Appell 函數(shù)和Humbert 函數(shù)的積分表達(dá)

王曉霞,袁學(xué)穎

(上海大學(xué)理學(xué)院, 上海 200444)

近年來, Brychkov 等[1-4]研究了雙變量超幾何級數(shù)函數(shù)的積分表達(dá)式, 如Appell 函數(shù)的積分表達(dá)式

另外, Saad[5]建立了Gordon 積分以及相關(guān)的恒等式; Sascha 等[6]建立了一系列超幾何級數(shù)的積分表達(dá)式. 受到這些已有結(jié)果的啟發(fā), 本工作建立了一些關(guān)于雙變量超幾何函數(shù)的積分表達(dá)式, 包括Appell 函數(shù)和Humbert 函數(shù)的積分表達(dá)式.

為了論文的完整性, 本工作給出了Bailey[7]和Slater[8]提出的一般超幾何函數(shù)的定義:

這里, 所有的參數(shù)屬于復(fù)數(shù)域, 分母參數(shù)為非負(fù)正整數(shù), 關(guān)于一般超幾何函數(shù)pFq更多的性質(zhì)和應(yīng)用可以參考文獻(xiàn)[7, 9]. 復(fù)數(shù)a的n次升階乘(a)n為

式中: Γ 函數(shù)[10]的定義為

與Γ 函數(shù)關(guān)系密切的Beta 函數(shù)[10]定義為

接下來, 給出Srivastava 等[11]提出的雙變量超幾何函數(shù)的定義為

式中: 所有的參數(shù)屬于復(fù)數(shù)域, 分母參數(shù)為非負(fù)正整數(shù);An表示序列(A1,A2,··· ,An), 以及((Aa))n= (A1)n(A2)n ···(Aa)n[11]. 本工作所研究的雙變量超幾何函數(shù)及一般超幾何函數(shù)都是在其一致收斂的情況下討論的.

雙變量超幾何函數(shù)在超幾何函數(shù)領(lǐng)域中具有重要的研究意義, 其中著名的Appell 函數(shù)[12]定義為

同樣具有重要研究意義的Humbert 函數(shù)[13]包含

1 雙變量超幾何函數(shù)積分表達(dá)

借助Γ 函數(shù)和Beta 函數(shù)的定義, 本工作將給出對雙變量超幾何函數(shù)積分的表達(dá)式. 適當(dāng)選擇定理中的參數(shù), 可以得到Appell 函數(shù)和Humbert 函數(shù)的積分表達(dá)式.

定理1下面的積分表達(dá)式是正確的:

證明 這里只證明式(1), 式(2)可同理證明. 根據(jù)雙變量超幾何函數(shù)的定義, 式(1)的左邊形式可以表示為

這里, 認(rèn)定上式中的雙變量求和式是一致收斂的, 則可改變上式中求和運(yùn)算與積分運(yùn)算的順序, 可以很容易地得到

令u/w →t, 根據(jù)Beta 函數(shù)的定義, 得到

經(jīng)過整理, 可以得到式(1)的右邊形式, 證畢.

適當(dāng)?shù)剡x擇定理1 中的參數(shù), 可以得到Appell 和Humbert 函數(shù)的積分表達(dá)式.

例1 (Appell 函數(shù)的積分表達(dá)式)

Brychkov 等在文獻(xiàn)[1-4]已經(jīng)給出這4 個(gè)積分表達(dá)式.

例2 (Humbert 函數(shù)的積分表達(dá)式)

定理2下面的積分表達(dá)式是正確的:

證明 利用雙變量超幾何函數(shù)的定義, 式(3)的左邊形式為

根據(jù)Beta 函數(shù)的定義, 得到

經(jīng)過整理, 即可得到式(3)的右邊形式, 同理可證式(4), 證畢.

給定定理2 中的參數(shù), 就可以得到Appell 函數(shù)的積分表達(dá)式.

例3 (Appell 函數(shù)的積分表達(dá)式)

根據(jù)Beta 函數(shù)的定義, 還可以得到如下定理.

定理3下面的積分表達(dá)式是正確的:

證明 這里, 認(rèn)定式(5)中的雙變量求和式是一致收斂的, 根據(jù)雙變量超幾何函數(shù)的定義,式(5)的左邊形式為

通過變量代換cu/w →t以及Beta 函數(shù)的定義, 可得

經(jīng)過整理可以得到式(5)的右邊形式, 證畢.

從定理3 出發(fā), 得到了Appell 函數(shù)和Humbert 函數(shù)的積分表達(dá)式.

