基于ARIMA和LSTM混合模型的時(shí)間序列預(yù)測(cè)

王英偉 馬樹才

(遼寧大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院 遼寧 沈陽 110036)

0 引 言

時(shí)間序列預(yù)測(cè)在眾多領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如金融、經(jīng)濟(jì)、工程和航空等，并成為機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的重要研究課題[1]?，F(xiàn)實(shí)中時(shí)間序列通常同時(shí)具有線性和非線性特征，因此對(duì)不同時(shí)間序列現(xiàn)象建立模型并準(zhǔn)確預(yù)測(cè)已成為最具挑戰(zhàn)的應(yīng)用之一。

ARIMA等統(tǒng)計(jì)模型以簡(jiǎn)單和靈活性被大量用于時(shí)間序列預(yù)測(cè)[2-3]，但現(xiàn)實(shí)中的時(shí)間序列通常具有非線性特征，而傳統(tǒng)時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法是線性模型，在對(duì)時(shí)間序列建模中表現(xiàn)出一定局限性[4]。因此，支持向量機(jī)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等非線性模型，被廣泛用于時(shí)間序列預(yù)測(cè)領(lǐng)域[5]。其中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有強(qiáng)大的非線性、映射性和自適應(yīng)性等特征，可以有效提高預(yù)測(cè)精度，以LSTM為代表的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)成為近年來的研究熱點(diǎn)。但單一非線性模型對(duì)同時(shí)具有線性和非線性特征的時(shí)間序列并不能獲得最優(yōu)結(jié)果[6]。

由于單一模型的局限性，眾多學(xué)者提出由線性和非線性模型組成的混合模型。Zhang[7]和Oliveira等[1]假設(shè)時(shí)間序列同時(shí)具有線性和非線性特征，并分別提出ARIMA-ANN混合模型和ARIMA-SVR混合模型，ARIMA用于提取線性特征，而ANN和SVR用于提取殘差特征，最后對(duì)兩者進(jìn)行組合，后者應(yīng)用PSO選擇模型參數(shù)。文獻(xiàn)[8]提出ARIMA-SVR_s混合模型，首先將時(shí)間序列分解為高波動(dòng)率和低波動(dòng)率兩部分，并分別使用ARIMA和AR_SVR對(duì)兩部分建模，最后將兩者結(jié)果組合。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，混合模型可以有效提高預(yù)測(cè)精度。以上模型均假設(shè)時(shí)間序列是線性特征和非線性特征的線性組合,但在實(shí)際應(yīng)用中，兩者可能存在非線性關(guān)系，從而影響混合模型的性能。

針對(duì)上述問題，本文對(duì)線性和非線性模型預(yù)測(cè)結(jié)果的組合方式提出新的策略。首先采用ARIMA模型提取時(shí)間序列線性特征，然后用SVR模型對(duì)ARIMA模型的預(yù)測(cè)值和實(shí)際值間的誤差序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，最后將前兩者預(yù)測(cè)結(jié)果作為LSTM模型的輸入對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，并應(yīng)用貝葉斯優(yōu)化算法選擇深度LSTM模型的超參數(shù)。

1 ARIMA模型

ARIMA模型是由Box和Jenkins提出的用于時(shí)間序列分析和預(yù)測(cè)的線性模型。在時(shí)間序列分析中，需要設(shè)置3個(gè)參數(shù)，分別為自回歸階數(shù)(p)、差分階數(shù)(d)和移動(dòng)平均階數(shù)(q)，ARIMA(p,d,q)的一般形式如下：

(1)

φ(B)=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp

(2)

θ(B)=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq

(3)

式中：B為后移算子；▽d=(1-B)d為高階差分；φi(i=1,2,…,p)和θj(j=1,2,…,q)分別為自回歸參數(shù)和移動(dòng)平均參數(shù)；εt為符合N(0,σ2)正態(tài)分布的誤差項(xiàng)。式(2)和式(3)分別為自回歸相關(guān)系數(shù)多項(xiàng)式和移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式。

時(shí)間序列yt應(yīng)先采用ADF檢驗(yàn)選取差分階數(shù)，將時(shí)間序列變?yōu)槠椒€(wěn)序列，再根據(jù)赤池信息準(zhǔn)則(Akaike Information Criterion，AIC)選擇最佳模型。

