S-T線性耦合級(jí)聯(lián)混沌擴(kuò)頻碼及其性能分析*

趙 雷，保利勇，丁洪偉

(云南大學(xué) 信息學(xué)院，昆明 650500)

0 引 言

擴(kuò)頻技術(shù)由于其寬頻帶特性帶來了極高的安全性，被譽(yù)為三大高技術(shù)通信傳輸方式之一[1]。擴(kuò)頻通信技術(shù)由于其信號(hào)隱蔽性好、抗干擾能力強(qiáng)、可以實(shí)現(xiàn)碼分多址等優(yōu)點(diǎn)，最初被用于軍用通信系統(tǒng)[2]，而后，由于其技術(shù)設(shè)備高度集成易于維護(hù)，同時(shí)適用于數(shù)字信號(hào)和模擬信號(hào)的傳輸，也逐漸被用于商用通信系統(tǒng)。大量的研究和實(shí)踐表明，擴(kuò)頻通信是復(fù)雜干擾環(huán)境下最有效的通信手段。

混沌數(shù)字序列具有良好的偽隨機(jī)特性，近年來大量的學(xué)者和專家對(duì)混沌擴(kuò)頻碼進(jìn)行了深入研究。文獻(xiàn)[3]提出了利用Tent映射生成混沌擴(kuò)頻序列。文獻(xiàn)[4]在Tent映射中加入了擾動(dòng)，克服了映射的周期性和不穩(wěn)定性，但是隨機(jī)擾動(dòng)的幅度有很大的限制，同時(shí)映射表達(dá)式仍然較為簡(jiǎn)單，系統(tǒng)容易受到攻擊。為了提升系統(tǒng)的安全性，文獻(xiàn)[5]提出了一種基于Logistic改進(jìn)型映射和Cubic映射的級(jí)聯(lián)型混沌序列，提高了混沌系統(tǒng)的復(fù)雜性，得到了和傳統(tǒng)一維混沌序列相當(dāng)?shù)臄U(kuò)頻特性。文獻(xiàn)[6]將改進(jìn)型Logistic混沌映射和Chebyshev混沌映射通過迭代級(jí)聯(lián)構(gòu)造出一種新型混沌映射，有效擴(kuò)展了混沌系統(tǒng)的密鑰空間。文獻(xiàn)[7]將實(shí)值混沌序列作為擴(kuò)頻序列應(yīng)用于直接序列擴(kuò)頻(Direct Sequence Spread Spectrum，DSSS)系統(tǒng)中，具備更好的抗截獲能力。上述研究有效提升了擴(kuò)頻系統(tǒng)的安全性，然而在誤碼率方面確沒有明顯改善。為了提升系統(tǒng)的誤碼率表現(xiàn)，文獻(xiàn)[8]分別運(yùn)用初值替換、參數(shù)控制、多重復(fù)合和異或疊加的方法，對(duì)提出的改進(jìn)混沌系統(tǒng)所產(chǎn)生的混沌序列進(jìn)行優(yōu)選，在打破系統(tǒng)連貫性的前提下得到了性能更優(yōu)的混沌時(shí)間序列。

上述研究分別從克服經(jīng)典映射缺陷、提高系統(tǒng)安全性或降低誤碼率的角度改進(jìn)了傳統(tǒng)混沌映射擴(kuò)頻系統(tǒng)，然而僅從某一方面提升系統(tǒng)性能對(duì)系統(tǒng)的提升有限，若能同時(shí)對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜性、密鑰空間以及生成的時(shí)間序列復(fù)雜度進(jìn)行進(jìn)行改進(jìn)將會(huì)大大拓展混沌理論在擴(kuò)頻系統(tǒng)中的應(yīng)用前景。同時(shí)，現(xiàn)有的研究大都基于Logistic映射、Logistic改進(jìn)型映射、Chebyshev映射和Cubic映射，而對(duì)于與之擁有相似特性的Sine映射研究相對(duì)較少。為此，本文以Sine映射為主體，同時(shí)引入了具有均勻分布特性的Tent映射，以期得到一種具有更強(qiáng)偽隨機(jī)特性的混沌動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。

1 S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射構(gòu)建

1.1 Sine映射

正弦映射[9]的數(shù)學(xué)模型為

xi+1=(1-a)sin(πxi) 。

(1)

