優(yōu)化參數(shù)對(duì)CPM-PSWF信號(hào)性能的影響*

楊大偉，劉傳輝，康家方，劉錫國(guó)

(1.海軍航空大學(xué) 航空通信教研室，山東 煙臺(tái) 264001；2.中國(guó)人民解放軍91439部隊(duì)，遼寧 大連 116041)

0 引 言

連續(xù)相位調(diào)制(Continuous Phase Modulation,CPM)屬于數(shù)字相位調(diào)制技術(shù)，是1981年由Anderson和Aulin等人[1-2]在連續(xù)相位頻移鍵控(Continuous Phase Frequency Shift Keying,CPFSK)、最小頻移鍵控(Minimum Shift Keying,MSK)、正弦頻移鍵控(Sinusoidal Frequency Shift Keying,SFSK)、高斯最小頻移鍵控(Gaussian Minimum Shift Keying,GMSK)等調(diào)制方式基礎(chǔ)上系統(tǒng)闡述的一類調(diào)制方法。CPM信號(hào)不僅具有很高的頻帶利用率和功率效率，還可以很好地抵御非線性影響，在移動(dòng)通信、深空探測(cè)、遙感通信、衛(wèi)星通信等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[3-5]?，F(xiàn)有的CPM基帶調(diào)頻脈沖信號(hào)主要有矩形脈沖信號(hào)、升余弦脈沖信號(hào)、類高斯脈沖信號(hào)等，不同的基帶脈沖信號(hào)決定了CPM調(diào)制信號(hào)不同的頻譜性能[6]。

橢圓球面波函數(shù)(Prolate Spheroidal Wave Function,PSWF)是Bell實(shí)驗(yàn)室Slepian等人[7-8]于1961年定義的一類特殊函數(shù)集合，具有高時(shí)頻能量聚集性、時(shí)間帶寬積靈活可控性、完備正交性等優(yōu)良基礎(chǔ)特性，在雷達(dá)、衛(wèi)星通信、光學(xué)、超寬帶通信等領(lǐng)域都有所應(yīng)用。相同參數(shù)條件下，0階PSWF信號(hào)又是PSWF信號(hào)集中最佳時(shí)頻能量聚集性信號(hào)[9]。目前，對(duì)CPM技術(shù)研究的相關(guān)文獻(xiàn)大多以CPM相關(guān)聯(lián)技術(shù)及其改進(jìn)算法為主，從基帶波形信號(hào)設(shè)計(jì)方面對(duì)CPM進(jìn)行研究的相關(guān)文獻(xiàn)并不多，那么相對(duì)于CPM常用基帶調(diào)頻脈沖信號(hào)，如果將具有優(yōu)良基礎(chǔ)特性的PSWF信號(hào)作為CPM基帶信號(hào)，引入CPM調(diào)制，有望進(jìn)一步提高現(xiàn)有CPM調(diào)制信號(hào)的能量聚集性和頻帶利用率。

本文將PSWF信號(hào)作為CPM的基帶調(diào)頻脈沖信號(hào)，結(jié)合CPM原理，提出了基于橢圓球面波信號(hào)的連續(xù)相位調(diào)制(CPM Based on PSWF,CPM-PSWF)方法，給出了CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)產(chǎn)生原理。另一方面，由于PSWF的時(shí)間帶寬積、階數(shù)、調(diào)制指數(shù)、關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度等調(diào)制參數(shù)又進(jìn)一步影響著CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)的功率譜密度、信號(hào)占用帶寬等性能，所以，研究不同參數(shù)變化對(duì)CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)性能影響，為CPM-PSWF信號(hào)在不同場(chǎng)景應(yīng)用中的參數(shù)選擇提供參考依據(jù)，同時(shí)這也對(duì)提高CPM調(diào)制信號(hào)性能具有重要的借鑒意義。

1 CPM-PSWF信號(hào)描述

CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)產(chǎn)生原理框圖如圖1所示。首先，將PSWF信號(hào)作為CPM基帶調(diào)頻脈沖信號(hào)即ψ(c,t)，對(duì)ψ(c,t)積分并波形歸一化處理后，得到相位成形脈沖函數(shù)q(t)；其次，計(jì)算q(t)與調(diào)制指數(shù)等參數(shù)的乘積，將信息符號(hào)序列ai加載到相位信息上，得到載波時(shí)變相位φ(t,a)；最后，將φ(t,a)經(jīng)過載波調(diào)制變?yōu)閹ㄐ盘?hào)，得到相位連續(xù)且包絡(luò)恒定的CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)s(t)。