2 支持向量回歸

支持向量回歸是基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化(SRM)原則進(jìn)行泛化誤差上界最小化，最初由文獻(xiàn)[9]提出的機(jī)器學(xué)習(xí)方法。

f(x)=ωφ(x)+b

(4)

式中：ω為權(quán)值向量;φ是將樣本空間映射到高維空間的非線性變換函數(shù);b為偏差。

為保證支持向量回歸具有稀疏性，引入ε不敏感損失函數(shù)，允許樣本值落入不敏感損失帶，即允許最大為ε的誤差，公式如下：

(5)

參數(shù)ω和b通過式(6)求得。

(6)

s.t.yi-ωφ(x)-b≤ε+ξ

ωφ(x)+b-yi≤ε+ξ*

ξ,ξ*≥0,i=0,1,…,l

式中：‖w‖2為模型復(fù)雜度項(xiàng);C為懲罰因子，用于平衡模型復(fù)雜度和最小訓(xùn)練誤差;ξ和ξ*表示松弛變量，用以度量不敏感損失帶外的訓(xùn)練樣本偏離程度。將式(6)引入拉格朗日函數(shù)和核函數(shù)，則非線性回歸函數(shù)表示為：

(7)

3 LSTM模型

循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RNN)是用于處理序列數(shù)據(jù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。其最大特點(diǎn)是神經(jīng)元在某一時(shí)刻的輸出能夠作為輸入再次輸入到神經(jīng)元，從而使網(wǎng)絡(luò)具有記憶能力，但RNN無法解決長期時(shí)間序列依賴問題。因此，Hochreiter等[10]提出長短期記憶(LSTM)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

LSTM模型是標(biāo)準(zhǔn)RNN的一種變體，通過引入記憶單元(Memory Cell)解決長期依賴問題，即梯度消失和梯度爆炸[11]，記憶單元結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 LSTM記憶單元圖

每個(gè)記憶單元包含三個(gè)門控結(jié)構(gòu)：遺忘門(ft)、輸入門(it)和輸出門(ot)，用于對(duì)類似傳送帶的單元狀態(tài)(Cell State)進(jìn)行移除和添加信息。每個(gè)門控結(jié)構(gòu)由一個(gè)sigmoid神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層和一個(gè)點(diǎn)乘操作組成。假設(shè)xt表示t時(shí)刻的輸入向量，Wf、Ws、Wi和Wo表示循環(huán)層權(quán)重矩陣，Uf、Us、Ui和Uo表示輸入層權(quán)重矩陣，bf、bs、bi和bo表示偏置向量，ht表示LSTM層的輸出向量，計(jì)算過程如下：

1) 通過遺忘門移除單元狀態(tài)St-1中的無用歷史信息，并計(jì)算遺忘門激活值：

ft=sigmoid(Ufxt+Wfht-1+bf)

(8)

2) 通過輸入門決定將哪些新信息存儲(chǔ)到單元狀態(tài)：

it=sigmoid(Uixt+Wiht-1+bi)

(9)

(10)

3) 將舊單元狀態(tài)St-1更新為新單元狀態(tài)St：

(11)

4) 輸出門通過sigmoid層決定需要輸出的單元狀態(tài)，并將輸出結(jié)果Ot和經(jīng)過tanh層的新單元狀態(tài)tanh(St)相乘計(jì)算記憶單元的輸出ht：

Ot=sigmoid(Uoxt+Woht-1+bo)

(12)

ht=Ot?tanh(St)

(13)

LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)要求輸入連續(xù)時(shí)間步上的特征向量值以便進(jìn)行訓(xùn)練。假設(shè)每個(gè)序列共有N個(gè)時(shí)間步，并且SN表示第N個(gè)時(shí)間步的特征向量,所以第M個(gè)序列可以表示為{SM,SM+1,…,SM+N-1},輸入特征向量序列的構(gòu)造方式如圖2所示。

圖2 LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入特征向量序列構(gòu)造方式

4 深度LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

深度LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由多個(gè)基本LSTM模塊組成，核心思想是在較低LSTM層建立輸入數(shù)據(jù)的局部特征，并在較高LSTM層進(jìn)行整合。實(shí)驗(yàn)證明，深度LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)能力更強(qiáng)[12]。

