基于共形幾何代數(shù)的空間機(jī)構(gòu)位置解方法研究

亢書華，李瑞琴

(中北大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山西 太原 030051)

串聯(lián)機(jī)構(gòu)和并聯(lián)機(jī)構(gòu)統(tǒng)稱為空間機(jī)構(gòu)。串聯(lián)機(jī)構(gòu)因具有運(yùn)動空間范圍廣、靈活性高等優(yōu)勢廣泛應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人、醫(yī)療康復(fù)機(jī)器人等領(lǐng)域。并聯(lián)機(jī)構(gòu)相對于串聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛度大、精度高、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、承載能力強(qiáng)等特點(diǎn)，長期以來都是機(jī)構(gòu)學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

位置分析作為機(jī)構(gòu)運(yùn)動分析的基礎(chǔ)，包括位置逆解和位置正解。位置逆解指已知輸出參數(shù)求輸入?yún)?shù)；位置正解指已知輸入?yún)?shù)求輸出參數(shù)。分析方法通常分為數(shù)值法和解析法兩種。解析法能夠得到全部解且解析表達(dá)式對機(jī)構(gòu)動力學(xué)性能分析有很大用處，缺點(diǎn)是不易獲得解析表達(dá)式，沒有通用性。Li等[1]采用解析法求得3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)相對于靜平臺的位姿關(guān)系矩陣。Gong等[2]通過解析式求得7-DOF冗余度機(jī)械手的逆解。Lu等[3]采用解析法對平面三連桿6-DOF進(jìn)行分析，得到了該機(jī)構(gòu)的逆解與正解。數(shù)值法的優(yōu)點(diǎn)是可以快速求解，但是一般得不到全部解。張啟升等[4]采用數(shù)值法求得3-PSS-6R并聯(lián)機(jī)構(gòu)每條支鏈的運(yùn)動學(xué)逆解。Zhu等[5]引入簡化的牛頓迭代法，以Stewart平臺為例，結(jié)合人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到平臺運(yùn)動的正解。無論是解析法還是數(shù)值法，在求解機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)性能的過程中都不能表達(dá)機(jī)構(gòu)運(yùn)動與機(jī)構(gòu)參數(shù)之間的幾何關(guān)系[6]。

共形幾何代數(shù)(conformal geometric algebra，CGA)作為幾何代數(shù)的重要分支之一，由于具有計(jì)算過程簡單、清晰且不與坐標(biāo)選取相關(guān)等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)視覺等基礎(chǔ)和技術(shù)領(lǐng)域[7]。近幾年，CGA已被應(yīng)用于空間機(jī)構(gòu)位置解的求解過程中。CGA將機(jī)構(gòu)的幾何結(jié)構(gòu)與運(yùn)動聯(lián)系起來，具有較強(qiáng)的幾何直觀性且能夠簡化位置解計(jì)算過程。因此本文著重探討CGA在求解剛?cè)狁詈喜⒙?lián)機(jī)構(gòu)和冗余驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置解的應(yīng)用潛力。

1 CGA的計(jì)算原理

1.1 CGA的基本計(jì)算

五維空間R3+1,1是由一個(gè)三維歐氏向量空間R3與一個(gè)二維的閔氏空間R1,1延伸而來。CGA包括5個(gè)正交基{e1,e2.e3,e+,e-}，且該組正交基滿足：

ei·e+=ei·e-=e+·e-=0

在共形幾何空間中，引入兩個(gè)null基{e0,e∞}表示原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，且

e∞=e++e-

物體的運(yùn)動通過幾何積表示為：

uv=u·v+u∧v

式中：uv為幾何積；u·v為內(nèi)積，用來計(jì)算距離和角度；u∧v為外積，用來構(gòu)建幾何實(shí)體。

在共形幾何空間中，對于一個(gè)矢量A，其逆A-1的定義為:

AA-1=1

矢量A的對偶A*表示為:

