣缸容腔流入和流出的氣體質(zhì)量流量和容腔的質(zhì)量變化率相等,可表示為

(6)

假設氣體為理想氣體,滿足理想氣體狀態(tài)方程

P=ρRT

(7)

聯(lián)立式(6)和式(7)得

(8)

(9)

聯(lián)立式(3)、式(4)、式(9)，整理可得

(10)

(11)

狀態(tài)方程式(11)便是該氣動變載荷加載系統(tǒng)的數(shù)學模型，設計該氣動摩擦系統(tǒng)數(shù)學模型僅是為了產(chǎn)生系統(tǒng)仿真研究所用的I/O數(shù)據(jù)，并不參與控制器的設計。

2 無模型自適應控制器設計

2.1 無模型自適應控制器的基本概念

無模型自適應控制(model free adaptive control, MFAC)是侯忠生教授在其博士論文中提出的。該方法引入一個新的概念，偽梯度向量(或偽Jacobi矩陣)和偽階數(shù)，在被控系統(tǒng)的軌線附近用一系列的動態(tài)線性時變模型來近似替代一般的非線性系統(tǒng)，僅用被控系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)在線估計系統(tǒng)的偽梯度向量。其中的基于緊格式線性化和偏格式線性化的MFAC方案已經(jīng)給出了在一些假設條件下的收斂性和穩(wěn)定性的理論證明[16-19]。這種控制器參數(shù)少，易于實現(xiàn)，因此一經(jīng)提出便得到了飛速發(fā)展。目前在化工制造、電機控制、城市道路交通控制、板形控制等多種行業(yè)進行了應用，并且獲得了中國技術(shù)發(fā)明專利。仿真和理論研究、實際工業(yè)應用都從多個方面證明了MFAC能夠解決被控系統(tǒng)中的強非線性和時變性等控制難題。

2.2 一般離散時間非線性系統(tǒng)的緊格式線性化方法

考慮一類SISO離散時間非線性系統(tǒng)

y(k+1)=
f(y(k),…,y(k-m),u(k),…,u(k-n))

(12)

式中：y(k)，u(k)分別為系統(tǒng)的輸出與輸入；m,n為系統(tǒng)的階數(shù)。

對于式(12)，做出以下假設[20]：

假設1系統(tǒng)式(12)是可觀可控的。即對于有界的期望信號y*(k+1)，存在有界的控制輸入信號。

假設2f(…)關于系統(tǒng)的控制輸入信號u(k)的偏導數(shù)是連續(xù)的。

假設3系統(tǒng)式(12)是廣義Lipschitz的，即滿足對任意時刻的k和Δu(k)≠0有

|Δy(k+1)|≤b|Δu(k)|

(13)

式中： Δy(k+1)=y(k+1)-y(k)； Δu(k)=u(k)-u(k-1)；b為常數(shù)。

由此可得以下定理：如果可以同時滿足以上三個假設條件，那么當Δu(k)≠0時，一定存在一個偽偏導數(shù)φ(k)使得系統(tǒng)可以用式(14)來表示

y(k+1)-y(k)=φ(k)Δu(k)

(14)

式中， |φ(k)|≤b，φ(k)為y(k+1)關于u(k)的梯度，能夠變化而實現(xiàn)自適應部分。

2.3 基于緊格式動態(tài)線性化的無模型自適應控制方案

上面所給出的線性化方法與傳統(tǒng)的線性化方法有著很大的不同。為了能夠控制動態(tài)折線化近似在合理的范圍內(nèi)，考慮如下的控制輸入準則函數(shù)

J(u(k))=[y*(k+1)-y(k+1)]2+
λ[u(k)-u(k-1)]2

(15)

式中：λ為線性化權(quán)重因子；y*(k+1)為k+1時刻系統(tǒng)的給定值。λ[u(k)-u(k-1)]2可以限制輸入量的變化，并且可以克服穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差。將式(12)代入式(13)中對u(k)進行求導，令其等于零，則

(16)

