非仿射多智能體系統(tǒng)的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制

張 薇，余昭旭

(華東理工大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院 自動化系，上海 200237)

0 引 言

多智能體系統(tǒng)因其在城市交通控制、無人機(jī)及機(jī)器人編隊等系統(tǒng)中[1,2]的廣泛應(yīng)用受到了大量關(guān)注，而一致性問題是其中的研究熱點。早期的研究主要集中在低階確定性系統(tǒng)[3-7]，但由于實際系統(tǒng)大部分為高階不確定性系統(tǒng)[8,9]，故需引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或模糊系統(tǒng)來處理系統(tǒng)的不確定性[10-12]。

反步法是處理具有下三角形式非線性系統(tǒng)的常用方法，但由于其容易造成“復(fù)雜性爆炸”問題[13]，故引入動態(tài)面控制法來簡化計算[14-18]。由于傳統(tǒng)動態(tài)面法中邊界層誤差動態(tài)系統(tǒng)的未知非線性項沒有得到補(bǔ)償，控制性能會下降，故文獻(xiàn)[19]提出了一種新的非線性濾波器來改善控制性能。

此外，實際系統(tǒng)中大量存在的未知控制方向情況也給控制設(shè)計帶來了困難。目前，Nussbaum增益函數(shù)是解決控制方向未知問題最常用的方法[20]，并已應(yīng)用到多智能體系統(tǒng)中[21-23]。不過目前考慮的大多是仿射系統(tǒng)，而非仿射系統(tǒng)具有更一般的形式，可描述更為廣泛的實際系統(tǒng)。但具有未知控制方向的非仿射系統(tǒng)所具有的特性也會增大控制策略設(shè)計的難度。

本文的研究對象是有向拓?fù)鋱D下控制方向未知的非仿射非線性多智能體系統(tǒng)，并引入Nussbaum增益函數(shù)來處理由控制方向未知而帶來的問題；利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來處理系統(tǒng)的不確定項及耦合項；將新的非線性濾波器與反步法相結(jié)合來設(shè)計控制協(xié)議，最后通過一致性分析和仿真例子來驗證所提出的控制協(xié)議的有效性。

1 問題描述及預(yù)備知識

1.1 圖 論

有向圖G={V,E,A} 表示智能體之間的信息交換，其中，V={v1,v2,…,vN} 是節(jié)點集合，E?V×V是邊集。定義節(jié)點vi的鄰居節(jié)點的集合為Ni={vi∈V|(vi,vj)∈E}。A=[aij]∈RN×N是鄰接矩陣，其中aij≥0。 如果vj∈Ni， 則權(quán)值aij>0， 否則aij=0。 通常認(rèn)為智能體無法從自身獲得信息，即aii=0。 定義領(lǐng)導(dǎo)者的權(quán)值矩陣為B=diag{b1,b2,…,bN}， 若智能體i(i=1,2,…,N) 能從領(lǐng)導(dǎo)者獲得信息，則bi>0， 否則bi=0。 通常假定至少存在一個跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者有信息交流，即有b1+b2+…+bN>0。

1.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其逼近

f(Z)=WTΦ(Z)+ε(Z), ?Z∈ΩZ

(1)

引理1[24]假設(shè)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基函數(shù)向量為Φ(Zb)=[φ1(Zb),φ2(Zb),…,φl(Zb)]T，Zb=[z1,z2,…,zb]T， 為其輸入向量，則對任意的正整數(shù)a≤b， 有

(2)

1.3 系統(tǒng)描述

考慮一類由標(biāo)記為0的領(lǐng)導(dǎo)者和分別標(biāo)記為1,2,…,N的跟隨者組成的多智能體系統(tǒng)，第i(i=1,2,…,N) 個跟隨者的動態(tài)系統(tǒng)描述如下

(3)

領(lǐng)導(dǎo)者的動態(tài)系統(tǒng)描述如下

(4)

其中，x0∈R表示領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)，y0∈R表示領(lǐng)導(dǎo)者的輸出，且f(x0,t) 為連續(xù)有界函數(shù)。