式中：映射值域?yàn)閤n∈(0,1)，映射參數(shù)取值區(qū)間為a∈[0,1]。

Sine映射的序列取值范圍與控制參數(shù)密切相關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)參數(shù)a取值為1時(shí)Sine映射才是(0,1)區(qū)間上的滿映射。

1.2 Tent映射

Tent映射有多種形式，本文選取的為[10]

xi+1=1-b×|xi-(1/b)| 。

(2)

式中：映射值域?yàn)閤n∈(0,1)，控制參數(shù)取值區(qū)間為b∈[0,2]。

Tent映射的序列取值范圍同樣與控制參數(shù)密切相關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)參數(shù)b取值無限接近于2時(shí)Sine映射才是[0,1]區(qū)間的滿映射。

1.3 傳統(tǒng)映射的平衡性

序列的平衡性可以體現(xiàn)序列的分布情況，是評(píng)價(jià)擴(kuò)頻碼優(yōu)劣程度的重要指標(biāo)。序列的平衡性與載波抑制度有密切關(guān)系，平衡性越好則載波泄露可能性越低，系統(tǒng)保密性越高；反之系統(tǒng)的載波越容易泄露，系統(tǒng)安全性越低[11]。以滿映射條件下序列取值范圍的中點(diǎn)0.5作為判決門限，序列依據(jù)判決門限分別取值為+1和-1，此時(shí)序列中“+1”“-1”的個(gè)數(shù)就代表了序列平衡性。設(shè)“+1”個(gè)數(shù)為P，“-1”個(gè)數(shù)為Q，序列總長(zhǎng)度為N，平衡性為E，則

(3)

E值越趨近于0，說明序列中“+1”“-1”的個(gè)數(shù)越接近，序列的平衡性也就越好。Sine映射的序列值更多地分布在0.5以下，而Tent映射的序列值更多地分布在0.5以上，兩者平衡性較差卻存在互補(bǔ)關(guān)系。

1.4 S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射

如前文所述，Sine映射和Tent映射在平衡性上存在互補(bǔ)關(guān)系，因而可以引入耦合因子調(diào)節(jié)其各自的權(quán)重，對(duì)兩者進(jìn)行線性耦合，即

(4)

為了確保耦合映射的值域在[0,1]內(nèi)，令b=1-a，則

(5)

滿映射間的線性耦合在保持系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)完整性的前提下引入了耦合因子，同時(shí)消除了原映射參數(shù)取值對(duì)序列取值范圍帶來的影響，大大增加了擴(kuò)頻碼的地址空間。

其次，為了提高映射結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，將耦合映射與Sine映射級(jí)聯(lián)，新型映射的最終表達(dá)式為

(6)

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

圖1 S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)圖

從式(6)和圖1都可以看出，新型映射具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)，模型的結(jié)構(gòu)復(fù)雜性得到了有效地提高。

1.5 S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射平衡性與耦合因子的關(guān)系

取序列長(zhǎng)度為n=1×106，S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射的平衡性隨耦合因子的變化情況如圖2所示。

圖2 S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射因子對(duì)平衡性的影響

由圖2可以看出，隨著耦合因子a的增大，序列的平衡性幾乎以單調(diào)的形式發(fā)生變化，因而在實(shí)際應(yīng)用中可以根據(jù)實(shí)際需求對(duì)序列的平衡性進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)控，以更好地適應(yīng)不各類場(chǎng)景中對(duì)序列平衡性的不同要求。

從圖2可以看出,當(dāng)耦合因子a∈(0.1,0.3)時(shí)序列平衡性都接近于0。圖3給出了a=0.1時(shí)序列平衡性隨迭代次數(shù)而對(duì)變化情況，可以看出當(dāng)?shù)M(jìn)行了足夠多得到次數(shù)后序列平衡性趨近并收斂到0，S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射的平衡性同時(shí)優(yōu)于Sine映射和Tent映射?？紤]通常情況下到擴(kuò)頻碼對(duì)平衡性的要求，后續(xù)仿真中均取a=0.1，此時(shí)序列平衡性接近于0。

圖3 S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射平衡性曲線(a=0.1)