式中，ρk為步長序列。

控制算法中加入權(quán)重因子λ的作用有兩個。一是限制非線性系統(tǒng)線性替代的范圍，因此也間接的限制了偽偏導數(shù)的變化；其次，權(quán)重因子避免了式(16)中分母為零的情況。

以上算法中，k時刻唯一不知道的參數(shù)就是偽偏導數(shù)的值。下面將采用參數(shù)估計算法，進行偽偏導數(shù)φ(k)的估計。偽偏導數(shù)估計準則函數(shù)

(17)

式中：y*(k)為k時刻系統(tǒng)的輸出值；μ為權(quán)重因子。 對φ(k)進行求導并令其等于零，得到如下偽偏導數(shù)估計算法

(18)

式中，ηk為步長序列。

根據(jù)上面的參數(shù)估計算法以及控制律算法得出MFAC控制方案為[21]

(19)

(20)

(21)

通過控制方案式(19)～式(21)可以看出，該控制器的設計僅需被控系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，不顯含或隱含任何關于受控系統(tǒng)動態(tài)模型的信息。由于偽偏導數(shù)φ(k)對時變參數(shù)、時變結(jié)構(gòu)的不敏感，因此無模型自適應控制方案具有非常強的適應性和魯棒性，傳統(tǒng)的基于被控系統(tǒng)數(shù)學模型的控制方案設計很難達到這一點。

3 仿真與實驗研究

3.1 仿真研究

在MATLAB軟件中進行仿真研究，并在三種典型輸入信號下將MFAC與PID控制器的控制效果進行對比。其中系統(tǒng)的部分物理參數(shù)標稱值如表1所示，與Sorli等的研究相比，此次實驗所用到的氣缸內(nèi)腔橫截面積更大。

表1 氣動加載系統(tǒng)物理參數(shù)標稱值Tab.1 Nominal value of physical parameters of pneumatic loading system

在壓力給定為恒值500 N時，MFAC和PID控制系統(tǒng)的壓力跟蹤曲線和誤差曲線分別如圖3和圖4所示。由圖可以看出，給定恒值信號加載時，系統(tǒng)在PID控制下穩(wěn)定速度慢，峰值誤差大，且一直存在震蕩；而在MFAC控制下，跟蹤速度快，抖振現(xiàn)象小，跟蹤誤差迅速趨于零，跟蹤性能良好。

圖3 恒值加載壓力跟蹤曲線Fig.3 Constant loading pressure tracking curve

圖4 恒值加載壓力誤差曲線Fig.4 Error curve of constant loading pressure

在給定峰值為600 N，周期為12 s的正弦波信號時， 兩種控制器的跟蹤曲線和誤差曲線分別如圖5和圖6所示。由圖可以看出，在PID控制下系統(tǒng)存在一定的滯后與抖振，且存在震蕩現(xiàn)象；而在MFAC控制下，系統(tǒng)壓力無滯后，在波峰處誤差小，系統(tǒng)穩(wěn)定，跟蹤性能良好。表明MFAC對正弦波信號具有良好的跟蹤效果，抗干擾能力強。

圖5 正弦波加載壓力跟蹤曲線Fig.5 Sinusoidal load pressure tracking curve

圖6 正弦波加載壓力誤差曲線Fig.6 Error curve of sinusoidal loading pressure

在壓力給定峰值為600 N，周期為10 s的方波加載時，兩種控制器的跟蹤曲線和誤差曲線分別如圖7和圖8所示。由圖可以看出，在給定信號為方波信號時，PID控制的系統(tǒng)存在較大誤差，且在峰值處存在明顯的震蕩現(xiàn)象；而在MFAC控制下，系統(tǒng)峰值處抖動誤差較小，輸出信號較平滑，跟蹤性能較好。