圖3 深度LSTM網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

5 貝葉斯優(yōu)化算法

貝葉斯優(yōu)化算法是一種高效的全局優(yōu)化算法[13]。它能夠在每次迭代中，根據(jù)代理模型擬合實(shí)際目標(biāo)函數(shù)的結(jié)果選擇最優(yōu)評(píng)估點(diǎn)，減少目標(biāo)函數(shù)的迭代次數(shù)，尤其適合對(duì)評(píng)估代價(jià)高昂的黑盒目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，因此被廣泛用于機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)的超參數(shù)優(yōu)化。

假設(shè)目標(biāo)函數(shù)f:X→R，貝葉斯優(yōu)化采用基于模型的序貫優(yōu)化法對(duì)式(14)中的最優(yōu)化問題求解。

(14)

貝葉斯優(yōu)化算法的迭代過程可以分為三個(gè)部分。(1) 根據(jù)最大化采集函數(shù)選擇最優(yōu)評(píng)估點(diǎn)，即xn+1=argmaxap(x)，其中ap(f):X→R為采集函數(shù)，p(f)為f的先驗(yàn)概率分布；(2) 評(píng)估目標(biāo)函數(shù)yn+1=f(xn+1)+ε，并將新的點(diǎn)(xn+1,yn+1)加入觀測(cè)數(shù)據(jù)Dn=(xj,yj),j=1，2，…，n；(3) 更新f的后驗(yàn)概率分布和采集函數(shù)，分別表示為p(f|Dn+1)和ap(f|Dn+1)。

本文采用高斯過程(GP)作為代理模型，而采集函數(shù)則使用期望提高(Expected Improvement, EI)函數(shù)。

6 ARIMA_DLSTM模型

圖4 ARIMA_DLSTM模型流程

7 實(shí) 驗(yàn)

7.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與預(yù)處理

本文采用5組來自不同領(lǐng)域的時(shí)間序列數(shù)據(jù)集進(jìn)行實(shí)證研究，分別為Canadian Lynx、Colorado River flow、Airline Passengers、比特幣兌美元匯率和國內(nèi)糖期貨價(jià)格指數(shù)。以上具有不同統(tǒng)計(jì)特征的數(shù)據(jù)集在時(shí)間序列預(yù)測(cè)研究的文獻(xiàn)中被廣泛應(yīng)用[7,14-15]。

首先對(duì)Canadian Lynx數(shù)據(jù)集進(jìn)行對(duì)數(shù)化處理，即將所有值取常用對(duì)數(shù)，再對(duì)每個(gè)數(shù)據(jù)集按4∶1的比例劃分為訓(xùn)練集和測(cè)試集，訓(xùn)練集用于訓(xùn)練模型，測(cè)試集用于評(píng)估模型性能。Canadian Lynx數(shù)據(jù)集共有114個(gè)樣本，其中前100個(gè)樣本作為訓(xùn)練集，后14個(gè)樣本作為測(cè)試集。Colorado River flow數(shù)據(jù)集共有744個(gè)樣本，前595個(gè)樣本作為訓(xùn)練集，后149個(gè)樣本作為測(cè)試集。Airline Passengers數(shù)據(jù)集共有144個(gè)樣本，前115個(gè)樣本作為訓(xùn)練集，后29個(gè)樣本作為測(cè)試集。比特幣兌美元匯率采用2014年12月至2019年7月間的數(shù)據(jù)，共有1 672個(gè)樣本，前1 472個(gè)樣本作為訓(xùn)練集，后200個(gè)樣本作為測(cè)試集。國內(nèi)糖期貨價(jià)格指數(shù)采用2006年3月至2019年4月間共3 190個(gè)樣本，前3 000個(gè)樣本作為訓(xùn)練集，后190個(gè)樣本作為測(cè)試集。

在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練中，數(shù)據(jù)間的量綱差別對(duì)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練是否能收斂以及預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性起到關(guān)鍵作用[16]。因此，在建模前需要對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，本文利用式(15)將樣本數(shù)據(jù)歸一化至[0,1]區(qū)間。

(15)

式中：minI(t)和maxI(t)分別為訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的最小值和最大值。訓(xùn)練后的輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行反歸一化處理，以便得到預(yù)測(cè)值。

