基于有限元法的雙漸開線齒輪嚙合剛度計(jì)算*

樊智敏，江 峰，馬瑞磷，王明凱，徐 俊

(青島科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，山東 青島 266061)

0 引 言

齒輪剛度激勵(lì)是齒輪系統(tǒng)的重要激勵(lì)形式之一，時(shí)變嚙合剛度的周期性變化會(huì)導(dǎo)致齒輪系統(tǒng)呈現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性特征。因此，確定齒輪時(shí)變嚙合剛度對(duì)研究齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性有重要意義。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者分別采用不同方法對(duì)齒輪時(shí)變嚙合剛度計(jì)算進(jìn)行了大量研究。LIANG X H等[1]推導(dǎo)了齒面點(diǎn)蝕直齒輪的嚙合剛度方程，研究了齒面點(diǎn)蝕對(duì)齒輪嚙合剛度的影響，并將該方法與有限元法進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了該方法在齒輪剛度計(jì)算中的有效性；SUN Y N等[2]基于薄片假設(shè)，建立了修正的圓柱齒輪副嚙合剛度計(jì)算模型，分析了齒寬和轉(zhuǎn)矩對(duì)齒輪時(shí)變嚙合剛度的影響；WANG Q B等[3]采用積分勢(shì)能法求解斜齒輪嚙合剛度，研究了螺旋角對(duì)嚙合剛度的影響；MOHSEN R等[4]提出了一種斜齒行星齒輪系統(tǒng)嚙合剛度計(jì)算公式，并與有限元法進(jìn)行了對(duì)比，發(fā)現(xiàn)當(dāng)螺旋角小于15°時(shí)，兩種方法吻合較好；CAI Y[5]對(duì)斜齒輪嚙合剛度計(jì)算公式進(jìn)行了修正，通過與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了計(jì)算方法的準(zhǔn)確性；唐進(jìn)元等[6]基于有限元法求解了螺旋錐齒輪的單齒、多齒綜合嚙合剛度，研究了不同載荷對(duì)嚙合剛度的影響規(guī)律；HUANGFU Y F等[7]基于切片法，提出了一種采用“偏移疊加”思想的斜齒輪嚙合剛度計(jì)算方法，并與有限元法和傳統(tǒng)解析法比較，發(fā)現(xiàn)該方法效率高、吻合性好；YU W N等[8]建立了一種時(shí)變非對(duì)稱嚙合剛度模型，分析了齒頂修形對(duì)嚙合剛度的影響；WANG J等[9]研究了直齒輪裂紋深度對(duì)其嚙合剛度的影響；貴新成等[10]基于勢(shì)能法建立了高重合度擺線內(nèi)齒輪副的嚙合剛度模型，分析了不同負(fù)載轉(zhuǎn)矩下齒輪剛度的變化規(guī)律；CHENG G等[11]基于三維線性接觸混合彈流潤(rùn)滑模型和粗糙表面接觸剛度計(jì)算方法，提出了一種在混合潤(rùn)滑下齒輪嚙合剛度的計(jì)算方法，分析了轉(zhuǎn)速、外載荷以及粗糙度幅值對(duì)齒輪嚙合剛度的影響；HAN L等[12]將切片法與離散積分法結(jié)合，研究了輪齒缺陷對(duì)斜齒輪嚙合剛度的影響。

目前有關(guān)于雙漸開線齒輪的研究主要針對(duì)彎曲剛度、接觸剛度的方面，尚未有雙漸開線齒輪時(shí)變嚙合剛度變化規(guī)律的系統(tǒng)研究。

本文基于有限元法建立雙漸開線齒輪嚙合剛度計(jì)算模型，研究不同齒寬下主、從動(dòng)輪齒面綜合彈性變形、單齒剛度、單齒嚙合剛度的變化規(guī)律，對(duì)比分析同參數(shù)、同工況條件下，雙漸開線齒輪與普通漸開線齒輪時(shí)變嚙合剛度的差異，為后續(xù)雙漸開線齒輪非線性動(dòng)力學(xué)分析奠定基礎(chǔ)。

1 雙漸開線齒輪基本齒廓

雙漸開線齒輪是一種綜合了雙圓弧齒輪優(yōu)點(diǎn)和漸開線齒輪優(yōu)點(diǎn)的新型齒輪，其齒廓由兩段相錯(cuò)的漸開線組成，兩段漸開線中間以一段圓弧過渡曲線連接，齒頂漸開線與齒根漸開線呈分階式布置[13]。雙漸開線齒輪與普通漸開線齒輪相比，齒根增厚，齒頂變薄。