圖1 CPM-PSWF信號(hào)調(diào)制原理框圖

CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)s(t)表達(dá)式為

(1)

式中：E為碼元符號(hào)信號(hào)能量；T為碼元時(shí)間間隔；ωc為載波角頻率，且ωc=2πfc，fc為載波中心頻率；φ0為載波初始相位；φ(t,a)為載波的時(shí)變相位，也是信息承載項(xiàng)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(2)

式中：h為調(diào)制指數(shù)；ai為發(fā)送的碼元信息符號(hào)序列，單個(gè)碼元有M種取值，分別為±1,±3,…,±(M-1)，i=0,±1,±2,…；q(t)為CPM信號(hào)相位成形脈沖函數(shù)，其表達(dá)式為

(3)

式中：ψ(c,t)表示橢圓球面波信號(hào)，其積分方程表達(dá)式為

(4)

式中：ψ(c,t)是帶限于[-Ω,Ω]又在時(shí)域區(qū)間[0，LT]上集中分布的橢圓球面波函數(shù)，c=LTΩ是其時(shí)間帶寬積;λ是對(duì)應(yīng)于ψ(c,t)的特征值;L為信號(hào)關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度，L=1為全響應(yīng)CPM-PSWF信號(hào)，L>1為部分響應(yīng)CPM-PSWF信號(hào)。

符號(hào)能量E和比特能量Eb的關(guān)系如下：

E=EblbM。

(5)

同符號(hào)能量和比特能量關(guān)系，類似的符號(hào)周期T與比特周期Tb關(guān)系如下：

T=TblbM。

(6)

由以上CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)產(chǎn)生表達(dá)式可知，CPM-PSWF信號(hào)的頻譜性能與發(fā)送信息進(jìn)制數(shù)M、信息傳輸速率R(1/T)、調(diào)制指數(shù)h、關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度L、時(shí)間帶寬積c等參數(shù)有關(guān)，分析這些參數(shù)對(duì)CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)性能的影響，可以為CPM-PSWF信號(hào)將來在不同場(chǎng)景應(yīng)用，選擇滿足條件的調(diào)制參數(shù)提供參考依據(jù)。

2 CPM-PSWF譜密度計(jì)算

根據(jù)維納辛欽定理，隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度(Power Spectral Density,PSD)是傅里葉變換對(duì)，通?？梢酝ㄟ^對(duì)自相關(guān)函數(shù)求傅里葉變換得到隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度，采用最易實(shí)現(xiàn)的數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)功率譜密度,步驟如下：

Step1 計(jì)算CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)等效低通信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)R(τ)：

R(τ)=R(τ′+mT)

(7)

式中：τ=τ′+mT，0≤τ′

Step2 計(jì)算常數(shù)Cα：

(8)

Step3 計(jì)算CPM-PSWF信號(hào)的功率譜密度：

(9)

式中：第一項(xiàng)是τ在0～LT范圍內(nèi)R(τ)的傅里葉變換,第二項(xiàng)是τ在LT～(L+1)T范圍內(nèi)R(τ)的傅里葉變換。

由于橢圓球面波函數(shù)沒有閉式解析解，而且像MSK、SFSK、GMSK等調(diào)制信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度計(jì)算過程往往也十分復(fù)雜，所以需要在理論分析的基礎(chǔ)上結(jié)合計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真來驗(yàn)證CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)的頻譜性能。為了更加清晰直觀地分析不同參數(shù)對(duì)CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)功率譜密度的影響，本文采用韋爾奇(Welch)譜密度估計(jì)法對(duì)調(diào)制信號(hào)的功率譜密度進(jìn)行估計(jì)。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