注1：非線性系統(tǒng)(3)同時具有非仿射及非下三角的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，可用來描述許多的實際系統(tǒng)，如船舶操縱系統(tǒng)、單桿機(jī)械臂及化工過程等。

本文的控制目標(biāo)是設(shè)計分布式自適應(yīng)控制協(xié)議ui，使得在有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湎碌亩嘀悄荏w系統(tǒng)中，各跟隨者(3)的輸出能與領(lǐng)導(dǎo)者(4)的輸出同步,并且能夠保證同步誤差在零點的小鄰域內(nèi)。

為了實現(xiàn)以上控制目標(biāo)，引入下列定義、假設(shè)和引理：

假設(shè)1[24]：有向圖G包含一個領(lǐng)導(dǎo)者作為根節(jié)點的生成樹。另外，第i個跟隨者只能獲得與其相鄰的智能體的狀態(tài)信息。

根據(jù)文獻(xiàn)[24]，假設(shè)1表明通過設(shè)計適當(dāng)?shù)姆植际娇刂茀f(xié)議，第i(i=1,2,…,N) 個跟隨者的輸出yi可以實現(xiàn)與領(lǐng)導(dǎo)者的輸出y0同步。

引理2[25]對于有向圖G及領(lǐng)導(dǎo)者的鄰接矩陣B，如果存在任意一個bi>0，那么L+B為非奇異矩陣。

引理3[25]對于有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)銰的多智能體系統(tǒng)，令z1=[z1,1,z2,1,…,zN,1]T，y=[y1,y2,…,yN]T和y0=[y0,y0,…,y0]T， 則有下式成立

(5)

其中，同步誤差zi,1,i=1,2,…,N將在下文給出，且σmin(L+B) 為矩陣L+B的最小奇異值。

定義2[20]如果N(ζ)∶R→R是一個可微函數(shù)且具有如下特性，則稱其為Nussbaum函數(shù)

(6)

(7)

引理4[26]假設(shè)V(t) 和i(t)(i=1,2,…,N) 是定義在 [0,tf) 上的光滑函數(shù)，且對于任意t∈[0,tf)， 都有V(t)≥0。 取Nussbaum函數(shù)為若有下列不等式成立

(8)

2 控制協(xié)議設(shè)計及一致性分析

本節(jié)將針對由式(3)和式(4)組成的多智能體系統(tǒng)，采用反步法與改進(jìn)的動態(tài)面結(jié)合的方法，給出分布式自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制協(xié)議的設(shè)計及閉環(huán)系統(tǒng)的一致性分析。

2.1 自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制協(xié)議設(shè)計

首先，定義同步誤差zi,1

(9)

其中，aij和bi分別為鄰接矩陣A與B中的元素。

對于第m(1≤m≤ni-1) 步，定義誤差變量

zi,m+1=xi,m+1-si,m,ei,m=si,m-αi,m

(10)

其中，αi,m是待設(shè)計的虛擬控制函數(shù)，并將αi,m通過非線性濾波后可得到si,m。 類似于文獻(xiàn)[19]，非線性濾波器設(shè)計為

(11)

(12)

其中，βi,m和λi,m均為正的調(diào)整參數(shù)。

步驟1 根據(jù)式(9)，對其求導(dǎo)，可得

(13)

(14)

由引理1和引理5可得

(15)

構(gòu)造虛擬控制函數(shù)αi,1為

(16)

(17)

(18)

步驟m(2≤m≤ni-1) 根據(jù)式(3)和式(10)～式(11)可得

(19)

及當(dāng)3≤m≤ni-1時

(20)

(21)

類似于式(15)，容易得到

(22)

構(gòu)造虛擬控制函數(shù)為

(23)

并選取自適應(yīng)率為

(24)

(25)

(26)

由式(26),關(guān)于zi,ni的動態(tài)系統(tǒng)可描述為

(27)

(28)

(29)

此時，實際控制協(xié)議可設(shè)計為

(30)

(31)

(32)

其中，pi,ni和ηi,ni皆為正的設(shè)計參數(shù)。

則由式(26)～式(32)可得

(33)

2.2 一致性分析

根據(jù)式(9)～式(11)，可得邊界層誤差ei,m(m=1,2,…,ni-1) 的動態(tài)系統(tǒng)為

(34)