雙漸開線齒輪基本齒廓如圖1所示。

圖1 雙漸開線齒輪基本齒廓αa,αd—齒頂、齒根的齒形角；齒頂、齒根切向變位系數(shù)；齒腰過渡圓弧的齒頂、齒根高度系數(shù)；ρf,ρg—齒根、齒腰過渡圓弧半徑；齒頂高系數(shù)；c*—頂系系數(shù)

2 雙漸開線齒輪嚙合剛度的計(jì)算

齒輪單齒剛度計(jì)算公式[14]為：

(1)

式中：Fn—齒面法向接觸力，N；δn—齒面綜合彈性變形，mm。

齒面綜合彈性變形一般包括赫茲接觸產(chǎn)生的齒面接觸變形δh、輪齒彎曲產(chǎn)生的彎曲變形δb以及支撐變形δf等，其計(jì)算方法為：

(2)

單齒嚙合剛度k是指一對(duì)輪齒接觸時(shí)的綜合剛度，兩個(gè)輪齒通過串聯(lián)耦合構(gòu)成單齒接觸對(duì)，其計(jì)算公式為：

(3)

式中：kn1，kn2—主、從動(dòng)輪單齒剛度，N·m-1。

多齒對(duì)嚙合過程中，各對(duì)輪齒之間為并聯(lián)耦合，在某一瞬時(shí)同時(shí)參與嚙合的輪齒對(duì)單齒嚙合剛度的疊加，稱為齒輪系統(tǒng)在該時(shí)刻的綜合嚙合剛度，齒輪副綜合嚙合剛度K計(jì)算公式為：

(4)

式中:ki—第i對(duì)齒單齒嚙合剛度，N·m-1；n—同時(shí)嚙合的齒對(duì)數(shù)。

3 雙漸開線齒輪有限元分析

根據(jù)嚙合剛度計(jì)算公式求解雙漸開線齒輪嚙合剛度，需先求得齒面接觸力Fn和齒面綜合彈性變形量δn。筆者采用Hypermesh-ABAQUS聯(lián)合仿真進(jìn)行求解。

3.1 雙漸開線齒輪網(wǎng)格模型的建立

雙漸開線齒輪齒廓參數(shù)如表1所示。

表1 雙漸開線齒輪齒廓參數(shù)

根據(jù)表1中雙漸開線齒輪的齒廓參數(shù)，筆者采用MATLAB數(shù)值計(jì)算法，對(duì)雙漸開線齒輪端面齒廓方程進(jìn)行求解，將求解的端面齒廓曲線離散為均分的數(shù)據(jù)點(diǎn)，把數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)導(dǎo)入三維建模軟件SolidWorks中，建立雙漸開線齒輪三維模型。

雙漸開線齒輪三維模型如圖2所示。

圖2 雙漸開線齒輪三維模型

進(jìn)行接觸動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，會(huì)存在多重迭代計(jì)算，分析齒輪全齒模型耗費(fèi)時(shí)間長(zhǎng)等情況。通過對(duì)雙漸開線齒輪重合度計(jì)算，得出重合度ε介于2～3之間，由此可知雙漸開線齒輪處于3齒對(duì)與2齒對(duì)交替嚙合狀態(tài)。同時(shí)，為避免邊緣剛體耦合作用，將雙漸開線齒輪三維模型切分為5齒對(duì)嚙合模型，并導(dǎo)入HyperMesh中，進(jìn)行網(wǎng)格劃分。

雙漸開線齒輪網(wǎng)格模型如圖3所示。

圖3 雙漸開線齒輪網(wǎng)格模型

3.2 雙漸開線齒輪有限元分析前處理

將Hypermesh劃分的雙漸開線齒輪5齒對(duì)網(wǎng)格模型導(dǎo)入ABAQUS有限元軟件中進(jìn)行分析。

ABAQUS有限元分析前處理步驟：

(1)材料屬性定義。設(shè)置主、從動(dòng)輪密度為7 800 kg/m3，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3；

(2)單元類型的選取。雙漸開線齒輪嚙合面為螺旋漸開面，在網(wǎng)格劃分時(shí)必將出現(xiàn)網(wǎng)格扭曲，為避免網(wǎng)格變形對(duì)計(jì)算結(jié)果精度的影響，選擇八節(jié)點(diǎn)六面體一次縮減積分單元C3D8R；

(3)分析步的設(shè)置。將齒輪齒面離散為有限單元網(wǎng)格，會(huì)導(dǎo)致在接觸區(qū)域產(chǎn)生微小間隙。為保證接觸收斂，本文設(shè)置兩個(gè)分析步(兩個(gè)分析步的類型均為static，general)，第1個(gè)分析步施加微小轉(zhuǎn)動(dòng)量，保證齒輪齒面接觸，第2個(gè)分析步施加Moment載荷，進(jìn)行靜態(tài)接觸分析；設(shè)置計(jì)算步長(zhǎng)為0.1；