為提高模型泛化能力，采用如下兩種方式避免過擬合。首先，采用失活(dropout)正則化，在網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的每次更新中，以一定失活率隨機(jī)選擇一部分單元失活，包括輸入連接和遞歸連接，可以有效防止過擬合。如果采用深度LSTM網(wǎng)絡(luò)，可以同時(shí)在每層間采用失活正則化，所以每層網(wǎng)絡(luò)共有三個(gè)失活參數(shù)。其次采用早停法，將訓(xùn)練樣本劃分為訓(xùn)練集和驗(yàn)證集，在每次迭代中，分別計(jì)算訓(xùn)練集和驗(yàn)證集的損失值，如果驗(yàn)證集損失值在步數(shù)k內(nèi)不再減少，則停止訓(xùn)練，并返回最低驗(yàn)證損失值的模型參數(shù)。本文中使用兩層LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，因此共有六個(gè)失活參數(shù)。在訓(xùn)練集中，80%樣本作為訓(xùn)練集，20%樣本作為驗(yàn)證集，步數(shù)k設(shè)置為50。

7.2 衡量指標(biāo)

為評(píng)估ARIMA_DLSTM模型的預(yù)測(cè)性能，本文采用均方誤差(MSE)、平均絕對(duì)百分比誤差(MAPE)和平均絕對(duì)誤差(MAE)作為衡量預(yù)測(cè)精度的指標(biāo)。計(jì)算公式分別為：

(16)

(17)

(18)

式中：Xt表示實(shí)際值;Ft表示預(yù)測(cè)值;N為時(shí)間序列數(shù)據(jù)集的樣本數(shù)量。

7.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表1中列出ARIMA_DLSTM混合模型中SVR模型和DLSTM模型的參數(shù)及其選擇范圍。SVR模型采用RBF核函數(shù)，超參數(shù)包括懲罰系數(shù)C、不敏感損失系數(shù)ε、寬度系數(shù)γ和時(shí)間步timestep，可以通過網(wǎng)格搜索進(jìn)行選擇，時(shí)間步數(shù)為輸入序列的長度。DLSTM模型的層數(shù)為2，超參數(shù)包括每層神經(jīng)元數(shù)量和dropout參數(shù)，其中dropout參數(shù)包括輸入連接、遞歸連接和每層連接之間失活參數(shù)，所以2層網(wǎng)絡(luò)共有6個(gè)參數(shù)，并采用貝葉斯優(yōu)化算法[17]進(jìn)行超參數(shù)選擇，算法迭代次數(shù)為50。為評(píng)估ARIMA_DLSTM混合模型的性能，將ARIMA[7]、ARIMAMLP[18]、ARIMA_MLP[7]、ARIMA_SVR[8]和ARIMA_SVR_s[1]預(yù)測(cè)模型作為對(duì)比模型。

表1 模型參數(shù)及取值范圍

(1) Canadian Lynx數(shù)據(jù)集。在SVR模型中，懲罰系數(shù)C為1 000，不敏感損失系數(shù)ε為0.1，寬度系數(shù)γ為1.0，時(shí)間步(輸入序列長度)為10。LSTM模型的每層神經(jīng)元個(gè)數(shù)分別為26和21，dropout為[0.10,0.26,0.16,0.12,0.27,0.26]，時(shí)間步為5，迭代次數(shù)為2 000次。

圖5給出利用貝葉斯優(yōu)化算法對(duì)LSTM模型進(jìn)行超參數(shù)優(yōu)化的最優(yōu)驗(yàn)證誤差迭代圖?？梢钥闯?，算法在第42次迭代后誤差值最優(yōu)。

圖5 貝葉斯優(yōu)化算法在Canadian Lynx的驗(yàn)證誤差迭代圖

表2給出了不同模型在Canadian Lynx時(shí)間序列測(cè)試集中的預(yù)測(cè)結(jié)果?？梢姡珹RIMA_SVR模型在比較模型中最優(yōu)，而ARIMA_DLSTM模型的測(cè)試結(jié)果比ARIMA_SVR模型的MSE、MAPE和MAE值分別降低53.47%、24.84%和26.80%。

表2 對(duì)Canadian Lynx時(shí)間序列預(yù)測(cè)結(jié)果

圖6給出ARIMA模型和ARIMA_DLSTM模型在Canadian Lynx測(cè)試集上的預(yù)測(cè)結(jié)果。由圖6可知，ARIMA_DLSTM模型的預(yù)測(cè)結(jié)果和真實(shí)值更加接近，有效提高了ARIMA模型的性能。

