I3322不等式的量子違背研究

郭夢(mèng)琪, 鞏龍延

(1 南京郵電大學(xué)理學(xué)院,江蘇省新能源技術(shù)工程實(shí)驗(yàn)室, 江蘇 南京 210003;2 南京郵電大學(xué)信號(hào)處理與傳輸研究院, 江蘇 南京 210003)

0 引 言

量子關(guān)聯(lián)包括量子非局域性、量子糾纏、量子失協(xié)、量子導(dǎo)引等,是量子力學(xué)的基本特性之一。它們是量子信息處理技術(shù)中的重要資源,廣泛應(yīng)用于量子密鑰分發(fā)[1]、量子計(jì)算[2]、量子隱形傳態(tài)[3]和真隨機(jī)數(shù)生成[4]等許多方面。

1964 年,Bell 定理以不等式的形式表明任何定域?qū)嵲谡摱寂c量子力學(xué)理論不相容[5]。Bell 認(rèn)為所有定域性都有一個(gè)界限,即Bell 不等式,而量子力學(xué)所描述的世界可以突破這個(gè)界限,即量子非定域性。Bell 不等式給出了經(jīng)典世界和量子世界的分界,描述了物質(zhì)世界最基礎(chǔ)的本質(zhì),因此Bell 不等式被稱為“科學(xué)中意義最深遠(yuǎn)的發(fā)現(xiàn)”之一。1969 年,針對(duì)Bell 不等式不易被實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的缺點(diǎn),Clauser、Horne、Shimony 和Holt[6]提出了著名的CHSH 不等式。1982 年,Fine[7]認(rèn)為任何滿足Clauser-Horne(CH)不等式的量子關(guān)聯(lián)都遵循定域隱變量理論, 這一想法指出Bell 不等式具有新的理論意義[7,8]。不久, Garg和Mermin[9]認(rèn)為在一定場(chǎng)景下量子關(guān)聯(lián)滿足所有的CH 不等式,但不支持定域隱變量理論。2001 年,Pitowsky 和Svozil[10]發(fā)現(xiàn)定域隱變量模型所能預(yù)言的事件全體構(gòu)成一個(gè)凸多面體,多面體的面對(duì)應(yīng)著緊致的Bell 不等式。利用概率論和多面體理論可得出兩粒子全部的Bell 不等式[11-15],其中I3322不等式是除CHSH 不等式以外一個(gè)最簡(jiǎn)單的緊致Bell 不等式。I3322下標(biāo)的含義指Alice 和Bob 各有3 組測(cè)量基,每組測(cè)量基各有2 個(gè)可能的測(cè)量結(jié)果,后面給出詳細(xì)的解釋。存在不能違背CHSH 不等式的量子態(tài)但能違背I3322不等式[13],因此該不等式引起了人們的格外重視。

在最大糾纏態(tài)時(shí)I3322不等式可被最大違背,這種極端情形引起了人們的極大興趣并被廣泛地討論[11-15],但由于各種非理想因素的存在,實(shí)驗(yàn)室中很難制備出真正的最大糾纏態(tài)[16,17]。Ekert 理論證明,只要糾纏體系違背Bell 不等式,使用非最大糾纏態(tài)來(lái)進(jìn)行量子密鑰分發(fā)也是安全的[18]。同時(shí)噪聲環(huán)境也會(huì)影響不等式的魯棒性[19,20]。由于量子非定域性是量子信息處理技術(shù)的重要資源[21],而I3322不等式是近年來(lái)發(fā)展起來(lái)識(shí)別量子非定域性的有力工具,因此研究I3322不等式的違背對(duì)非定域性的判別具有十分重要的意義。

考慮以上所述,本文重點(diǎn)討論非最大糾纏態(tài)下I3322不等式的違背程度如何,環(huán)境噪聲下該不等式的魯棒性如何。利用MATLAB 數(shù)值仿真方法,定量研究單一糾纏態(tài)、混合糾纏態(tài)以及噪聲信道等對(duì)該不等式量子違背的影響。研究結(jié)果豐富了人們對(duì)I3322不等式量子違背的認(rèn)識(shí),對(duì)I3322不等式在量子信息處理技術(shù)的應(yīng)用有一定理論意義。

1 Bell 型不等式

Alice 和Bob 共享一個(gè)兩量子比特的糾纏態(tài)

