基于力學(xué)與數(shù)學(xué)的機(jī)械設(shè)計難點(diǎn)易化研究

劉 慶，尹曉麗,，李春明，李萬騰，劉 曉，孫 鳳，曹 惠

(1.中國石油大學(xué)(華東)中國石油大學(xué)勝利學(xué)院，山東 東營 257061) (2.中國石油大學(xué)(華東)機(jī)電工程學(xué)院，山東 青島 266580) (3.山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250061)

在機(jī)械設(shè)計[1]學(xué)科確定之初，力學(xué)和數(shù)學(xué)尚未完善和普及，一些知識點(diǎn)的表述缺乏力學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，導(dǎo)致理解難度高，初學(xué)者必須將其當(dāng)成基本概念而死記硬背。比如一些計算公式是直接給出的，沒有推導(dǎo)過程，因而成為難懂的知識點(diǎn)。這些高難度知識點(diǎn)阻礙了學(xué)科的發(fā)展與普及。

為降低機(jī)械設(shè)計諸多知識點(diǎn)的理解難度，需要補(bǔ)充師生均易忽略的力學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及分析步驟。目前，STEM(science科學(xué), technology技術(shù), engineering工程, mathematics數(shù)學(xué))教學(xué)理念已成為各學(xué)科的研究熱點(diǎn)?；谠摾砟睿矐?yīng)補(bǔ)充機(jī)械設(shè)計學(xué)科的數(shù)學(xué)和力學(xué)基礎(chǔ)。

1 螺紋連結(jié)力與強(qiáng)度的難點(diǎn)易化

1)“聯(lián)”指抽象的，“接”指連在一起可動，而“連”指具體的，“結(jié)”指不可動地合并，因此多個零件合成一個構(gòu)件應(yīng)為“連結(jié)”，兩個構(gòu)件相連應(yīng)為“連接”。原來的“螺紋聯(lián)接”，應(yīng)改為“螺紋連結(jié)”。

2)螺母扳擰力學(xué)模型的建立。根據(jù)運(yùn)動和受力特點(diǎn)，將螺母與螺桿的相對運(yùn)動簡化為滑塊在斜面上的上升和下降運(yùn)動，并以滑塊為研究對象進(jìn)行受力分析。分析支承力和摩擦力的關(guān)系式應(yīng)補(bǔ)充矢量的平行四邊形法則及正交分解與合成方法。假設(shè)螺母相對于螺桿做勻速旋動，根據(jù)螺母所受外力及牛頓第二定律列出力的矢量方程。計算擰緊和放松時的驅(qū)動力矩，需補(bǔ)充力矩M的矢量定義：

M=l×F

(1)

式中：l為從轉(zhuǎn)動中心到力作用線垂足的矢量；F為力矢量。

在平面當(dāng)中研究受力，所有的力矩均垂直于該平面，只有正負(fù)之分，因而可作為標(biāo)量進(jìn)行運(yùn)算，在數(shù)值上等于力乘以力臂。

3)用矢量方程圖解法求取未知量時需補(bǔ)充矢量等式的幾何意義。在分析各矢量的大小和方向后，等號兩邊的矢量分別首尾相接，如果兩者的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)重合。該特點(diǎn)與矢量的連接順序無關(guān)。

4)計算軸向力所作的功時需補(bǔ)充功的定義。功是標(biāo)量，位移是螺母的軸向移動距離，而不是路程。求螺旋升角的最大值時應(yīng)補(bǔ)充函數(shù)的極值條件及復(fù)合三角函數(shù)求導(dǎo)公式。計算螺旋轉(zhuǎn)動一圈的輸入功[2]時應(yīng)補(bǔ)充轉(zhuǎn)矩T所作功W的定義：力矩與轉(zhuǎn)動角度的乘積。W在數(shù)值上為：

W=T2π=Fr2π=FC

(2)

T=r×F

(3)

T=rF=Fr

(4)