A*=A·I-1

式中：I-1=e1e2e3e0e∞，為單位偽標(biāo)量的逆。

1.2 空間幾何元素的表達(dá)原理

在共形幾何空間中，通過幾何實(shí)體的相交可以得到不同的元素表達(dá)式，見表1[7]。

表1 幾何元素的表達(dá)式

剛體的運(yùn)動主要表現(xiàn)為平移和旋轉(zhuǎn)。在共形幾何空間中，平移算子T表示為：

式中：t為平移的方向和距離，t=t1e1+t2e2+t3e3，其中t1,t2,t3為標(biāo)量系數(shù)，e1，e2，e3為三維空間中的向量。

旋轉(zhuǎn)算子R表示為：

式中：θ為旋轉(zhuǎn)角；L為旋轉(zhuǎn)平面的單位二向量。

剛體的馬達(dá)算子M表示為：

M=RT

剛體的運(yùn)動被表達(dá)為：

2 基于CGA的空間機(jī)構(gòu)的位置逆解方法研究

機(jī)構(gòu)分析可為機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)提供數(shù)據(jù)支持。相對來說，串聯(lián)機(jī)器人的位置逆解比正解難獲得。對于串聯(lián)機(jī)器人的正解，采用傳統(tǒng)的D-H矩陣法只需要將各關(guān)節(jié)的矩陣相乘便可獲得；反而是逆解不易獲得，但是逆解是控制程序和軌跡規(guī)劃的基礎(chǔ)。對于傳統(tǒng)方法，需要考慮到非線性和耦合等因素，求解效率不高且容易產(chǎn)生漏根或者增根。因此串聯(lián)機(jī)器人逆解的求解一直是機(jī)構(gòu)學(xué)的難點(diǎn)，比如20世紀(jì)的“珠穆朗瑪峰”問題，即串聯(lián)7R機(jī)構(gòu)的位移分析[8]。將CGA應(yīng)用于串聯(lián)機(jī)器人的逆解問題中，從幾何角度去分析機(jī)構(gòu)，避免了多元高次的求解問題，可以快速獲得位置逆解，不少學(xué)者利用該方法得到了串聯(lián)機(jī)器人的位置逆解[9-14]。

在這種算法基礎(chǔ)上，Campos-Macías等[15]針對6-DOF仿人機(jī)器人通過CGA的外積得到身體和末端所需要的位置和方向，以此重新分配每個(gè)關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)量，該方法還可以用到后續(xù)的避障和自碰撞算法中。Bayro-Corrochano等[14]基于視覺輔助通過操縱5-DOF機(jī)械臂實(shí)現(xiàn)對物體的各種操作，他們通過CGA引入的一種二維幾何雅可比矩陣作為標(biāo)準(zhǔn)雅可比矩陣，該雅可比矩陣可以應(yīng)用于任何類型的機(jī)器人關(guān)節(jié)。此外，結(jié)合CGA在其他領(lǐng)域的應(yīng)用可以完成更多的任務(wù)。Zamora等[16]在運(yùn)動學(xué)的基礎(chǔ)上結(jié)合機(jī)器視覺，解決了視覺引導(dǎo)的抓取問題。Pitt等[17]提出基于CGA求解位置逆解的算法，結(jié)合代碼生成軟件得到可執(zhí)行的C代碼，實(shí)現(xiàn)了更高效的求解。

當(dāng)然，對于并聯(lián)機(jī)構(gòu)也有相關(guān)的研究，并在冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置解求解方面實(shí)現(xiàn)了新的突破：Park等[18]提出了一種3-DOF球面3-SPS冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)，結(jié)合CGA和冗余度可以快速得到運(yùn)動學(xué)逆解的最優(yōu)解；Kim等[19]采用CGA從奇異性的角度求解3-SPS/S冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆解的最優(yōu)解。在算法效率方面也取得了一些成果：T?rdal等[20]提出的CGA算法計(jì)算效率是矩陣代數(shù)算法的兩倍。除了高效率，CGA算法的計(jì)算過程也比傳統(tǒng)的算法更加簡單。