2 S-T耦合級(jí)聯(lián)映射動(dòng)力學(xué)特性分析

2.1 系統(tǒng)特性分析

2.1.1 Lyapunov指數(shù)

Lyapunov指數(shù)描述了在初始點(diǎn)x0處無窮小誤差的平均增長(zhǎng)，其大小直接反映了系統(tǒng)的混沌程度，定義為

式中：E0表示初始誤差，En表示第n次迭代的誤差[12]。S-T耦合級(jí)聯(lián)映射的Lyapunov指數(shù)圖如圖4所示，可以看出該級(jí)聯(lián)混沌映射的Lyapunov指數(shù)始終為正，當(dāng)a=0時(shí)取到最大值1.38，當(dāng)a=1時(shí)取到最小值1.28，數(shù)值均大于單級(jí)結(jié)構(gòu)的映射(約為0.69)。因此，該耦合映射仍然是混沌映射，且混沌性強(qiáng)于傳統(tǒng)的一維映射。

圖4 S-T耦合級(jí)聯(lián)映射的Lyapunov指數(shù)

2.1.2 分叉圖

S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射分岔圖如圖5所示，可以看出S-T耦合級(jí)聯(lián)映射在耦合因子a定義域內(nèi)在區(qū)間[0,1]上分布均勻且始終保持滿映射，映射的耦合消除了參數(shù)對(duì)序列取值范圍的影響。新型映射與Sine映射和Tent映射只在參數(shù)r=1、b=2時(shí)才是滿映射相比具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

圖5 S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射分岔圖

2.1.3 遍歷特性

蛛網(wǎng)圖又叫雷達(dá)圖，直觀地展示了映射迭代過程中的翻轉(zhuǎn)過程，常用于表現(xiàn)系統(tǒng)的吸引子及遍歷軌跡。S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射蛛網(wǎng)圖如圖6所示，能夠看出，S-T耦合級(jí)聯(lián)映射的迭代值不斷趨近于不動(dòng)點(diǎn)，然后又不斷從不動(dòng)點(diǎn)跳出，說明該映射存在奇異吸引子；同時(shí)，隨著迭代次數(shù)的增加，映射的迭代軌跡幾乎遍布了[0,1]區(qū)間，映射具有良好的遍歷特性。

圖6 S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射蛛網(wǎng)圖

2.2 混沌時(shí)間序列特性分析

3.2.1 序列復(fù)雜度

序列復(fù)雜度是測(cè)度混沌系統(tǒng)產(chǎn)生序列接近隨機(jī)序列程度的一個(gè)量化指標(biāo)，復(fù)雜度的大小直接關(guān)系到混沌系統(tǒng)的密碼學(xué)性能。本文選用了近似熵和譜熵來衡量混沌時(shí)間序列的復(fù)雜度。

近似熵算法利用邊緣條件概率的統(tǒng)計(jì)方式統(tǒng)計(jì)序列的隨機(jī)程度，用相鄰軌道的變化程度體現(xiàn)整個(gè)序列的內(nèi)在復(fù)雜性[13]。取不同的序列長(zhǎng)度n，Sine映射、Tent映射及S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射的近似熵如表1所示，std表示序列的標(biāo)準(zhǔn)差。從表1中可以看出，S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射生成的時(shí)間序列近似熵明顯高于Sine映射、Tent映射和Logistic-Cubic映射，序列局部的復(fù)雜度更高；Logistic-Cubic映射譜熵明顯低與其他映射，而S-T耦合級(jí)聯(lián)映射譜熵與Sine映射和Tent映射接近，序列整體的復(fù)雜度相當(dāng)，說明S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射生成的時(shí)間序列較其他映射具有更高的序列復(fù)雜度，序列的偽隨機(jī)特性更強(qiáng)。

表1 近似熵對(duì)比(r=0.3std)

譜熵采用傅里葉變換，通過傅里葉變換域內(nèi)能量分布，結(jié)合香農(nóng)熵得出相應(yīng)譜熵值。同樣取不同的序列長(zhǎng)度n，Sine映射、Tent映射及S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射的譜熵如表2所示。

表2 譜熵對(duì)比

2.2.2 序列相關(guān)特性

表3給出了序列長(zhǎng)度為n=50 000時(shí)S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射與傳統(tǒng)一維映射生成時(shí)間序列的功率譜均方根差、自相關(guān)旁瓣均方根差以及互相關(guān)均方根差的對(duì)比。