圖6 ARIMA模型和ARIMA_DLSTM模型在Canadian Lynx的時(shí)序列測(cè)結(jié)果

(2) Colorado River flow數(shù)據(jù)集。在SVR模型中，懲罰系數(shù)C為1 000，不敏感損失系數(shù)ε為0.001，寬度系數(shù)γ為0.01，時(shí)間步(輸入序列長度)為24。LSTM模型的每層神經(jīng)元個(gè)數(shù)分別為24和34，dropout為[0.14,0.32,0.22,0.18,0.28,0.18]，時(shí)間步為43，迭代次數(shù)為2 000次。

圖7給出利用貝葉斯優(yōu)化算法對(duì)LSTM模型進(jìn)行超參數(shù)優(yōu)化的最優(yōu)驗(yàn)證誤差迭代圖?？梢?，算法在第30次迭代后誤差值最優(yōu)。

圖7 貝葉斯優(yōu)化算法在Colorado River flow的驗(yàn)證誤差迭代圖

表3給出了不同模型在Colorado River flow時(shí)間序列測(cè)試集中的預(yù)測(cè)結(jié)果?？梢姡珹RIMA_MLP模型的MSE和MAE值在比較模型中最優(yōu)，ARIMA_SVR_s模型的MAPE值最優(yōu)，而ARIMA_DLSTM模型的測(cè)試結(jié)果比最優(yōu)MSE、MAPE和MAE值分別降低82.15%、41.58%和38.26%。

表3 對(duì)Colorado River flow時(shí)間序列預(yù)測(cè)結(jié)果

圖8給出ARIMA模型和ARIMA_DLSTM模型在Colorado River flow測(cè)試集上的預(yù)測(cè)結(jié)果?？梢钥闯?，ARIMA_DLSTM模型預(yù)測(cè)值存在滯后現(xiàn)象，但和真實(shí)值更接近，優(yōu)于ARIMA模型。

圖8 ARIMA模型和ARIMA_DLSTM模型在Colorado River flow的時(shí)序預(yù)測(cè)結(jié)果

(3) Airline Passengers數(shù)據(jù)集。在SVR模型中，懲罰系數(shù)C為1 000，不敏感損失系數(shù)ε為0.01，寬度系數(shù)γ為0.01，時(shí)間步(輸入序列長度)為16。LSTM模型的每層神經(jīng)元個(gè)數(shù)分別為35和22，dropout為[0.14,0.27,0.11,0.10,0.27,0.25]，時(shí)間步為47，迭代次數(shù)為2 000次。

圖9給出利用貝葉斯優(yōu)化算法對(duì)LSTM模型進(jìn)行超參數(shù)優(yōu)化的最優(yōu)驗(yàn)證誤差迭代圖?？梢钥闯?，算法在第41次迭代后誤差值最優(yōu)。

圖9 貝葉斯優(yōu)化算法在Airline Passengers的驗(yàn)證誤差迭代圖

表4給出了不同模型在Airline Passengers時(shí)間序列測(cè)試集中的預(yù)測(cè)結(jié)果?？梢钥闯?，ARIMA_SVR_s模型預(yù)測(cè)結(jié)果在比較模型中最優(yōu)，而ARIMA_DLSTM模型的測(cè)試結(jié)果比最優(yōu)MSE、MAPE和MAE值分別降低23.61%、8.09%和5.72%。

表4 對(duì)Airline Passengers時(shí)間序列預(yù)測(cè)結(jié)果

圖10給出ARIMA模型和ARIMA_DLSTM模型在Airline Passengers測(cè)試集上的預(yù)測(cè)結(jié)果?？梢钥闯觯珹RIMA_DLSTM模型預(yù)測(cè)值和真實(shí)值間趨勢(shì)基本吻合，有效提高了ARIMA模型的預(yù)測(cè)精度。

圖10 ARIMA模型和ARIMA_DLSTM模型在Airline Passengers 時(shí)間序列預(yù)測(cè)結(jié)果

(4) 比特幣匯率數(shù)據(jù)集。在SVR模型中，懲罰系數(shù)C為1 000，不敏感損失系數(shù)ε為0.001，寬度系數(shù)γ為0.01，時(shí)間步(輸入序列長度)為7。LSTM模型的每層神經(jīng)元個(gè)數(shù)分別為23和22，dropout為[0.23,0.11,0.17,0.16,0.32,0.16]，時(shí)間步為40，迭代次數(shù)為2 000次。

圖11給出利用貝葉斯優(yōu)化算法對(duì)LSTM模型進(jìn)行超參數(shù)優(yōu)化的最優(yōu)驗(yàn)證誤差迭代圖。可以看出，算法在第16次迭代后誤差值最優(yōu)。