由CPM-PSWF信號(hào)表達(dá)式可知，其調(diào)制信號(hào)功率譜密度特性取決于PSWF信號(hào)的時(shí)間帶寬積c、PSWF信號(hào)階數(shù)、調(diào)制指數(shù)h、關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度L、碼元速率R、進(jìn)制數(shù)M等參數(shù)，當(dāng)這些參數(shù)變化時(shí)，調(diào)制信號(hào)帶寬及其頻譜帶外衰減也會(huì)隨之發(fā)生變化。本節(jié)在Matlab2016a仿真環(huán)境下，通過數(shù)值計(jì)算的方法，在給定相同參數(shù)條件下，改變CPM-PSWF信號(hào)某一調(diào)制參數(shù)值(如在PSWF信號(hào)階數(shù)、調(diào)制指數(shù)h、關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度L、碼元速率R、進(jìn)制數(shù)M等參數(shù)都相同條件下，只改變PSWF的時(shí)間帶寬積c)，分析其對(duì)CPM-PSWF信號(hào)的影響。按照該方法，依次改變PSWF信號(hào)階數(shù)、調(diào)制指數(shù)h、關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度L、碼元速率R、進(jìn)制數(shù)M，分別分析每個(gè)參數(shù)對(duì)CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)頻譜特性的影響。由于帶通信號(hào)的功率譜密度是其等效低通信號(hào)的時(shí)移形式，因此采用基帶信號(hào)處理方式，利用Welch功率譜密度估計(jì)后，可以進(jìn)一步通過數(shù)字積分得到帶外功率占比與調(diào)制信號(hào)占用帶寬之間的關(guān)系，其中，PSWF信號(hào)由DPSS[10]方式產(chǎn)生。具體參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

3.1 CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)性能

圖2是CPM-PSWF信號(hào)與MSK、SFSK調(diào)制信號(hào)的功率譜特性對(duì)比圖，MSK是基帶調(diào)頻脈沖為矩形脈沖的CPM調(diào)制方式，SFSK是基帶調(diào)頻脈沖為升余弦脈沖的CPM調(diào)制方式。相同調(diào)制參數(shù)條件下，由圖2可知，當(dāng)PSWF信號(hào)的時(shí)間帶寬積為2 Hz·s時(shí)，CPM-PSWF信號(hào)的功率譜密度帶外衰減更快。

圖2 CPM-PSWF與MSK、SFSK信號(hào)的PSD

表2是不同調(diào)制方式在不同功率百分比情況下占用的歸一化帶寬值。由表2可知，CPM-PSWF信號(hào)與MSK、SFSK調(diào)制信號(hào)相比，在包含信號(hào)99.9%功率帶寬條件下，可分別提升系統(tǒng)頻帶利用率約13%(即(2.84-2.47)/2.84)和16%(即(2.94-2.47)/2.94)。

表2 給定功率百分比不同調(diào)制方式占用帶寬

圖3是部分響應(yīng)條件下，關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度L為3時(shí)，CPM-PSWF信號(hào)與GMSK調(diào)制信號(hào)的功率譜密度。當(dāng)高斯脈沖的時(shí)間帶寬積BT典型值為0.3(GSM信號(hào)參數(shù))、0.5時(shí)的GMSK調(diào)制信號(hào)，分別與PSWF時(shí)間帶寬積為2 Hz·s、4 Hz·s的CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)相比，CPM-PSWF信號(hào)功率譜的高頻滾降和帶外衰減較快，而且功率譜主瓣帶寬也均小于GMSK。

圖3 CPM-PSWF與GMSK信號(hào)PSD

由表3可知，在部分響應(yīng)條件下，通過設(shè)置PSWF的時(shí)間帶寬積參數(shù)，在相同功率百分比條件下，CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)占用帶寬也可以小于典型值GMSK信號(hào)。尤其是當(dāng)PSWF的時(shí)間帶寬積c為2 Hz·s時(shí)，CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)頻譜性能(帶外衰減、高頻滾降、占用帶寬)相對(duì)較好。

表3 給定功率百分比不同調(diào)制方式占用帶寬(L=3)

下面分析算法復(fù)雜度。如表1所示，單個(gè)碼元周期內(nèi)信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)為N，信號(hào)持續(xù)時(shí)間為nT，假定余弦函數(shù)的計(jì)算量為4倍乘法運(yùn)算量，正弦基(sinc)函數(shù)的計(jì)算量為6倍乘法運(yùn)算量，而正態(tài)分布函數(shù)Q(·)涉及指數(shù)冪的積分運(yùn)算，為了便于比較，將Q(·)的計(jì)算量等價(jià)為10次乘法與10次加法運(yùn)算量，產(chǎn)生一個(gè)N行N列矩陣，相當(dāng)于N2的運(yùn)算量。那么，結(jié)合矩形脈沖、升余弦脈沖、(類)高斯脈沖和PSWF信號(hào)的產(chǎn)生、積分、歸一化處理、信息加載、載波相位調(diào)制等過程，分別得到MSK、SFSK、GMSK、CPM-PSWF信號(hào)產(chǎn)生的算法復(fù)雜度。