表3 混沌時(shí)間序列性能對(duì)比

從表3可以看出，Logistic-Cubic映射功率譜表現(xiàn)和相關(guān)特性表現(xiàn)均較差，S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射的生成時(shí)間序列功率譜均方根值介于Sine映射和Tent映射之間；自相關(guān)旁瓣均方根值及互相關(guān)均方根與Tent映射接近而低于Sine映射，說明S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射的功率譜較為均勻，自相關(guān)和互相關(guān)特性也不亞于傳統(tǒng)映射，因而該映射對(duì)多徑干擾以及多址干擾的抑制能力強(qiáng)于Sine映射、Logistic-Cubic映射，與Tent映射相當(dāng)。

2.2.3 游程特性

序列的游程特性表示了序列中出現(xiàn)連續(xù)0或者連續(xù)1的概率，也是表現(xiàn)序列偽隨機(jī)特性的重要指標(biāo)。根據(jù)文獻(xiàn)[11]，理想的偽隨機(jī)序列中長(zhǎng)度為i的游程約占游程總數(shù)的(1/2)i。S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射的游程特性如表4所示。

表4 游程特性對(duì)比

從表4中可以看出，S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射生成的時(shí)間序列序列具有良好的游程特性，當(dāng)i=1時(shí)其性能略低于傳統(tǒng)一維Tent映射，其余情況下的游程表現(xiàn)相當(dāng)，序列分布情況較為理想。同時(shí)，經(jīng)過進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)，S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射的游程特性與耦合因子a的取值有關(guān)，恰當(dāng)?shù)娜≈?如取a=0.05)能夠在犧牲序列平衡性的前提下得到更為理想的游程性。

從以上的分析可以看出，S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射在耦合因子定義域范圍內(nèi)始終保持滿映射，且具有較單一結(jié)構(gòu)映射更高的Lyapunov指數(shù)，映射的混沌性更強(qiáng)。該映射生成的時(shí)間序列具有良好的偽隨機(jī)特性，序列復(fù)雜度更高，平衡性優(yōu)于單一結(jié)構(gòu)映射，而在功率譜密度、自相關(guān)互相關(guān)特性、游程特性方面的表現(xiàn)不亞于單一結(jié)構(gòu)映射，是一種理想的擴(kuò)頻序列。

3 S-T映射混沌擴(kuò)頻系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)與分析

3.1 擴(kuò)頻通信系統(tǒng)的搭建

基于S-T耦合級(jí)聯(lián)映射的混沌擴(kuò)頻碼生成算法流程如圖7所示，描述如下：

圖7 S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射擴(kuò)頻碼生成算法流程圖

Step1 輸入迭代次數(shù)N和映射初值x0，根據(jù)S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射進(jìn)行N-1次迭代得到長(zhǎng)度為N的混沌時(shí)間序列。

Step2 以0.5為判決門限依次對(duì)序列中的每一個(gè)實(shí)數(shù)值進(jìn)行二值量化，得到的M序列即為擴(kuò)頻碼。

基于Simulink的混沌擴(kuò)頻通信系統(tǒng)采用伯努利信號(hào)發(fā)生器作為信元，經(jīng)過極性轉(zhuǎn)換后與From File模塊嵌入的S-T線性耦合級(jí)聯(lián)混沌擴(kuò)頻碼相乘得到擴(kuò)頻后的信號(hào)，而后通過BPSK模塊進(jìn)行射頻調(diào)制，最后進(jìn)入AWGN模塊模擬信號(hào)的傳輸。在信號(hào)接收部分采用相反的設(shè)計(jì)，依次對(duì)信號(hào)解調(diào)、解擴(kuò)，得到最終的信號(hào)。為了體現(xiàn)該映射在擴(kuò)頻碼生成算法中的優(yōu)越性，本文引入了Sine映射擴(kuò)頻系統(tǒng)、Tent映射擴(kuò)頻系統(tǒng)和文獻(xiàn)[3]中提出的LC映射擴(kuò)頻系統(tǒng)，并在相同噪聲干擾下分析了各個(gè)系統(tǒng)的誤碼率(Bit Error Rate,BER)曲線。

3.2 BER仿真

3.2.1 突發(fā)脈沖干擾下的BER仿真

引入“Discrete Impulse”信元模塊模擬突發(fā)脈沖信號(hào)干擾，系統(tǒng)BER仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 突發(fā)脈沖干擾下擴(kuò)頻系統(tǒng)誤碼率對(duì)比