則在待定的緊集Ω上，對于m=1,2,…,ni-1， 一定存在正常數(shù)Mi,m， 使 |Bi,m|≤Mi,m成立。因此可得如下不等式

(35)

(36)

(37)

(38)

由式(38),并采用文獻(xiàn)[26]中類似的方法可得

(39)

根據(jù)引理4及式(39)可知，V(t) 有界，即存在正常數(shù)P0，使得V(t)≤P0， ?t≥0。 并根據(jù)V(t) 的定義可得

(40)

由引理3和式(40)可得，跟蹤誤差滿足不等式

(41)

根據(jù)式(39)～式(41)可知，跟隨者(3)和領(lǐng)導(dǎo)者(4)之間的所有跟蹤誤差為合作半全局一致最終有界，且可通過選擇合適的設(shè)計參數(shù)使跟蹤誤差保持在零點的小鄰域內(nèi)。

基于以上的設(shè)計與分析，通過下面定理給出本文的主要結(jié)論。

注2：由式(39)～式(41)可以看出，跟蹤誤差的界在很大程度上取決于常數(shù)ψ和v的值的大小。為了獲得較小的跟蹤誤差，可以通過選擇合適的設(shè)計參數(shù)pi,m，ηi,m，μi,m，τi,m，βi,m，λi,m，ωi,m和κi,m使得ψ的值變大且v的值變小。

3 仿真例子

本節(jié)通過兩個仿真例子說明所提出控制方案的有效性及適用性。

例1：考慮由3個跟隨者和1個領(lǐng)導(dǎo)者組成的單桿機(jī)械臂系統(tǒng)[18]。圖1描述了各智能體之間的信息傳遞。選取領(lǐng)導(dǎo)者的動態(tài)方程為

(42)

跟隨者的動態(tài)方程可描述為

(43)

(44)

例1中各智能體之間的信息傳遞如圖1所示。

圖1 例1中跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者之間信息傳遞拓?fù)?/p>

在仿真過程中，設(shè)計參數(shù)可取為η1,1=17，μ1,1=0.01，ω1,1=0.5，p1,1=10，τ1,1=0.035，κ1,1=0.04，β1,1=0.01，λ1,1=74；η1,2=13，μ1,2=0.02，ω1,2=0.05，p1,2=25，τ1,2=0.01，κ1,2=0.04，β1,2=0.01，λ1,2=68，η1,3=16，μ1,3=0.7，ω1,3=0.07，p1,3=20；η2,1=17，μ2,1=0.6，ω2,1=0.7，p2,1=15，τ2,1=0.035，κ2,1=0.04，β2,1=0.01，λ2,1=75；η2,2=15，μ2,2=0.7，ω2,2=0.05，p2,2=25，τ2,2=0.01，κ2,2=0.04，β2,2=0.01，λ2,2=68，η2,3=16，μ2,3=0.5，ω2,3=0.07，p2,3=20；η3,1=15，μ3,1=0.6，ω3,1=0.05，p3,1=16，τ3,1=0.035，κ3,1=0.04，β3,1=0.01，λ3,1=75；η3,2=20，μ3,2=0.8，ω3,2=0.05，p3,2=10，τ3,2=0.01，κ3,2=0.04，β3,2=0.01，λ3,2=70，η3,3=16，μ3,3=0.7，ω3,3=0.5和p3,3=20。

根據(jù)系統(tǒng)(42)～系統(tǒng)(44)和上述參數(shù)來設(shè)計仿真，其結(jié)果如圖2～圖4所示。

圖2 例1中跟隨者輸出yi(i=1,2,3) 與領(lǐng)導(dǎo)者輸出y0

圖3 例1中跟隨者的控制輸入ui(i=1,2,3)

圖4 例1中改進(jìn)動態(tài)面控制(MDSC)與傳統(tǒng)動態(tài)面控制(CDSC)的跟蹤誤差E(t)

根據(jù)圖2可看出，所設(shè)計的控制策略可以使3個跟隨者較好地跟蹤領(lǐng)導(dǎo)者的輸出，即跟隨者的輸出曲線能夠較好地跟蹤領(lǐng)導(dǎo)者的輸出曲線的變化而變化，且根據(jù)圖像可看出，其跟蹤誤差可以維持在較小的范圍內(nèi)。圖3則為各個跟隨者的控制輸入信號的曲線圖。