圖7 方波加載壓力跟蹤曲線Fig.7 Pressure tracking curve of square wave loading

圖8 方波加載壓力誤差曲線Fig.8 Error curve of square wave loading pressure

3.2 實驗驗證

為驗證無模型自適應控制器在實際應用中的有效性，在實際系統(tǒng)上進行實驗，該試驗機可以實現(xiàn)數(shù)值連續(xù)可變的變載荷加載，實物如圖9所示?？刂扑惴ㄊ?17)～式(19)采用VC++語言實現(xiàn)。并對無模型自適應控制和經(jīng)典PID控制的控制效果進行對比分析。

圖9 氣動變載荷加載試驗機Fig.9 Pneumatic variable load loading testing machine

給定峰值為600 N的恒值信號,將PID閉環(huán)控制和MFAC的參數(shù)都調(diào)至最優(yōu)，PID參數(shù)為kp=1.01，ki=3，kd=1.1，MFAC參數(shù)為λ=1，μ=0.2，ρ=1，η=1。兩種控制器下的加載曲線和誤差曲線分別如圖10和圖11所示。由比較可知，系統(tǒng)在PID控制下的恒值加載中一直存在震蕩，有較大滯后，且波動誤差大；而在MFAC控制下，系統(tǒng)滯后小，跟蹤迅速，整體曲線平穩(wěn)，跟蹤性能良好。

圖10 恒值加載試驗跟蹤曲線Fig.10 Constant loading test tracking curve

圖11 恒值加載試驗誤差曲線Fig.11 Error curve of constant loading test

PID閉環(huán)控制和MFAC控制下的正弦波加載曲線和誤差曲線分別如圖12和圖13所示。當給定峰值為500 N，周期50 s的正弦波信號時，將兩種控制器的參數(shù)都調(diào)至最優(yōu)，PID參數(shù)為kp=4，ki=1.2，kd=0.5，MFAC參數(shù)為λ=0.5，μ=0.1，ρ=0.5，η=1。觀察圖12和圖13可知，在PID控制下系統(tǒng)存在明顯的抖振和滯后，且存在震蕩現(xiàn)象，峰值誤差大；而在MFAC控制下，系統(tǒng)壓力跟蹤較為平滑，峰值誤差小，跟蹤速度較快，系統(tǒng)穩(wěn)定，抗干擾能力較強。

圖12 正弦波加載試驗跟蹤曲線Fig.12 Sinusoidal loading test tracking curve

圖13 正弦波加載試驗誤差曲線Fig.13 Error curve of sinusoidal loading test

PID閉環(huán)控制和MFAC控制下的系統(tǒng)的方波加載曲線和誤差曲線分別如圖14和圖15所示。當給定峰值500 N，周期50 s的方波信號時，將控制器參數(shù)調(diào)至最優(yōu)，其中PID參數(shù)為kp=0.5，ki=1.5，kd=0.5，MFAC參數(shù)為λ=5，μ=0.1，ρ=1，η=1。觀察加載曲線和誤差曲線，在PID控制下系統(tǒng)峰值誤差大，有滯后；而在MFAC控制下，系統(tǒng)壓力跟蹤較好，整體誤差比PID誤差小，系統(tǒng)穩(wěn)定，抗干擾能力較強。

圖14 方波加載試驗跟蹤曲線Fig.14 Square wave loading test tracking curve

圖15 方波加載試驗誤差曲線Fig.15 Error curve of square wave loading test

4 結(jié) 論

(1) 本文為解決氣動加載系統(tǒng)的控制精度低、跟蹤性能差等問題,設計了無模型自適應控制器，這種控制器易于應用、計算簡便、適合氣動加載系統(tǒng)這種無法精確建模的控制對象。并且在MATLAB進行了仿真研究，對比經(jīng)典PID控制，仿真結(jié)果表明在三種典型的輸入信號下，MFAC具有更強的適應性和魯棒性。

(2) 在氣動變載荷摩擦磨損試驗機上進行實驗驗證，用Visual Studio平臺編寫離散化控制程序，驗證了給定為三種典型的輸入信號下，無模型自適應控制器和經(jīng)典PID控制器的跟蹤效果。通過分析試驗曲線可知，無模型自適應控制器在三種輸入信號下均能保持響應速度快、控制精度高的優(yōu)點。