圖8中可以看出，在突發(fā)脈沖干擾下，當(dāng)信噪比較低時(shí)基于S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射的擴(kuò)頻系統(tǒng)誤碼率明顯低于低于其他擴(kuò)頻系統(tǒng)，在信噪比為-1 dB時(shí)只有基于S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射的擴(kuò)頻系統(tǒng)的誤碼率低于0.1；當(dāng)信噪比逐漸增大到3 dB時(shí)誤碼率表現(xiàn)與其他擴(kuò)頻系統(tǒng)趨于一致，約為0.03；當(dāng)信噪比為7 dB時(shí)基于S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射的擴(kuò)頻系統(tǒng)誤碼率達(dá)到了0.000 1，實(shí)現(xiàn)了良好的通信效果?？梢娫诘托旁氡葪l件下該系統(tǒng)具有更優(yōu)異的抗干擾性，采用該系統(tǒng)通信更具保密性和安全性。

3.2.2 隨機(jī)信號(hào)干擾下的BER仿真

引入“Random Number”信元模塊模擬隨機(jī)信號(hào)干擾，系統(tǒng)BER仿真結(jié)果如圖9所示。

圖9 隨機(jī)信號(hào)干擾下系統(tǒng)誤碼率對(duì)比

圖9中可以看出，在隨機(jī)信號(hào)干擾下通信系統(tǒng)對(duì)信噪比的要求更高，然而與突發(fā)脈沖干擾下的系統(tǒng)性能類似，基于S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射的擴(kuò)頻系統(tǒng)在較低信噪比的條件下有著更優(yōu)的表現(xiàn)，在信噪比為10 dB時(shí)只有基于S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射的擴(kuò)頻系統(tǒng)誤碼率低于0.13，且隨著信噪比的不斷增大誤碼率始終低于其他三種擴(kuò)頻系統(tǒng)；當(dāng)信噪比達(dá)到26 dB時(shí)基于S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射的擴(kuò)頻系統(tǒng)誤碼率低于0.000 1，能夠保證高質(zhì)量的通信。

綜上所述，無論是存在突發(fā)脈沖干擾還是隨機(jī)信號(hào)干擾，基于S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射的擴(kuò)頻系統(tǒng)在各個(gè)信噪比下傳輸?shù)恼`碼率均低于Sine映射擴(kuò)頻系統(tǒng)、Tent映射擴(kuò)頻系統(tǒng)和LC映射擴(kuò)頻系統(tǒng)，且當(dāng)信噪比足夠大時(shí)系統(tǒng)都表現(xiàn)出了極低的誤碼率。由此可以說明，在復(fù)雜的干擾環(huán)境下基于S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射的擴(kuò)頻系統(tǒng)比現(xiàn)有的一維混沌映射擴(kuò)頻通信系統(tǒng)具有更好的抗干擾性，當(dāng)信噪比滿足要求時(shí)能夠保證優(yōu)異的傳輸效果。

4 結(jié) 論

混沌時(shí)間序列具有良好的偽隨機(jī)特性，大量的研究表明基于混沌理論的擴(kuò)頻系統(tǒng)誤碼率遠(yuǎn)低于傳統(tǒng)的m序列擴(kuò)頻系統(tǒng)及PN序列擴(kuò)頻系統(tǒng)。然而傳統(tǒng)的一維映射存在表達(dá)式簡(jiǎn)單、Lyapunov指數(shù)小、時(shí)間序列復(fù)雜度低以及參數(shù)取值對(duì)系統(tǒng)偽隨機(jī)特性存在限制等問題，這些缺陷限制了混沌理論在擴(kuò)頻通信領(lǐng)域的應(yīng)用。為此，本文提出了一種基于S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射的擴(kuò)頻碼生成算法。理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，S-T耦合級(jí)聯(lián)混沌映射具有更大的Lyapunov指數(shù)，且該映射生成的時(shí)間序列復(fù)雜度高于現(xiàn)有的一維映射。搭建了不同噪聲干擾下的直序擴(kuò)頻仿真實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，證明了在復(fù)雜干擾下基于該映射的擴(kuò)頻系統(tǒng)較現(xiàn)有的一維映射擴(kuò)頻系統(tǒng)具有更低的誤碼率，在信道的信噪比足夠高時(shí)系統(tǒng)的誤碼率低于10-4，具有良好的通信質(zhì)量。