解答排列組合問(wèn)題常用的幾種方法

顧瑤

排列組合問(wèn)題常以選擇題或者填空題的形式出現(xiàn)在各類(lèi)試題中，側(cè)重于考查同學(xué)們的分析能力和運(yùn)算能力.此類(lèi)問(wèn)題的命題方式千變?nèi)f化，因而解題的方法也多種多樣.本文重點(diǎn)談一談三種解答排列組合問(wèn)題的常用方法：捆綁法、插空法、縮倍法.

一、捆綁法

捆綁法一般用于解答要求若干個(gè)元素相鄰的問(wèn)題.運(yùn)用捆綁法解題，需首先將要求相鄰元素看作一個(gè)整體當(dāng)作一個(gè)大元素，再將其與其他元素一起排列，然后分別求出大元素內(nèi)部元素的排列數(shù)以及與外部元素一起排列的排列數(shù)，最后根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得問(wèn)題的答案.

例1.某服裝廠生產(chǎn)了一批衣服，這批衣服中的每一件衣服上都有8個(gè)顏色不同的紐扣，這8個(gè)紐扣都排成一列.要求紅色、黃色、藍(lán)色3種顏色的紐扣必須相鄰，紅色的紐扣必須在這3種顏色的紐扣的中間，那么一共有多少種排列方法？

分析：根據(jù)題意可知，紅色、黃色、藍(lán)色3種顏色的紐扣必須相鄰，則可用捆綁法求解.可先將這3種顏色的紐扣的順序排好，然后將其看作一個(gè)大元素與其他5個(gè)紐扣一起排列，再運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理求解.

二、插空法

若要求幾個(gè)元素不相鄰的問(wèn)題，則可用插空法求解.運(yùn)用插空法解題，需首先明確哪些元素不相鄰，哪些元素沒(méi)有要求，然后將沒(méi)有要求的元素先排好順序，再將要求不相鄰的元素插入已排好的元素的空隙中和兩端的位置上，最后根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算結(jié)果即可.

例2.小明買(mǎi)了5個(gè)大小差不多的蘋(píng)果和3個(gè)大小差不多的梨子，現(xiàn)在小明想將這8個(gè)水果排成一列，但不想把梨子放在最前面，且這3個(gè)梨子中的任意2個(gè)梨子都不相鄰，那么不同的排列方式有多少種？

分析：根據(jù)題意可知，3個(gè)梨子中的任意2個(gè)梨子都不相鄰，則說(shuō)明這是一個(gè)不相鄰問(wèn)題，可以運(yùn)用插空法求解.需先將沒(méi)有要求的5個(gè)蘋(píng)果的順序排列，在將3個(gè)梨子放在5個(gè)蘋(píng)果的空隙和兩端的位置上進(jìn)行排列.

三、縮倍法

有些排列組合問(wèn)題中的元素要求維持某一固定的順序排列，對(duì)于這類(lèi)定序問(wèn)題，我們通常采用縮倍法來(lái)求解.縮倍法是指根據(jù)題目的要求，結(jié)合某一既定的順序，通過(guò)縮小倍數(shù)的方式來(lái)處理問(wèn)題.在運(yùn)用縮倍法解題時(shí)，第一步要明確哪些元素要保持某一固定的順序，第二步要結(jié)合題目的要求找到需縮小的倍數(shù)，第三步需根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理求出問(wèn)題的答案.

例3.周末，小李和爸爸、媽媽、爺爺、奶奶5人一起去拍照，攝影師要求他們并列站成一排，并且要求小李的媽媽一定要站在小李的爸爸的右邊，請(qǐng)問(wèn)有多少種站法？

捆綁法、插空法、縮倍法都是解答排列組合問(wèn)題的常用方法.但捆綁法一般適用于求解相鄰問(wèn)題，插空法通常適用于解答不相鄰問(wèn)題，這兩種方法的適用對(duì)象恰好相反，而運(yùn)用縮倍法解題的關(guān)鍵在于確定縮小的倍數(shù).

（作者單位：江蘇省淮陰中學(xué)教育集團(tuán)淮安市新淮高級(jí)中學(xué)）