以CPM-PSWF信號(hào)產(chǎn)生過程為例，首先，對(duì)PSWF信號(hào)的帶寬與時(shí)間乘積求sinc函數(shù)值，該步驟乘法運(yùn)算量為O(6N)；然后，生成sinc函數(shù)值的托普利茲矩陣，并計(jì)算其特征值，取其中第1列數(shù)據(jù)獲得0階PSWF信號(hào)，乘法運(yùn)算量為N×N近似為O(N2)；其次，對(duì)PSWF信號(hào)積分(乘法運(yùn)算量為O(1)、加法運(yùn)算量為O(N))、歸一化處理(乘法運(yùn)算量為O(2N))、信息加載(乘法運(yùn)算量為O(nN))、載波相位調(diào)制(乘法運(yùn)算量為O(4nN))，所以CPM-PSWF信號(hào)產(chǎn)生的乘法運(yùn)算復(fù)雜度為O(6N+N2+1+2N+nN+4nN)，合并并保留高階項(xiàng)得O(N2+5nN)，其加法運(yùn)算復(fù)雜度為O(N)。MSK、SFSK、GMSK等CPM調(diào)制信號(hào)產(chǎn)生過程，只是基帶信號(hào)不同，因此與CPM-PSWF信號(hào)產(chǎn)生運(yùn)算復(fù)雜度計(jì)算過程相似，可以得到其他調(diào)制信號(hào)的算法復(fù)雜度。因?yàn)椴煌{(diào)制信號(hào)加法復(fù)雜度運(yùn)算量基本相當(dāng)，而乘法運(yùn)算復(fù)雜度要遠(yuǎn)高于加法運(yùn)算，故以乘法運(yùn)算復(fù)雜度為度量標(biāo)準(zhǔn)。不同調(diào)制方式信號(hào)產(chǎn)生算法復(fù)雜度如表4所示。

表4 不同調(diào)制信號(hào)產(chǎn)生算法復(fù)雜度

由表4可知，調(diào)制信號(hào)產(chǎn)生算法復(fù)雜度由低到高依次為MSK、SFSK、GMSK、CPM-PSWF，CPM-PSWF信號(hào)的運(yùn)算復(fù)雜度主要在于PSWF信號(hào)的數(shù)值產(chǎn)生過程。雖然CPM-PSWF信號(hào)產(chǎn)生復(fù)雜度相對(duì)較高，但是，一方面利用PSWF信號(hào)的高時(shí)頻能量聚集性、時(shí)間帶寬積靈活可控性可以獲得頻帶利用率較高的CPM信號(hào)，另一方面現(xiàn)代數(shù)字電路技術(shù)的發(fā)展程度也有利于快速實(shí)現(xiàn)PSWF信號(hào)的產(chǎn)生。

3.2 PSWF時(shí)間帶寬積

PSWF的時(shí)間帶寬積c作為其CPM-PSWF信號(hào)的重要參數(shù)，通過影響CPM基帶調(diào)頻信號(hào)ψ(c,t)從而影響著CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)的頻譜性能。選取CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)參數(shù)為進(jìn)制數(shù)M=2，調(diào)制指數(shù)h=0.5，PSWF信號(hào)的關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度L=1(全響應(yīng))，比特傳輸速率為50 b/s，仿真得到的功率譜密度及相對(duì)帶外功率歸一化帶寬占比關(guān)系如圖4所示。

(a)功率譜密度

(b)功率百分?jǐn)?shù)占用帶寬圖4 不同時(shí)間帶寬積CPM-PSWF信號(hào)PSD與功率百分?jǐn)?shù)占用帶寬

由圖4可知，當(dāng)PSWF的時(shí)間帶寬積分別為2 Hz·s、4 Hz·s、8 Hz·s時(shí)，CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)的歸一化雙邊帶寬(占總功率99.9%信號(hào)帶寬)分別為2.43、2.87、4.28。隨著PSWF的時(shí)間帶寬積變大，CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)的占用帶寬也隨著增大，也就是說改變時(shí)間帶寬積會(huì)影響調(diào)制信號(hào)帶寬。PSWF的時(shí)間帶寬積越小，調(diào)制信號(hào)功率譜密度特性第一旁瓣越低，帶外衰減越快。