式中：整體傳動角度上的轉(zhuǎn)矩T與零件受力角度上的扭矩在數(shù)值上相等，與施力角度上的力矩M也在數(shù)值上相等；F為產(chǎn)生力矩的力；r為力作用點(diǎn)所在螺母上圓的半徑；C為該圓的周長；黑斜體符號為相應(yīng)的矢量。

5)對于具有自鎖功能的螺紋，證明效率η小于50%時需補(bǔ)充不等式成立的條件。

(5)

式中：ψ為螺紋升角；ρ′為接觸面的當(dāng)量摩擦角。

第一個不等式成立的依據(jù)為分母增大則分式減小。

(6)

第二個不等式成立的依據(jù)為螺紋連結(jié)的自鎖條件：

ψ<ρ′

(7)

也可根據(jù)式(7)及半角公式證明：

(8)

6)當(dāng)鉸制孔螺栓連結(jié)或鉚結(jié)承受橫向載荷時，螺桿或鉚釘桿受到擠壓。需補(bǔ)充：當(dāng)被擠壓面為圓柱面時，有效擠壓面積為實(shí)際接觸面在直徑平面上的投影面積；螺栓或鉚釘桿在受力面積上可視為均勻受力，壓強(qiáng)可作為正應(yīng)力，力除以剪切面積可作為切應(yīng)力。

7)受橫向工作載荷的緊螺栓連結(jié)會受到摩擦力矩的作用，需補(bǔ)充：轉(zhuǎn)矩T作用下轉(zhuǎn)動零件所受的切應(yīng)力計算式。用于起吊重物的松螺栓連結(jié)需考慮沖擊的影響。如忽略沖擊，則設(shè)計的設(shè)備容易損傷。因此，必須增大安全系數(shù)、載荷系數(shù)或螺栓直徑。

8)細(xì)長螺桿受較大軸向壓力時，存在失效[3]的可能。目前除臨界載荷之外尚無其他設(shè)計依據(jù)。該依據(jù)來源于壓桿失效。原來，該失效與受軸向壓力轉(zhuǎn)軸失去自動定心能力的失穩(wěn)相混淆，定義為壓桿失穩(wěn)。該定義誤導(dǎo)了研究方向，導(dǎo)致避免該類失效的設(shè)計準(zhǔn)則尚無成熟理論。如果以失效的機(jī)理為研究目標(biāo)則更有希望獲得進(jìn)展。

9)螺栓連結(jié)的強(qiáng)度計算需采用試算法。許用應(yīng)力隨螺栓尺寸的變化而有所變化。因此，設(shè)計時，先假設(shè)螺栓尺寸來確定許用應(yīng)力并計算最大應(yīng)力，再比較兩者的大小。如果最大應(yīng)力大于或遠(yuǎn)小于許用應(yīng)力，則修改螺栓尺寸并重復(fù)上述步驟。螺栓既受到正應(yīng)力又受到切應(yīng)力，需用當(dāng)量應(yīng)力設(shè)計尺寸或校核強(qiáng)度。因此，需補(bǔ)充零件設(shè)計常用的第三強(qiáng)度理論(最大切應(yīng)力理論)和第四強(qiáng)度理論(形狀改變比能理論)[4]。

2 傳動部件的難點(diǎn)易化

(9)

(10)

式中：W為所作的功；t為時間；F為所受的力；s為力方向上發(fā)生的位移；r為轉(zhuǎn)動中心到F的垂直距離；n為轉(zhuǎn)速。

如果所有變量均采用國際單位制，則很多公式的常數(shù)不再出現(xiàn)，且更便于理解。

2)設(shè)計軟齒面中心距時需采用模數(shù)、齒數(shù)和螺旋角的試算值，然后再校核試算的模數(shù)是否滿足彎曲強(qiáng)度要求。如果校核結(jié)果為不滿足，則需要依次調(diào)整這3個參數(shù)。

