不同模量石墨簡(jiǎn)支梁的彈塑性分析及試驗(yàn)研究

趙建華, 顧文胤, 姚文娟*

(1.江西省高速公路投資集團(tuán)有限責(zé)任公司上饒管理中心， 上饒 330025； 2.上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院， 上海 200444)

大量研究表明[1-2]，許多材料都具有拉壓不同模量性質(zhì)。工程上廣泛應(yīng)用的材料，如土木工程中的混凝土，航空及機(jī)械工程中的金屬、石墨、塑料等，都具有明顯的拉壓不同模量特性。21世紀(jì)初，人們發(fā)現(xiàn)強(qiáng)度最大的石墨烯材料是一種拉壓不同模量的材料[1]。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，對(duì)準(zhǔn)確描述材料的各種性能提出了更高的要求，研究材料的不同模量力學(xué)特性正在成為一種新的研究趨向。石墨廣泛應(yīng)用于各種工業(yè)領(lǐng)域中，比如電弧煉鋼用電極、機(jī)械密封石墨環(huán)等。同時(shí)由于石墨材料具有良好的高溫力學(xué)性能，再加上它本身的耐輻照性能，其在國(guó)防核工業(yè)中得到廣泛的應(yīng)用[2-4]。

21世紀(jì)以來(lái)，中外許多學(xué)者對(duì)不同模量材料制備的結(jié)構(gòu)及力學(xué)特性進(jìn)行研究[5-8]，Insausti[9]通過(guò)虛擬試驗(yàn)研究了纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的拉壓不同模量。Yao等[10]利用理論推導(dǎo)并結(jié)合數(shù)值模擬方法，研究了雙模量溫克勒基礎(chǔ)梁在溫度沿梁高非線性分布下的力學(xué)特性。Li[11]推導(dǎo)了雙模量功能梯度彎曲梁的解析解，確定了最大彎曲應(yīng)力發(fā)生的位置。喬赫廷等[12]推導(dǎo)了有限元求解模型中切線剛度矩陣的列式，建立了基于拉壓不同模量問(wèn)題的數(shù)值求解算法。楊洋等[13]推導(dǎo)了拉壓不同模量材料的剪切彈性模量表達(dá)式, 建立了不同模量鐵木辛柯梁及歐拉-伯努利梁的振動(dòng)微分方程,計(jì)算了不同模量鐵木辛柯簡(jiǎn)支梁的自由振動(dòng)頻率。潘勤學(xué)等[14]建立了拉壓不同模量的瀝青路面結(jié)構(gòu)數(shù)值計(jì)算方法。

以往的報(bào)道對(duì)石墨不同模量性能的研究缺乏，鑒于此，現(xiàn)通過(guò)單軸拉壓試驗(yàn)，得到石墨的拉壓模量比。并通過(guò)純彎梁試驗(yàn)，得到石墨梁隨荷載增加中性軸的偏移規(guī)律以及外荷載-應(yīng)變關(guān)系。同時(shí)，采用不同模量理論對(duì)簡(jiǎn)支梁進(jìn)行彈塑性全過(guò)程分析，將不同模量理論的彈塑性分析方法與石墨材料簡(jiǎn)支梁彎曲試驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行比較，以證明此方法的正確性。

1 單軸拉壓試驗(yàn)

試驗(yàn)選取MSL82型號(hào)的石墨材料，分別制成4組截面直徑Φ=10 mm，長(zhǎng)L=50 mm的圓柱形試件和4組截面直徑Φ=10 mm，長(zhǎng)L=200 mm圓柱形試件。分別采用CMT5306電子萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)和WDW-E100電子萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)對(duì)其進(jìn)行單軸抗拉試驗(yàn)和單軸抗壓試驗(yàn)，測(cè)試內(nèi)容包括：極限抗拉強(qiáng)度、極限抗壓強(qiáng)度、拉伸彈性模量、壓縮彈性模量以及計(jì)算拉壓彈性模量比E+/E-。試驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 MSL82型號(hào)石墨材料力學(xué)性能試驗(yàn)結(jié)果Table 1 Test results of mechanical properties of MSL82 graphite