對于串聯(lián)機(jī)器人的位置逆解一直在研究中，除了D-H矩陣法和CGA法，還有四元數(shù)和對偶四元數(shù)等方法，對于不同的機(jī)構(gòu)，建模方法不同，計(jì)算效率和遇到的困難也不相同。在這幾種方法中，CGA在算法等方面的優(yōu)勢顯而易見，然而在軌跡規(guī)劃和控制等方面只是進(jìn)行了初步設(shè)想，未來CGA在這個(gè)問題上的優(yōu)勢難以估計(jì)。總之，在串聯(lián)機(jī)器人位置逆解問題上，建模方法的研究還有很長的路要走。

3 基于CGA的空間機(jī)構(gòu)位置正解研究進(jìn)展

對于并聯(lián)機(jī)構(gòu)而言，由于支鏈之間的耦合性，造成位置逆解容易獲得、正解不易獲得。對于該問題的研究，首先要對并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行分類，如傳統(tǒng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)、平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)、冗余驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)和剛?cè)狁詈喜⒙?lián)機(jī)構(gòu)等。傳統(tǒng)方法遇到的主要問題是多元高次方程求解不易，尤其是新型冗余驅(qū)動機(jī)構(gòu)和剛?cè)狁詈喜⒙?lián)機(jī)構(gòu)的求解過程特別復(fù)雜，導(dǎo)致在這個(gè)問題上一直沒有一種適用于所有機(jī)構(gòu)的求解方法。將CGA引入該問題，張忠海等[21]基于CGA得到了4-UPU空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解，其過程簡潔明了，沒有繁雜的矩陣代數(shù)計(jì)算。對于一般并聯(lián)機(jī)構(gòu)，應(yīng)用此方法都可以得到正解[22-27]。

在平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，倪振松等[28]將CGA應(yīng)用于平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解的求解過程。張英等[29]基于CGA提出的免消元計(jì)算方法加快了平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解的研究進(jìn)展。張忠海等[30]將CGA結(jié)合Sylvester結(jié)式方法求解平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解，該算法的優(yōu)勢是能避免一般消元法產(chǎn)生的增根。黃昔光等[31]將CGA應(yīng)用于平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解求解過程，提出了由移動副和轉(zhuǎn)動副組成的平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的等效模型，應(yīng)用CGA可以同時(shí)解得1 140種平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解，并且能夠得到全部解，無漏根,無增根。邱健等[32]將CGA應(yīng)用于Stephenson平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，在得到運(yùn)動姿態(tài)輸入輸出方程后，推導(dǎo)出了能夠快速找到機(jī)構(gòu)死點(diǎn)位置的判別式。

CGA在冗余驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)上也有應(yīng)用。Kim等[33]將CGA應(yīng)用于3-SPS/S冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)，得到了位置正解，并提出了一種最優(yōu)解選取方法。該方法為求解冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置解提供了新的思路。馬朝陽[34]、高俊林[35]則是將CGA應(yīng)用于不同的冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)或混聯(lián)機(jī)構(gòu)。

對并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解的研究一直是機(jī)構(gòu)學(xué)的熱點(diǎn)問題，尤其是位置解的研究決定了后繼工作如工作空間、奇異性等方面的進(jìn)展。對于該問題已有相對完整的研究理論，如數(shù)值法、解析法還有包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法在內(nèi)的智能算法，但是這幾種方法對于耦合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)復(fù)雜的并聯(lián)機(jī)構(gòu)來說效果依然不好。CGA不僅揭示了機(jī)構(gòu)運(yùn)動的幾何特征，而且在算法上不需要考慮坐標(biāo)系的建立以及復(fù)雜的旋轉(zhuǎn)角計(jì)算。目前對于傳統(tǒng)的空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)和平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的理論研究已相對完備。隨著科技的發(fā)展，并聯(lián)機(jī)構(gòu)已發(fā)展為高精度、微操作的冗余驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)或者混聯(lián)機(jī)構(gòu)，但是CGA在這方面應(yīng)用的研究較少。雖然未來CGA在位置解的研究過程中會發(fā)展到哪一步還不得而知，但是根據(jù)目前的研究來看，它的進(jìn)一步發(fā)展值得期待。