式中IA、IB是Alice 和Bob 所持有粒子的希爾伯特空間的單位矩陣,ρ=|φ(α)〉〈φ(α)|表示初態(tài)的密度矩陣。在兩粒子、多組測(cè)量基、每組測(cè)量有2 個(gè)測(cè)量結(jié)果的場(chǎng)景,任意一個(gè)Bell 型不等式可以表示為[14]

式中bx[x∈(Ai,Bj,AiBj|1 ≤i,j≤3)]表示對(duì)應(yīng)項(xiàng)的實(shí)系數(shù),b0表示定域隱變量理論模型下的最大值。當(dāng)ma=mb=3 時(shí),定義[13,14]

新型Bell 不等式為

為方便,稱它為I3322不等式,前兩個(gè)下標(biāo)表示Alice 和Bob 各有3 組測(cè)量基,后兩個(gè)下標(biāo)表示Alice 和Bob 的每組測(cè)量基各有2 個(gè)可能的測(cè)量結(jié)果。該不等式能被最大糾纏態(tài)最大違背,且最大量子違背值為0.25[11-15],稱取得最大量子違背時(shí)的測(cè)量基組合為最優(yōu)測(cè)量基。

同時(shí),研究者將Bell 不等式推廣到更復(fù)雜的場(chǎng)景中,例如兩粒子多組測(cè)量基[11-15],多粒子兩組測(cè)量基[16,17],多粒子多組測(cè)量基情形[22-24],以及任意多粒子多組測(cè)量基場(chǎng)景[25]。針對(duì)不同場(chǎng)景,人們得出不同形式的不等式并進(jìn)行詳細(xì)討論。

2 仿真結(jié)果

(1)式表示的量子態(tài)的馮·諾依曼熵為

由于實(shí)驗(yàn)環(huán)境以及實(shí)驗(yàn)設(shè)備等因素的影響,研究人員很難制備出理想的最大糾纏光子對(duì)。只要糾纏態(tài)破壞Bell 定理,非最大糾纏態(tài)也是一種重要的量子資源,所以非最大糾纏光子對(duì)的非定域性也很重要[18]。同時(shí),通過(guò)多次測(cè)量的統(tǒng)計(jì)平均值驗(yàn)證Bell 型不等式,而實(shí)驗(yàn)中每次制備的糾纏光子對(duì)的糾纏性并不會(huì)完全相同。退一步,雖然制備出了最大糾纏光子對(duì),但由于環(huán)境噪聲的影響,導(dǎo)致最終真正被執(zhí)行操作的態(tài)不是理想的最大糾纏態(tài)。接下來(lái),將對(duì)以上三個(gè)方面進(jìn)行詳細(xì)討論。

2.1 單一糾纏態(tài)的影響

圖1(a)給出α=α0、0.1、0.3、0.5、0.9 時(shí)I3322隨仿真實(shí)驗(yàn)輪數(shù)N的關(guān)系,圖中的實(shí)線為對(duì)應(yīng)α 的100 輪I3322的平均值。當(dāng)α = α0,即最大糾纏時(shí),每輪的I3322值在平均值附近有小的漲落。100 輪的平均值= 0.2528±0.0141,更多的輪數(shù)給出同樣的結(jié)果,該平均值與最大量子違背理論值0.25 完全一致[11-15]。該結(jié)果表明該模擬方法可行、可靠,同時(shí)表明在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中若每輪做105次的測(cè)量,100 輪的平均值即可用來(lái)驗(yàn)證該不等式。圖1(a)還表明在α = 0.3、0.5、0.9 時(shí),I3322＞0,即違背不等式(5)。在α=0.1 時(shí),I3322＜0,即遵循不等式(5)。

圖1(a)I3322 隨輪數(shù)N 的變化關(guān)系;(b) 與α 的關(guān)系;(c) 與S 的關(guān)系Fig.1 (a)I3322 versus turns N;(b) versus α;(c)versus S