通過(guò)對(duì)石墨材料的單軸拉壓試驗(yàn)可知：石墨材料具有明顯的不同模量特性，其拉壓模量比E+/E-為0.63。

2 受彎梁試驗(yàn)及其結(jié)果

2.1 受彎梁試驗(yàn)

MSL82型號(hào)的石墨材料壓桿穩(wěn)定試驗(yàn)采用的是上海大學(xué)力學(xué)實(shí)驗(yàn)室的WDW-E100電子萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)(如圖1所示)，加載示意圖如圖2所示。

圖1 試驗(yàn)裝置與加載模式Fig.1 Test device and loading mode

F為外載荷

兩個(gè)試件尺寸相同，均為矩形截面，桿件尺寸為長(zhǎng)×寬×高=300 mm×45 mm×22 mm，如圖3所示。每一試件中截面布置8片應(yīng)變片如圖4、圖5所示。

圖3 試件尺寸Fig.3 Specimen size

圖4 MSL82型號(hào)石墨桿件Fig.4 MSL82 type graphite rod

圖5 應(yīng)變片布置Fig.5 Strain gauge arrangement

2.2 試驗(yàn)結(jié)果

2.2.1 中性軸隨荷載的變化

分別將測(cè)點(diǎn)2和測(cè)點(diǎn)8、測(cè)點(diǎn)3和測(cè)點(diǎn)7、測(cè)點(diǎn)4和測(cè)點(diǎn)6取平均值，然后利用測(cè)點(diǎn)1、測(cè)點(diǎn)5和上述三平均值擬合直線，通過(guò)幾何關(guān)系(如圖6所示)，可求出隨荷載增加時(shí)中性軸相對(duì)位置偏移量δ=Δ/h(如圖7所示)。

ε1為試件中截面上邊緣處的應(yīng)變量；ε5為試件中截面下邊緣處的應(yīng)變量；h1和h2分別為中性軸距上邊緣和下邊緣的距離；h為試件截面高度；Δ為中性軸變化后距截面中心的距離

圖7 中性軸相對(duì)位置偏移量Fig.7 Relative position deviation of neutral axis

由圖7可知，梁的中性軸隨外荷載變化的規(guī)律。在剛加載階段，由于試驗(yàn)誤差，中性軸的位置有點(diǎn)波動(dòng)；當(dāng)外荷載增加到了某一值時(shí)，中性軸的位置幾乎維持在某一個(gè)水平；等到進(jìn)入塑性階段后，中性軸位置才會(huì)隨著外荷載的增加而繼續(xù)上升。

2.2.2 外載荷應(yīng)變關(guān)系

將測(cè)點(diǎn)2與測(cè)點(diǎn)8取平均值作為新的測(cè)點(diǎn)2，將測(cè)點(diǎn)4與測(cè)點(diǎn)6取平均值作為新的測(cè)點(diǎn)4，然后分別繪出測(cè)點(diǎn)1～5的應(yīng)力-應(yīng)變(F-ε)關(guān)系曲線如圖8所示。

圖8 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.8 Stress-strain relationship curve

3 不同模量簡(jiǎn)支梁彈塑性過(guò)程分析

3.1 結(jié)構(gòu)模型

b梁為截面寬度；h為高度；2L為梁總長(zhǎng)度；P=F/2為距梁端L1=L/2處作用的外荷載

3.2 應(yīng)力應(yīng)變公式推導(dǎo)

不同模量簡(jiǎn)支梁的彈塑性發(fā)展主要分為四個(gè)階段：完全彈性階段、彈塑性第一階段、彈塑性第二階段、完全塑性階段。每一個(gè)階段的應(yīng)力應(yīng)變的計(jì)算方法各不相同。