輪齒之間是點(diǎn)線接觸，計算齒面疲勞應(yīng)力時需補(bǔ)充赫茲公式。該式根據(jù)應(yīng)力定義及變形特點(diǎn)推導(dǎo)而來，但是未介紹推導(dǎo)過程。理解各符號含義即可用于教材上尚未介紹的齒輪齒條傳動、凸輪傳動等的接觸應(yīng)力計算。計算輪齒彎曲應(yīng)力時需補(bǔ)充彎曲疲勞應(yīng)力計算公式、危險界面的彎曲截面系數(shù)、30°危險截面等材料力學(xué)知識點(diǎn)。

3)分析帶受力的步驟為：建立坐標(biāo)系—取微帶—沿切向和法向分別分析所有受力，根據(jù)牛頓第二定律獲得方程組。計算帶的應(yīng)力分布時需補(bǔ)充力的疊加原理，即各力單獨(dú)作用結(jié)果之和與共同作用的結(jié)果相同。一般情況下，機(jī)械上的力學(xué)系統(tǒng)都是線性系統(tǒng)。求壓軸力(作用在帶輪軸上的力)時需補(bǔ)充正弦定理和余弦定理?？捎蓭缀侮P(guān)系獲得方程，需要特別注意的是帶傳動緊邊和松邊的拉力不相等的情況。帶傳遞的功率可表示為拉力與帶速乘積的形式，該定義推導(dǎo)式為：

(11)

4)推導(dǎo)撓性體摩擦的歐拉公式[5]時需補(bǔ)充重要極限、二階近似式、對數(shù)函數(shù)及其求導(dǎo)方法。帶傳動的離心慣性力FC的計算需利用：

(12)

式中：x為變量；α為帶輪的包角。

帶由兩段線段和兩段圓弧組成，在求帶長時，需要使用該極限(見式12)，同時還要使用有限項(xiàng)無窮階近似級數(shù)(泰勒級數(shù))的近似公式：

(13)

式中：f(·)為函數(shù)；x0為當(dāng)前點(diǎn)。

5)懸垂的鏈在傳動方向、豎直方向、橫向上均存在周期性變化的速度分量。分析鏈傳動的多邊形效應(yīng)需要補(bǔ)充振動力學(xué)[6-7]的簡諧振動。此外還需根據(jù)相對運(yùn)動建模。

6)凸輪輪廓線的反轉(zhuǎn)法設(shè)計需補(bǔ)充相對運(yùn)動原理[8]。如果令紙作勻速轉(zhuǎn)動，令從動件按給定規(guī)律運(yùn)動，則兩構(gòu)件接觸點(diǎn)在紙上留下凸輪輪廓線，但是實(shí)現(xiàn)難度很高。如令整個機(jī)構(gòu)反轉(zhuǎn)，而紙保持不變，則易實(shí)現(xiàn)繪圖。

剛化反轉(zhuǎn)法是在確定結(jié)構(gòu)尺寸時常用的機(jī)構(gòu)設(shè)計方法。將多個設(shè)計條件分別繪在紙上，根據(jù)已知構(gòu)件將多張紙重合，則可將給定連架桿位置的設(shè)計轉(zhuǎn)化為給定連桿位置的設(shè)計。

在機(jī)械加工中，刀具與工件通過相對運(yùn)動完成復(fù)雜的加工。當(dāng)轉(zhuǎn)動的刀具剛度不足時，可令工件轉(zhuǎn)動，完成相同的切削任務(wù)。復(fù)雜的加工面可由刀具和工件同時運(yùn)動而獲得。

7)周轉(zhuǎn)輪系的轉(zhuǎn)化輪系需基于相對運(yùn)動建立。針對實(shí)際嚙合情況，標(biāo)注各體的假定轉(zhuǎn)動方向，基于嚙合關(guān)系建立轉(zhuǎn)速與齒輪齒數(shù)之間的關(guān)系式。對于圖1所示的機(jī)構(gòu)，標(biāo)注系桿的轉(zhuǎn)動方向，系桿指向紙外的運(yùn)動會造成齒輪2轉(zhuǎn)速變慢或反轉(zhuǎn)，因此齒輪2上向左標(biāo)注系桿的轉(zhuǎn)動方向可與齒輪3上向下標(biāo)注相一致。根據(jù)嚙合關(guān)系，可列出參考計算式：