圖5給出了不同時(shí)間帶寬積條件下CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)在給定功率百分比(90%、99%、99.9%)下占用帶寬曲線。隨著PSWF時(shí)間帶寬積c的增加，CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)在相同功率占比情況下，占用帶寬越寬；時(shí)間帶寬積c越小，占用帶寬越??；隨著PSWF時(shí)間帶寬積c增大，CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)的頻譜旁瓣衰減減慢，-40 dB以上高頻滾降越慢。所以，PSWF時(shí)間帶寬積越小，CPM-PSWF信號(hào)頻譜性能越好。這些特性也與PSWF信號(hào)的基礎(chǔ)特性相關(guān)，且與PSWF信號(hào)在時(shí)寬一定時(shí)，隨著時(shí)間帶寬積增大，相應(yīng)的調(diào)制信號(hào)帶寬增加是一致的。

圖5 時(shí)間帶寬積與CPM-PSWF信號(hào)功率占用帶寬關(guān)系

3.3 PSWF階數(shù)

在相同時(shí)間帶寬積、同一頻段下，可以產(chǎn)生多階PSWF信號(hào)，這是PSWF與矩形脈沖、升余弦脈沖、高斯脈沖相比所具有的獨(dú)特性質(zhì)。下面分析對(duì)比不同階PSWF信號(hào)對(duì)CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)頻譜性能的影響。

圖6和圖7是當(dāng)PSWF信號(hào)的時(shí)間帶寬積分別為2 Hz·s、4 Hz·s時(shí)產(chǎn)生的0階PSWF信號(hào)、1階PSWF信號(hào)、2階PSWF信號(hào)，分別作為CPM基帶調(diào)頻脈沖得到的CPM-PSWF功率譜密度和不同帶寬條件下占用的功率百分?jǐn)?shù)。由圖可知，基于0階PSWF信號(hào)得到的調(diào)制信號(hào)頻譜，不論是占用帶寬還是帶外衰減、頻譜滾將性能都要優(yōu)于1階PSWF和2階PSWF，且基于2階PSWF的CPM調(diào)制信號(hào)頻譜帶外衰減速度要比1階PSWF快，且隨著時(shí)間帶寬積的增加，基于2階PSWF的CPM頻譜性能要更快速接近于0階PSWF，這與偶數(shù)階PSWF信號(hào)波形偶對(duì)稱、其積分信號(hào)對(duì)CPM相位路徑影響有關(guān)。當(dāng)PSWF時(shí)間帶寬積為2 Hz·s時(shí)，占總功率90%的信號(hào)功率歸一化雙邊帶寬分別為0.84(0階)、2.92(1階)、2.74(2階)，且在帶寬大于2.50時(shí)，基于2階PSWF的CPM調(diào)制信號(hào)在相同帶寬條件下，其功率百分?jǐn)?shù)越高；當(dāng)PSWF時(shí)間帶寬積為4 Hz·s時(shí)，占總功率90%的信號(hào)功率歸一化雙邊帶寬分別為0.92(0階)、3.14(1階)、1.56(2階)，隨著時(shí)間帶寬積的增大，PSWF的1階、2階信號(hào)能量聚集度變高，基于2階PSWF的CPM調(diào)制信號(hào)占用帶寬也相對(duì)越小。

(a)功率譜密度

(b)功率百分?jǐn)?shù)帶寬圖6 c=2 Hz·s不同階數(shù)CPM-PSWF信號(hào)PSD與功率百分?jǐn)?shù)占用帶寬

(a)功率譜密度

(b)功率百分?jǐn)?shù)帶寬圖7 c=4 Hz·s不同階數(shù)CPM-PSWF信號(hào)PSD與功率百分?jǐn)?shù)占用帶寬

由以上分析可知，0階PSWF是相同條件下一組PSWF中時(shí)頻能量聚集性最佳信號(hào)，同樣適用于CPM調(diào)制信號(hào)中，雖然隨著PSWF階數(shù)的增加，PSWF信號(hào)本身能量聚集性也會(huì)隨之有所下降，但是偶數(shù)階PSWF信號(hào)要比奇數(shù)階PSWF更適合作為CPM基帶調(diào)頻脈沖信號(hào)，這也與PSWF信號(hào)不同階信號(hào)產(chǎn)生求解方法本身有關(guān)。