2.2 混合糾纏態(tài)的影響

考慮每次制備的糾纏光子對(duì)的糾纏性并不會(huì)完全相同,在每輪的仿真實(shí)驗(yàn)中,利用(4)式計(jì)算不同糾纏態(tài)下I3322的平均值,這種情形稱為混合糾纏態(tài)下的。在仿真中,假設(shè)光子源制備的糾纏光子對(duì)以α 為參數(shù),滿足正態(tài)分布P(α),取為期望值,σ2為方差,且α 的取值限定在[0,1]范圍內(nèi)。圖2(a)給出了σ=0、0.1、0.3、0.5 時(shí)的分布情況,其中σ=0 對(duì)應(yīng)單一的最大糾纏態(tài)情形。圖2(b)顯示,相比于圖1(a)的單一糾纏態(tài)情形,I3322隨仿真實(shí)驗(yàn)輪數(shù)N有較大的漲落。圖2(c)顯示平均值隨σ 的增大而減小;在σ ＜0.589,＞0,即違背不等式(5);在σ ＞0.589,＜0。此結(jié)果意味著在糾纏態(tài)參數(shù)α 較大范圍內(nèi),不等式(5)也能夠被違背。

2.3 噪聲信道的影響

實(shí)際上,光子在信道過(guò)程中不可避免地要和外界環(huán)境相互作用,所以探究環(huán)境噪聲下量子非定域性十分重要。一個(gè)量子態(tài)ρ 通過(guò)有噪量子信道后的狀態(tài)ρnoise可表示為ρnoise= ε(ρ),其中ε 是量子運(yùn)算。這種描述外部環(huán)境對(duì)系統(tǒng)影響的量子運(yùn)算可用Kraus 算子表示,即

式中Kraus 算子{Ki}滿足完備性條件:考慮Alice 制備糾纏光子對(duì),把其中的一個(gè)光子通過(guò)量子信道發(fā)送給Bob 的情形,則兩Kraus 算子表示的噪聲信道可表示為[26]

其中振幅阻尼和相位阻尼聯(lián)合作用于單量子比特的Kraus 算符表示成

式中p(0 ≤p≤1)表示量子信道中的噪聲強(qiáng)度,η(0 ≤η ≤1)表示信道中某類有噪信道的比重。

圖2 (a)正態(tài)分布P(α)與α 的關(guān)系;(b)I3322 隨輪數(shù)N 的變化關(guān)系;(c) 與σ 的關(guān)系Fig.2 (a)Normal distribution P(α)versus α;(b)I3322 versus turns N;(c) versus σ

在仿真實(shí)驗(yàn)中,初態(tài)選為最大糾纏態(tài)。當(dāng)最大糾纏初態(tài)經(jīng)過(guò)兩Kraus 算子噪聲信道后,如圖3(a)所示。隨著噪聲參數(shù)p和η 的變化,值在區(qū)間[-0.583,0.25]變化。圖3(b)給出相應(yīng)的相圖,在A 相,＞0,即違背不等式(5);在B 相,＜0。根據(jù)文獻(xiàn)[26],當(dāng)p= 0 時(shí),光子對(duì)的糾纏關(guān)聯(lián)保持,此時(shí)＞0;當(dāng)p= 1 時(shí),光子對(duì)不再有糾纏關(guān)聯(lián),此時(shí)＜0。根據(jù)文獻(xiàn)[26],η = 0 對(duì)應(yīng)相位阻尼信道,p=0.73 為A 相和B 相的分界點(diǎn);η=1 對(duì)應(yīng)幅度阻尼信道,p=0.41 為A 相和B 相的分界點(diǎn)。

3 結(jié) 論

量子非定域性是量子信息處理技術(shù)的重要資源,而I3322不等式是近年來(lái)發(fā)展起來(lái)檢驗(yàn)量子非定域性的有力工具。在最大糾纏態(tài)時(shí)I3322不等式可被最大違背,人們對(duì)這種極端情形進(jìn)行了廣泛地討論。然而實(shí)際檢驗(yàn)過(guò)程中可能存在各種非理想因素,很難得到解析表達(dá)式。因此利用MATLAB 進(jìn)行了仿真研究。結(jié)果表明對(duì)單一糾纏態(tài),糾纏度大到一定程度,不等式才能被違背;對(duì)混合糾纏態(tài),在糾纏態(tài)較大參數(shù)范圍內(nèi),不等式也能被違背;得到了在兩Kraus 算子表示的信道影響下不等式違背與不違背在噪聲參數(shù)空間的相圖。這些結(jié)果豐富了人們對(duì)I3322不等式量子違背的認(rèn)識(shí),同時(shí)對(duì)基于I3322不等式的量子信息處理技術(shù)的應(yīng)用有一定的理論意義。