(14)

(15)

式中：i為傳動比；ω為角速度；z為齒數(shù)；數(shù)字下標(biāo)為齒輪序號；下標(biāo)H為系桿代號；上標(biāo)H表示相對于系桿。如果由方程組或方程求得某體轉(zhuǎn)速為負(fù)值，則其實(shí)際轉(zhuǎn)動方向與假定方向相反。

圖1 標(biāo)注方向的周轉(zhuǎn)輪系

3 軸系部件的難點(diǎn)易化

1)軸上多個鍵槽布置原表述為：布置在同一母線上。一個形狀布置在一條線上，難以確定位置。因此，該表述改為：為了加工方便，同一軸上的多個鍵槽，必須與經(jīng)過軸線的同一個平面對稱，并且寬度應(yīng)盡量相同。

2)軸承支反力在經(jīng)典著作上只提供了需死記硬背的計算式。理論上，在軸線所在的平面內(nèi)，軸系沒有轉(zhuǎn)動，但是仍滿足剛體的力矩平衡方程，基于此可推導(dǎo)計算式。計算角接觸軸承的軸向力時，應(yīng)明確軸承外圈為研究對象。軸的強(qiáng)度校核和剛度校核完全是一道力學(xué)應(yīng)用題，需補(bǔ)充并強(qiáng)調(diào)材料力學(xué)的彎矩、扭矩、強(qiáng)度理論、疊加原理、撓度、轉(zhuǎn)角、扭角等知識點(diǎn)[9]。這類綜合運(yùn)用多個力學(xué)和數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的過程，只要有一處需要死記硬背，該過程的難度就陡然提升。

3)滑動軸承的工作過程應(yīng)補(bǔ)充流體動壓理論。根據(jù)形成動壓的條件，可分析其啟動過程的3個階段?；瑒虞S承壓力場與溫度場的計算均需要另一個場已知，先假設(shè)一個溫度場，計算出壓力場之后，再計算溫度場。該結(jié)果必然與假設(shè)值不同，修正之后，重新計算壓力場。多物理場交替求解[10]，直到修正量足夠小為止。

4)萬向連軸器主動-從動軸的速比關(guān)系式推導(dǎo)過程需補(bǔ)充：動坐標(biāo)系與靜坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣、三角函數(shù)求導(dǎo)公式、三角函數(shù)代換公式和矢量運(yùn)算法則等?；谧鴺?biāo)系轉(zhuǎn)換和矢量運(yùn)算的推導(dǎo)結(jié)果[5]相同，二者之間相互驗(yàn)證。

令主動軸轉(zhuǎn)角為φ1、從動軸轉(zhuǎn)角為φ3、兩軸夾角為β，則該速比關(guān)系式為：

(16)

4 結(jié)束語

機(jī)械設(shè)計是以高等數(shù)學(xué)、材料力學(xué)和彈性力學(xué)等為基礎(chǔ)的專業(yè)學(xué)科，概念及理論體系必須具有連續(xù)性和交叉性。這種不同學(xué)科知識點(diǎn)之間的聯(lián)系普遍存在，如：從蝙蝠吃肉到超聲波應(yīng)用，從二分法悖論到盲人探路及半步優(yōu)化方法，從排列組合理論到窮舉機(jī)構(gòu)法等。

術(shù)語的命名如符合漢語語義則更易懂易學(xué)，否則憑空增加了知識點(diǎn)。從語言學(xué)角度重新審視基本概念是有必要的。目前，力學(xué)和數(shù)學(xué)知識足夠普及，機(jī)械設(shè)計學(xué)科除定義外，任何死記硬背的知識點(diǎn)都能轉(zhuǎn)化為可理解的導(dǎo)出概念。本文針對高難度知識點(diǎn)所補(bǔ)充的力學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，以及所提出的創(chuàng)新點(diǎn)，均有利于機(jī)械設(shè)計學(xué)科的發(fā)展。