3.4 調(diào)制指數(shù)

調(diào)制指數(shù)h是影響CPM調(diào)制信號(hào)頻譜性能的重要參數(shù)，通常分為恒定指數(shù)和多指數(shù)兩種，而多指數(shù)h條件下的CPM信號(hào)分析復(fù)雜。這里以恒定指數(shù)作為分析基礎(chǔ)條件，對(duì)CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)性能影響進(jìn)行分析。選取CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)參數(shù)為進(jìn)制數(shù)M=2，PSWF信號(hào)的時(shí)間帶寬積c=2 Hz·s，信號(hào)的關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度L=1(全響應(yīng))，傳輸符號(hào)速率為50 b/s,仿真得到的功率譜密度及相對(duì)帶外功率歸一化帶寬占比關(guān)系如圖8所示。

(a)功率譜密度

(b)功率百分?jǐn)?shù)帶寬圖8 不同調(diào)制指數(shù)CPM-PSWF信號(hào)PSD與功率百分?jǐn)?shù)占用帶寬

由圖8可知，調(diào)制指數(shù)h分別為0.5、0.6、0.7時(shí)，CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)的含99.9%的功率歸一化帶寬分別為2.43、2.64、2.81。隨著調(diào)制指數(shù)h的增大，CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)占用帶寬也隨之增大；h越小，信號(hào)占用帶寬越窄，帶寬利用率越高，調(diào)制信號(hào)功率譜密度第一旁瓣越低，但當(dāng)h減小時(shí)會(huì)影響接收端的解調(diào)性能。

3.5 關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度

關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度L的選擇主要存在CPM部分響應(yīng)情況(L>1)時(shí)，不同關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度對(duì)CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)的功率譜帶外衰減和帶寬會(huì)產(chǎn)生影響。選取CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)參數(shù)為進(jìn)制數(shù)M=2，PSWF信號(hào)的時(shí)間帶寬積c=2 Hz·s，調(diào)制指數(shù)h=0.5，比特傳輸速率為50 b/s,仿真得到的功率譜密度及相對(duì)帶外功率歸一化帶寬占比關(guān)系如圖9所示。

(a)功率譜密度

(b)功率百分?jǐn)?shù)帶寬圖9 不同關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度CPM-PSWF信號(hào)PSD與功率百分?jǐn)?shù)占用帶寬

由圖9可知，當(dāng)基帶調(diào)頻PSWF信號(hào)關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度分別選為L(zhǎng)=1(全響應(yīng))、L=3(部分響應(yīng))、L=5(部分響應(yīng))時(shí)，CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)占99.9%功率歸一化帶寬大小分別為2.43、1.16、0.94。隨著關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度L的增大，“相關(guān)編碼”效果越明顯，CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)頻譜主瓣寬度越小，帶外輻射更小?？梢栽龃箨P(guān)聯(lián)長(zhǎng)度L來減小信號(hào)占用帶寬，但是L的增大一方面會(huì)用信噪比作為代價(jià)來換取較好的頻譜特性，另一方面也會(huì)增加接收端解調(diào)的復(fù)雜度。

3.6 進(jìn)制數(shù)

選取CPM-PSWF信號(hào)的調(diào)制參數(shù)為PSWF的時(shí)間帶寬積c=2 Hz·s，調(diào)制指數(shù)h=0.5，基帶調(diào)頻脈沖PSWF信號(hào)關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度L=1(全響應(yīng)條件)，比特傳輸速率為50 b/s，分別取進(jìn)制數(shù)M為2、4、8，數(shù)值計(jì)算得到功率譜密度和不同功率百分?jǐn)?shù)占用歸一化帶寬曲線如圖10所示。