(4)接觸定義。此處定義接觸類型為面對(duì)面接觸，定義法向接觸為“硬接觸”，其他保持默認(rèn)；定義切向接觸為“罰”，設(shè)置摩擦系數(shù)為0.03，定義接觸對(duì)時(shí)，應(yīng)將接觸的輪齒分別定義接觸對(duì)，以避免計(jì)算不收斂；

接觸對(duì)設(shè)置如圖4所示。

圖4 接觸對(duì)設(shè)置

(5)耦合作用定義。在ABAQUS中，三維實(shí)體單元一般只有平移自由度，不具有旋轉(zhuǎn)自由度。為施加Moment載荷，在主、從動(dòng)輪軸線上定義參考點(diǎn)，將齒輪齒圈內(nèi)表面分別與兩個(gè)參考點(diǎn)進(jìn)行耦合，以建立耦合約束；

耦合作用設(shè)置如圖5所示。

圖5 耦合作用設(shè)置

(6)載荷和邊界條件施加。在從動(dòng)輪參考點(diǎn)上約束全部6個(gè)自由度，在主動(dòng)輪參考點(diǎn)上約束除軸向旋轉(zhuǎn)外5個(gè)自由度；在主動(dòng)輪參考點(diǎn)上設(shè)置Moment載荷為20 MN·m。

3.3 有限元計(jì)算結(jié)果分析

采用ABAQUS進(jìn)行有限元分析，可以求出齒面接觸力分布及齒面節(jié)點(diǎn)綜合彈性變形。

齒面接觸力和綜合彈性變形的提取如圖6所示。

圖6 齒面接觸力和綜合彈性變形的提取

由圖6可知：齒面接觸區(qū)內(nèi)各個(gè)節(jié)點(diǎn)的彈性變形量不同，此處對(duì)各個(gè)節(jié)點(diǎn)取平均值，以此作為齒輪綜合彈性變形；同時(shí)，為防止剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位移對(duì)齒輪綜合彈性變形的影響，筆者采用兩次加載的方法，以消除剛體的位移。

筆者通過旋轉(zhuǎn)輪齒可得到雙漸開線齒輪副不同嚙合位置，采用有限元分析求解齒面法向接觸力和綜合彈性變形，通過式(1～4)可求得雙漸開線齒輪單齒剛度、單齒嚙合剛度以及綜合嚙合剛度。

4 嚙合剛度計(jì)算方法驗(yàn)證

為研究該計(jì)算方法的正確性，筆者根據(jù)文獻(xiàn)[15]所述的直齒輪齒廓參數(shù)進(jìn)行建模。

直齒輪齒廓參數(shù)如表2所示。

表2 直齒輪齒廓參數(shù)

根據(jù)表2直齒輪齒廓參數(shù)，計(jì)算得到的直齒輪副嚙合剛度如圖7所示。

圖7 直齒輪副嚙合剛度

將本文計(jì)算方法求解的最大嚙合剛度、最小嚙合剛度，與已有文獻(xiàn)、ISO6336：2006計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，不同方法求解的嚙合剛度數(shù)值如表3所示。

表3 不同方法求解的嚙合剛度數(shù)值

由表3可知：采用本文所述方法計(jì)算的最大嚙合剛度、最小嚙合剛度與已有文獻(xiàn)近似，與ISO計(jì)算公式求解結(jié)果偏差小于6%；由此驗(yàn)證了本文計(jì)算方法的正確性。