3.2.1 完全彈性階段

對(duì)于完全彈性的矩形簡(jiǎn)支梁，前人已經(jīng)做過(guò)研究，也有了相應(yīng)應(yīng)力應(yīng)變解析式以及中性軸計(jì)算公式[8]。圖10為彈性階段截面的應(yīng)力分布圖。

圖10 截面應(yīng)力分布圖Fig.10 Section stress distribution diagram

引入拉壓模量比a=E+/E-，應(yīng)力應(yīng)變公式變?yōu)?/p>

式中：M為截面處產(chǎn)生的彎矩；y為縱坐標(biāo)值。

3.2.2 彈塑性第一階段

記梁中性層曲面的曲率為ρ，彈塑性第一階段的截面應(yīng)力分布圖如圖11所示。

h1為梁的受壓區(qū)高度；h2為受拉區(qū)高度；為受壓側(cè)彈性區(qū)的最大正應(yīng)力；為受拉側(cè)塑性區(qū)的最大正應(yīng)力；d為受拉側(cè)塑性區(qū)的截面高度

可以列出方程為

h1+h2=h(5)

根據(jù)平衡條件，可以得到水平方向力的平衡方程和彎矩平衡方程為

根據(jù)式(3)～式(7)，可以整理得到式(8)、式(9)。

(1-a)h22-2hh2+h2+ad2=0 (8)

將式(9)代入式(8)，得到關(guān)于d的一元四次方程式(10)為

h2+ad2=0 (10)

式(10)反映了外荷載F與塑性區(qū)高度d的非線性函數(shù)關(guān)系，左邊可以用函數(shù)f(F,d)來(lái)表示。編制C程序，對(duì)于某個(gè)確定的外荷載F，以d值為自變量，d值的初始值為0.001 mm，步長(zhǎng)為0.001 mm，終值為45.000 mm，對(duì)于每一個(gè)d值，驗(yàn)證是否滿足關(guān)系f(F,d)-0.1<0，逐漸增大d值，直到滿足關(guān)系式f(F,d)-0.1<0，跳出循環(huán)，從而求得對(duì)應(yīng)于該外荷載F的d值。再根據(jù)式(9)求得受拉區(qū)高度h2，從而解得對(duì)應(yīng)于該外荷載F的應(yīng)力與應(yīng)變。

受壓區(qū)應(yīng)力公式為

式(11)中：Mi為循環(huán)i次外荷載作用產(chǎn)生的彎矩值；di為第i次循環(huán)的d值。

受拉區(qū)應(yīng)力公式為

式(12)中：h2i為第i次循環(huán)的受拉區(qū)高度。

應(yīng)變值為

當(dāng)i取值足夠大時(shí)，應(yīng)力和應(yīng)變值都能連成光滑曲線，并用函數(shù)來(lái)擬合。

3.2.3 彈塑性第二階段

當(dāng)外荷載F增大到F2時(shí)，截面上部受壓區(qū)邊緣也發(fā)生屈服。圖12為彈塑性第二階段截面應(yīng)力分布圖。

為受壓側(cè)塑性區(qū)的最大正應(yīng)力；d1為塑性區(qū)高度；為受拉側(cè)塑性區(qū)的最大正應(yīng)力；d2為塑性區(qū)高度

根據(jù)圖12，可以列出方程

根據(jù)平衡條件，可以得到水平方向力的平衡方程和彎矩平衡方程為

拉壓模量比為a，拉壓屈服極限比為c，根據(jù)式(5)、式(14)～式(16)，可得

將式(18)、式(19)代入式(17)中，并聯(lián)立式(5)，得到關(guān)于h2的一元二次方程為

Ah22-Bhh2+λF-Ch2=0 (20)

式(20)中：A,B,C,λ均為常數(shù)，其表達(dá)式為

A=1+5c+(4+6a)c2+(6a+4a2)c3+

5a2c4+a2c5(21)

B=2c+8c2+12ac3+8a2c4+2a2c5(22)

C=3c-4c2-6ac3-a2c5(23)