(a)功率譜密度

(b)功率百分?jǐn)?shù)帶寬圖10 不同進(jìn)制數(shù)CPM-PSWF信號(hào)PSD與功率百分?jǐn)?shù)占用帶寬

由圖10可知，當(dāng)選取進(jìn)制數(shù)M分別為2、4、8時(shí)，CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)的占總功率99.9%功率歸一化雙邊帶寬分別為2.43、3.82、6.86。隨著進(jìn)制數(shù)M的增大，功率譜密度的帶外輻射減小，但是占用帶寬增加。對(duì)帶外功率抑制要求較高時(shí)，可以考慮增加進(jìn)制數(shù)，但是M的增大會(huì)增加接收端檢測(cè)的復(fù)雜度。

3.7 碼元速率

選取CPM-PSWF信號(hào)的調(diào)制參數(shù)為PSWF的時(shí)間帶寬積c=2 Hz·s，調(diào)制指數(shù)h=0.5，基帶調(diào)頻脈沖PSWF信號(hào)關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度L=1(全響應(yīng)條件)，比特傳輸速率為8 kb/s、16 kb/s、32 kb/s，進(jìn)制數(shù)M=2，數(shù)值計(jì)算得到功率譜密度和不同功率百分?jǐn)?shù)占用帶寬如圖11所示。

(a)功率譜密度

(b)功率百分?jǐn)?shù)帶寬圖11 不同碼元速率CPM-PSWF信號(hào)PSD與功率百分?jǐn)?shù)占用帶寬

由圖11可知，當(dāng)碼元傳輸速率分別為8 kb/s、16 kb/s、32 kb/s時(shí)，CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)占總功率99.9%雙邊帶寬分別為19.92 kHz、39.84 kHz、79.64 kHz。從數(shù)值分析可得，碼元速率以相應(yīng)倍數(shù)增加，其調(diào)制信號(hào)帶寬近乎以相同倍數(shù)增加，但其功率譜密度呈現(xiàn)帶外衰減減慢的趨勢(shì)。也就是說，碼元速率的改變會(huì)影響CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)占用帶寬大小，但對(duì)系統(tǒng)頻帶利用率不產(chǎn)生影響。

綜上所述，不同參數(shù)對(duì)CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)頻譜的性能影響不同，當(dāng)數(shù)據(jù)傳輸速率一定時(shí)，選用0階PSWF作為CPM-PSWF信號(hào)的基帶調(diào)頻脈沖，通過減小PSWF的時(shí)間帶寬積c、調(diào)制指數(shù)h、進(jìn)制數(shù)M，增加關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度L，可以獲得更好的CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)頻譜性能和頻帶利用率。PSWF的時(shí)間帶寬積c越小，CPM-PSWF信號(hào)功率譜密度帶外衰減越快；調(diào)制指數(shù)h越小，關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度L越大，CPM-PSWF信號(hào)占用帶寬越??；進(jìn)制數(shù)M越小，CPM-PSWF信號(hào)的復(fù)雜度就越低。但是調(diào)制指數(shù)h的減小會(huì)影響CPM-PSWF系統(tǒng)接收端的解調(diào)性能，而且隨著關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度L的變大，會(huì)增加接收端解調(diào)的復(fù)雜度。所以，PSWF信號(hào)在實(shí)際工程應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)不同場(chǎng)景應(yīng)用需求和指標(biāo)綜合考量、選擇調(diào)制參數(shù)。

4 結(jié)束語

本文給出了一種基于橢圓球面波信號(hào)的連續(xù)相位調(diào)制方法，分析了優(yōu)化調(diào)制參數(shù)對(duì)CPM-PSWF調(diào)制信號(hào)性能的影響。在相同參數(shù)條件下，以具有最佳時(shí)頻能量聚集性的0階PSWF作為CPM-PSWF的基帶調(diào)頻脈沖，調(diào)制信號(hào)頻譜帶外衰減快，占用帶寬??；PSWF的時(shí)間帶寬積和調(diào)制指數(shù)越小、關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度越長(zhǎng)，調(diào)制信號(hào)頻譜性能越好，這也為下一步研究基于PSWF的最優(yōu)CPM調(diào)制解調(diào)方法提供了參考依據(jù)。在選取最優(yōu)參數(shù)時(shí)，還應(yīng)兼顧系統(tǒng)帶寬、功率譜和系統(tǒng)誤碼性能、調(diào)制解調(diào)實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度等因素權(quán)衡考慮，以滿足實(shí)際不同應(yīng)用場(chǎng)景需求，為CPM-PSWF信號(hào)推向?qū)嶋H應(yīng)用提供參考。