圖11 貝葉斯優(yōu)化算法在Bitcoin匯率的驗(yàn)證誤差迭代圖

表5給出了不同模型在Bitcoin匯率時(shí)間序列測(cè)試集中的預(yù)測(cè)結(jié)果。可以看出，ARIMA_SVR_s模型預(yù)測(cè)結(jié)果在比較模型中最優(yōu)，而ARIMA_DLSTM模型的測(cè)試結(jié)果比最優(yōu)MSE、MAPE和MAE值分別降低17.8%、17.13%和10.4%。

表5 對(duì)Bitcoin匯率時(shí)間序列預(yù)測(cè)結(jié)果

圖12給出ARIMA模型和ARIMA_DLSTM模型在Bitcoin匯率測(cè)試集上后20組數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)結(jié)果?？梢钥闯?，ARIMA_DLSTM模型預(yù)測(cè)值和真實(shí)值之間雖有滯后現(xiàn)象，但趨勢(shì)吻合，能夠提高ARIMA模型的預(yù)測(cè)精度。

圖12 ARIMA模型和ARIMA_DLSTM模型在Bitcoin匯率時(shí)間序列預(yù)測(cè)結(jié)果

(5) 糖價(jià)格指數(shù)數(shù)據(jù)集。在SVR模型中，懲罰系數(shù)C為1 000，不敏感損失系數(shù)ε為0.001，寬度系數(shù)γ為1，時(shí)間步(輸入序列長度)為3。LSTM模型的每層神經(jīng)元個(gè)數(shù)分別為27和5，dropout為[0.03,0.18,0.19,0.06,0.01,0.3]，時(shí)間步為20，迭代次數(shù)為2 000次。

圖13給出利用貝葉斯優(yōu)化算法對(duì)LSTM模型進(jìn)行超參數(shù)優(yōu)化的最優(yōu)驗(yàn)證誤差迭代圖?？梢钥闯?，算法在第25次迭代后誤差值最優(yōu)。

圖13 貝葉斯優(yōu)化算法在糖價(jià)格指數(shù)的驗(yàn)證誤差迭代圖

表6給出了不同模型在糖價(jià)格指數(shù)時(shí)間序列測(cè)試集中的預(yù)測(cè)結(jié)果?？梢钥闯觯珹RIMA_SVR_s模型預(yù)測(cè)結(jié)果在比較模型中最優(yōu)，而ARIMA_DLSTM模型的測(cè)試結(jié)果比最優(yōu)MSE、MAPE和MAE值分別降低12.48%、3.17%和3.88%。

表6 對(duì)糖價(jià)格指數(shù)時(shí)間序列預(yù)測(cè)結(jié)果

圖14給出ARIMA模型和ARIMA_DLSTM模型在糖價(jià)格指數(shù)測(cè)試集上后20組數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)結(jié)果?？梢钥闯觯珹RIMA_DLSTM模型預(yù)測(cè)值和真實(shí)值更接近，精度更高。

圖14 ARIMA模型和ARIMA_DLSTM模型在該時(shí)間序列預(yù)測(cè)結(jié)果

圖15給出了5個(gè)數(shù)據(jù)集下的ARIMA模型和5種混合模型的MSE誤差比雷達(dá)圖，圖中曲線的頂點(diǎn)位置越靠近邊緣則顯示MSE誤差比越大，說明相應(yīng)的混合模型相比于ARIMA模型的MSE誤差更低?？梢钥闯?，ARIMA_DLSTM模型在所有時(shí)間序列中MSE誤差最低，其中在Colorado River flow時(shí)間序列中的誤差比最大，優(yōu)勢(shì)最為明顯。

圖15 5個(gè)數(shù)據(jù)集下的MSE誤差比雷達(dá)圖

8 結(jié) 語

本文提出了一種基于ARIMA模型、SVR模型和深度LSTM模型的ARIMA_DLSTM時(shí)間序列混合預(yù)測(cè)模型。ARIMA模型和SVR模型能夠分別提取時(shí)間序列的線性特征和誤差序列的非線性特征，深度LSTM模型對(duì)線性和非線性預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行非線性組合。對(duì)來自不同領(lǐng)域的時(shí)間序列進(jìn)行實(shí)證分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，提出的ARIMA_DLSTM模型和其他混合模型相比，能夠有效提高預(yù)測(cè)精度，有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。