例5 (Appell 函數(shù)的積分表達(dá)式)

定理4下面的積分表達(dá)式是正確的:

證明 此處給出式(6)的證明, 式(7)同理可證. 這里, 認(rèn)定上式中的雙變量求和式是一致收斂的, 根據(jù)雙變量超幾何函數(shù)的定義, 式(6)的左邊形式為

根據(jù)Γ 函數(shù)的定義, 可得

經(jīng)過整理, 可以得到式(6)的左邊, 證畢.

關(guān)于定理4, 這里給出Appell 函數(shù)和Humbert 函數(shù)的積分表達(dá)式.

例7 (Appell函數(shù)的積分表達(dá)式)

在定理4 中選擇合適的參數(shù), 還可以得到Humbert 函數(shù)的積分表達(dá)式.

例8 (Humbert 函數(shù)的積分表達(dá)式)

除了Appell 和Humbert 函數(shù)的積分表達(dá)式外, 上述4 個(gè)定理還可以得到其他結(jié)果.

2 一般超幾何級數(shù)積分表達(dá)

定理5下面的積分表達(dá)式是正確的:

證明 根據(jù)一般超幾何函數(shù)的定義, 式(8)的左邊形式為

這里, 認(rèn)定式(8)中的單變量求和式是一致收斂的, 可改變上式中求和運(yùn)算與積分運(yùn)算的順序,并令px →t, 得到

然后, 上述式子可以簡化為

經(jīng)過整理, 得出式(8)的右邊形式, 證畢.

將定理5 中的參數(shù)進(jìn)行特殊化, 可以得到下面幾個(gè)積分表達(dá)式.

“凡有血?dú)?，皆有爭心”暗示“爭”是伴隨血?dú)庵鴣淼囊环N本能沖動(dòng)，是“六志”不得協(xié)調(diào)的結(jié)果。而“六志”經(jīng)由禮樂文化的疏導(dǎo)和滿足才可能達(dá)致協(xié)調(diào)，當(dāng)“變法”活動(dòng)成為春秋后期的一股潮流之時(shí)，叔向、蔡史墨及仲尼這樣一些深諳禮樂精神的賢人已經(jīng)指出，那些改變禮樂傳統(tǒng)所塑造的社會(huì)形態(tài)的改革活動(dòng)，將不可避免地導(dǎo)向“錐刀之末，將盡爭之”的亂境。禮與爭的對立關(guān)系，或許在“受天地之中以生”的人群中有其根源。這一認(rèn)識(shí)構(gòu)成了荀子禮論的重要基礎(chǔ)。

例9 (Humbert 函數(shù)的積分表達(dá)式)

借助著名的Euler 求和定理, 本研究建立了其他雙變量超幾何函數(shù)的積分表達(dá)式.

定理6下面的積分表達(dá)式是正確的:

證明 這里僅給出式(9)的證明, 同理可證其他3 個(gè)公式. 認(rèn)定上式中的單變量求和式是一致收斂的, 根據(jù)一般超幾何函數(shù)pFq的定義, 式(9)左邊形式為

上述公式中, 本工作運(yùn)用了Euler 求和定理[8]

式(9)得證.

適當(dāng)?shù)剡x擇定理6 的參數(shù), 給出Appell 函數(shù)與Humbert 函數(shù)的積分表達(dá)式.

例10 (Appell 函數(shù)與Humbert 函數(shù)的積分表達(dá)式)

根據(jù)Gauss 求和式(12), 本工作建立了雙變量超幾何級數(shù)的積分表達(dá)式.

定理7下面的積分表達(dá)式是正確的:

證明 根據(jù)一般超幾何函數(shù)的定義, Euler 求和定理(見式(10))和Guass 求和公式[12]

將式(11)的左邊形式簡化為

經(jīng)過整理, 得到式(11)的右邊形式, 證畢.

適當(dāng)選擇定理7 中的參數(shù), 可以得到Appell 函數(shù)的積分表達(dá)式.

例11 (Appell 函數(shù)的積分表達(dá)式)

Brychkov 等[1]已經(jīng)研究了這個(gè)積分表達(dá)式. 接下來, 通過泰勒展開式(15), 可以建立定理8 中的雙變量超幾何函數(shù)的積分表達(dá)式.

定理8下面的積分表達(dá)式是正確的:

證明 下面僅證明式(13), 同理可證式(14). 這里, 認(rèn)定上式中的單變量求和式是一致收斂的, 根據(jù)一般超幾何函數(shù)的定義, 式(13)的左邊形式為

根據(jù)ex的泰勒展開式[10], 即

得到

經(jīng)過整理, 得到式(13)的右邊形式, 證畢.

從定理8 出發(fā), 給出以Φ2和1函數(shù)為例的積分表達(dá)式.

例12 (Φ2和1函數(shù)的積分表達(dá)式)