式(20)的解為

根據(jù)式(25)，以及式(18)、式(19)可以得到h1、d1、d2的解，進(jìn)一步得到應(yīng)力應(yīng)變公式。

受壓區(qū)應(yīng)力公式為

受拉區(qū)應(yīng)力公式為

應(yīng)變公式為

3.2.4 完全彈性階段

假設(shè)材料為理想塑性的材料，那么，當(dāng)荷載增加到某一值時(shí)，塑性可以達(dá)到飽滿，從而形成塑性鉸。塑性飽滿時(shí)，d1=h1,d2=h2。圖13為完全塑性階段截面應(yīng)力分布圖。

圖13 完全塑性階段應(yīng)力分布圖Fig.13 Stress distribution in complete plastic stage

此時(shí)的應(yīng)力即為屈服應(yīng)力

4 實(shí)例分析

4.1 彈性階段加載-應(yīng)變關(guān)系的驗(yàn)證

不同模量彎曲梁的應(yīng)變計(jì)算公式如式(2)所示，根據(jù)式(2)計(jì)算出各測(cè)點(diǎn)處應(yīng)變的解析解，并與試驗(yàn)解進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖14所示。

從圖14可以看出，不同模量彎曲梁的解析解計(jì)算結(jié)果與石墨受彎梁試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合，驗(yàn)證本文模型的正確性。

圖14 彈性階段的荷載-應(yīng)變關(guān)系Fig.14 Load-strain relationship in elastic stage

4.2 彈塑性階段加載-應(yīng)變關(guān)系的驗(yàn)證

將試驗(yàn)中受彎梁的尺寸大小及受力特性等代入上述彈塑性分析方法的式(13)及式(28)式計(jì)算應(yīng)變，理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比如圖15所示。

圖15 彈塑性階段的荷載-應(yīng)變關(guān)系Fig.15 Load-strain relationship in elastoplastic stage

通過(guò)與石墨彎曲梁試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，可知所提出的彈塑性過(guò)程分析能夠準(zhǔn)確的描述不同模量簡(jiǎn)支梁受力進(jìn)入彈塑性的全過(guò)程。由此，驗(yàn)證了本文模型的正確性。

5 結(jié)論

(1)石墨材料具有明顯的不同模量特性，其拉壓模量比E+/E-為0.63。

(2)通過(guò)與石墨純彎梁試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了建立的不同模量橫力彎曲梁彈性解析解是準(zhǔn)確有效的。

(3)從石墨材料受彎梁各測(cè)點(diǎn)的載荷-應(yīng)變關(guān)系圖可知，梁受拉側(cè)應(yīng)變明顯大于受壓側(cè)，說(shuō)明中性軸向受壓(下)側(cè)偏移。

(4)不同模量簡(jiǎn)支梁存在如下塑性力學(xué)特性規(guī)律。

①在彈性階段，隨外荷載增加，中性軸的位置保持不變；進(jìn)入塑性階段后，隨著外荷載的增加，中性層的位置上升；中性軸最終的位置是由拉壓屈服極限的比值決定的。

②在拉壓屈服應(yīng)力不變的情況下，隨著拉壓模量比的增大，彈塑性第一階段的區(qū)間隨之增大，而彈性階段區(qū)間和彈塑性第二階段區(qū)間都在減小。

③在彈性階段，拉壓模量比的大小對(duì)截面的應(yīng)力分布有很大影響，減小拉壓模量比，可以減小最大拉應(yīng)力；而增大拉壓模量比，則可以減小最大壓應(yīng)力；進(jìn)入彈塑性階段后，隨著截面的塑性發(fā)展，拉壓模量比對(duì)截面應(yīng)力分布的影響越來(lái)越小。

④隨著截面的塑性發(fā)展，拉壓模量比對(duì)截面應(yīng)變分布的影響比較大，因此，可通過(guò)改變拉壓模量比來(lái)控制截面的最大拉壓應(yīng)變。當(dāng)拉壓模量比大于0.5時(shí)，進(jìn)入彈塑性階段后，拉壓模量比越大，最大拉壓應(yīng)變均越大。