4 基于CGA的空間機(jī)構(gòu)奇異性的研究進(jìn)展

機(jī)構(gòu)在特殊位形下，實(shí)際自由度與理論自由度不等的情況，被稱為奇異位形。由于機(jī)構(gòu)處于奇異位形將失去控制，因此奇異位形成為機(jī)構(gòu)學(xué)研究的熱點(diǎn)之一。目前對奇異位形的研究主要是如何避免工作空間中的奇異位置。因此，能否獲得一個(gè)機(jī)構(gòu)的全部奇異位形是研究奇異性的第一步。

在位置解的基礎(chǔ)上，不少學(xué)者利用CGA求解機(jī)構(gòu)的奇異性。Li和Tanev等[36-38]利用CGA求解并聯(lián)機(jī)器人的奇異性，發(fā)現(xiàn)CGA在處理6-DOF以下的并聯(lián)機(jī)器人奇異性時(shí)提供了良好的幾何洞察力和效率。Huo等[39]在奇異性方面提出了一種基于CGA的判定方法，該方法有助于運(yùn)動分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)，特別易于用計(jì)算機(jī)語言實(shí)現(xiàn)編程，極大地提高了計(jì)算效率。Yao等[40]提出了一種用CGA度量并聯(lián)機(jī)器人奇異性貼近度的指標(biāo)，該指標(biāo)沒有坐標(biāo)系，但具有清晰的物理意義和幾何意義，而且該指標(biāo)還可以應(yīng)用于結(jié)構(gòu)參數(shù)的選擇、路徑規(guī)劃和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。奇異位形的研究方法目前并不成熟，傳統(tǒng)的研究方法有螺旋理論法、雅可比矩陣法和線幾何法等，但是沒有方法能參數(shù)化地表示整個(gè)奇異位置形成的超曲面[41]。作為一種新方法，CGA在這方面的研究幾乎沒有，未來是否可以用CGA解決這個(gè)問題還有待研究。

5 基于CGA在剛?cè)狁詈虾腿哂囹?qū)動機(jī)構(gòu)的設(shè)想

剛?cè)狁詈喜⒙?lián)機(jī)構(gòu)和冗余驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)是并聯(lián)機(jī)構(gòu)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，CGA在這兩方面的應(yīng)用潛力如下：

1)由于科技的快速發(fā)展，空間機(jī)構(gòu)的研究開始向高精度的方向發(fā)展。在這種情況下，剛體的彈性變形會引起重大的誤差。在實(shí)際生活中，不存在全剛體，因此剛?cè)狁詈媳蝗藗冎饾u重視起來。尤其在康復(fù)醫(yī)療方面，基于全剛體空間機(jī)構(gòu)的康復(fù)機(jī)器人已不能滿足需求，因此有必要對剛?cè)狁詈线M(jìn)行研究。由于存在彈性體，導(dǎo)致機(jī)構(gòu)的動態(tài)分析過程變得十分困難，因此將CGA應(yīng)用于剛?cè)狁詈系目祻?fù)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)分析是機(jī)遇，也是挑戰(zhàn)。

2)冗余驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為一類特殊的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，在剛度和穩(wěn)定性、工作空間等方面有很大的優(yōu)勢。由于冗余支鏈的增加，使冗余機(jī)構(gòu)的位置解求解過程更為復(fù)雜。將CGA應(yīng)用于冗余驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)可以避免復(fù)雜的迭代計(jì)算，且可以通過冗余度快速得到最優(yōu)解。可惜的是，對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的冗余驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究較少，如何將CGA應(yīng)用于這類機(jī)構(gòu)還有待研究。

6 結(jié)束語

本文分析了CGA的計(jì)算特征，對CGA在空間機(jī)構(gòu)位置解的求解方法進(jìn)行了探討。作為幾何代數(shù)的重要分支，目前CGA在機(jī)構(gòu)學(xué)的應(yīng)用有限，多數(shù)學(xué)者只是證明了CGA在位置解求解過程中的正確性和有效性，如何提高位置解的計(jì)算效率、將CGA更好地應(yīng)用于軌跡規(guī)劃和奇異性等方面還需要進(jìn)一步研究。此外，將CGA應(yīng)用于康復(fù)機(jī)器人領(lǐng)域?qū)⑹菣C(jī)構(gòu)學(xué)領(lǐng)域的重要機(jī)遇和挑戰(zhàn)。