5 結(jié)果與分析

5.1 不同齒寬下主、從動(dòng)齒輪綜合彈性變形規(guī)律

齒寬取40 mm、50 mm時(shí)，雙漸開線齒輪的主、從動(dòng)輪綜合彈性變形規(guī)律如圖8所示。

圖8 主、從動(dòng)輪綜合彈性變形規(guī)律

由圖8可知：一個(gè)嚙合周期內(nèi)，主動(dòng)輪綜合彈性變形逐漸增大，從動(dòng)輪綜合彈性變形逐漸減小，齒寬越大，綜合彈性變形越小。

5.2 不同齒寬下主、從動(dòng)輪單齒剛度、單齒嚙合剛度的變化規(guī)律

齒寬取40 mm、50 mm時(shí)，齒輪單齒剛度、單齒嚙合剛度變化規(guī)律如圖9所示。

圖9 單齒剛度、單齒嚙合剛度變化規(guī)律

由圖9(a，b)可知：主、從動(dòng)輪單齒剛度先增大后減小，且單齒剛度最大值靠近齒根嚙合區(qū)；主動(dòng)輪單齒剛度增大區(qū)域小于單齒剛度減小區(qū)域，從動(dòng)輪單齒剛度增大區(qū)域大于單齒剛度減小區(qū)域，其原因是在嚙合周期內(nèi)，從動(dòng)輪齒頂先參與嚙合，嚙合點(diǎn)從齒頂嚙合區(qū)過渡到齒根嚙合區(qū)，綜合彈性變形隨時(shí)間的變化逐漸減小，主動(dòng)輪齒根先參與嚙合，嚙合點(diǎn)從齒根嚙合區(qū)過渡到齒頂嚙合區(qū)，綜合彈性變形隨時(shí)間的變化逐漸增大；

主、從動(dòng)輪單齒剛度、單齒嚙合剛度隨齒寬的增大而增大，原因是齒寬增大使雙漸開線齒輪軸向重合度增大，沿接觸線長(zhǎng)度單位線載荷減小，綜合彈性變形減小，從而使嚙合剛度增大。

5.3 雙漸開線齒輪與普通漸開線齒輪時(shí)變嚙合剛度對(duì)比分析

筆者采用6次多項(xiàng)式對(duì)齒寬為50 mm的單齒嚙合剛度進(jìn)行了擬合，并根據(jù)重合度對(duì)單齒嚙合剛度進(jìn)行了疊加，得到了綜合嚙合剛度。

同參數(shù)、同工況條件下，雙漸開線齒輪與普通漸開線齒輪的單齒嚙合剛度、綜合嚙合剛度對(duì)比分析結(jié)果如圖10所示。

圖10 單齒嚙合剛度、綜合嚙合剛度對(duì)比分析

由圖10可知：

(1)在嚙入、嚙出端，雙漸開線齒輪與普通漸開線齒輪單齒嚙合剛度差別不大，但雙漸開線齒輪由于齒腰分階，接觸線長(zhǎng)度變短，單位線載荷減小，導(dǎo)致嚙合剛度小于普通漸開線齒輪；

(2)雙漸開線齒輪綜合嚙合剛度變化規(guī)律與普通漸開線齒輪近似，均呈周期性變化；

(3)雙漸開線齒輪綜合嚙合剛度小于普通漸開線齒輪，雙漸開線齒輪的剛度波動(dòng)幅值為0.972×108N·m-1,普通漸開線齒輪的剛度波動(dòng)幅值為0.976×108N·m-1，雙漸開線齒輪綜合嚙合剛度波動(dòng)幅值略低于普通漸開線齒輪。這個(gè)結(jié)果在一定程度上說明，雙漸開線齒輪在傳動(dòng)時(shí)的減振、降噪效果優(yōu)于普通漸開線齒輪。

6 結(jié)束語

筆者基于有限元法，建立了雙漸開線齒輪嚙合剛度計(jì)算模型，研究了不同齒寬下主、從動(dòng)輪齒面綜合彈性變形、單齒剛度、單齒嚙合剛度的變化規(guī)律，對(duì)比分析了同參數(shù)、同工況條件下雙漸開線齒輪與普通漸開線齒輪時(shí)變嚙合剛度的差異。

研究得到以下結(jié)論：

(1)齒寬增大會(huì)使雙漸開線齒輪軸向重合度增大，沿接觸線長(zhǎng)度單位線載荷減小，彈性變形減小；齒輪副嚙合過程中，主動(dòng)輪齒根最先接觸，嚙合點(diǎn)逐步從齒根嚙合區(qū)過渡至齒頂嚙合區(qū)，主動(dòng)輪曲率先增大后減小，綜合彈性變形逐漸增大，從動(dòng)輪齒頂最先接觸，嚙合點(diǎn)從齒頂嚙合區(qū)逐步過渡至齒根嚙合區(qū)，綜合彈性變形逐漸減??；

(2)雙漸開線齒輪主、從動(dòng)輪單齒剛度先增大后減小，單齒剛度最大值靠近齒根嚙合區(qū)，綜合彈性變形越小，單齒剛度和單齒嚙合剛度越大；

(3)在嚙入、嚙出端，雙漸開線齒輪與普通漸開線齒輪單齒嚙合剛度差別不大，雙漸開線齒輪在齒腰分階位置，接觸線變短，單位線載荷減小，雙漸開線齒輪單齒嚙合剛度、綜合嚙合剛度小于普通漸開線齒輪，雙漸開線齒輪綜合嚙合剛度波動(dòng)幅值略小于普通漸開線齒輪。