例1中跟隨者輸出yi(i=1,2,3) 與領(lǐng)導(dǎo)者輸出y0的同步性能如圖2所示。

例1中各跟隨者的控制輸入信號ui(i=1,2,3) 如圖3所示。

例1中改進(jìn)動態(tài)面控制法(MDSC)與傳統(tǒng)動態(tài)面控制法(CDSC)的一致性跟蹤誤差的對比如圖4所示。

例2：考慮一個具有3個跟隨者 (i=1,2,3) 和1個領(lǐng)導(dǎo)者(標(biāo)為0)的非線性多智能體系統(tǒng)，其中，第1，2個跟隨者為二階非線性系統(tǒng)，其動態(tài)方程為

(45)

第3個跟隨者為三階非線性系統(tǒng)，其動態(tài)方程為

(46)

領(lǐng)導(dǎo)者的動態(tài)方程為

(47)

例2中各智能體之間信息傳遞如圖5所示。

圖5 例2中跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者之間信息傳遞拓?fù)?/p>

設(shè)計參數(shù)選取為η1,1=17，μ1,1=0.03，ω1,1=0.1，p1,1=10，τ1,1=0.01，κ1,1=0.04，β1,1=0.01，λ1,1=70；η1,2=1.3，μ1,2=0.02，ω1,2=0.07，p1,2=5；η2,1=15，μ2,1=0.2，ω2,1=0.5，p2,1=8，τ2,1=0.01，κ2,1=0.04，β2,1=0.01，λ2,1=75；η2,2=15，μ2,2=0.01，ω2,2=0.05，p2,2=15；η3,1=30，μ3,1=0.6，ω3,1=0.05，p3,1=16，τ3,1=0.01，κ3,1=0.04，β3,1=0.01，λ3,1=60；η3,2=1.6，μ3,2=0.8，ω3,2=0.5，p3,2=12，τ3,2=0.01，κ3,2=0.04，β3,2=0.01，λ3,2=68，η3,3=16，μ3,3=0.7，ω3,3=0.3和p3,3=5。

仿真結(jié)果如圖6～圖7所示。通過圖6可以看出，所提出的控制策略可以使跟隨者較好地跟蹤領(lǐng)導(dǎo)者的輸出。

圖6 例2中跟隨者輸出yi(i=1,2,3) 與領(lǐng)導(dǎo)者輸出y0

圖7 例2中跟隨者的控制輸入ui(i=1,2,3)

例2中跟隨者輸出yi(i=1,2,3) 與領(lǐng)導(dǎo)者輸出y0的同步性能如圖6所示。

例2中各跟隨者的控制輸入信號ui(i=1,2,3) 由圖7所示。

注3：由于系統(tǒng)(44)～系統(tǒng)(46)中考慮了非仿射及非下三角的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和未知控制方向的影響，使得已有的一些控制策略[16-18,24,26]并不適用于這些系統(tǒng)。然而以上仿真結(jié)果表明，本文所提出的分布式自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制協(xié)議能取得較好的輸出同步性能。

4 結(jié)束語

本文考慮了有向拓?fù)鋱D下具有未知控制方向的非仿射多智能體系統(tǒng)的輸出一致性問題。在設(shè)計控制策略的過程中，針對未知控制方向，引入了Nussbaum函數(shù)進(jìn)行處理，而RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其性質(zhì)用于處理非下三角形式的系統(tǒng)函數(shù)的不確定項及耦合項。同時，提出一種改進(jìn)的動態(tài)面控制法用于自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制協(xié)議的設(shè)計，以改善傳統(tǒng)動態(tài)面控制方法的性能。一致性分析和仿真實例都表明了所提出的控制協(xié)議有效，即跟隨者能夠較好地跟蹤領(lǐng)導(dǎo)者的輸出曲線。下一步的研究將考慮基于切換拓?fù)鋱D下非仿射多智能體系統(tǒng)的分布式自適應(yīng)控制問題。