各種對稱性下?lián)锨娤禂?shù)的Kronecker 張量積表示

吁鵬飛 彭黎明 冷偉豐 鎖要紅

(1.福州大學(xué)機械工程及自動化學(xué)院, 福建 福州 350108;2.西安交通大學(xué)航天學(xué)院, 機械結(jié)構(gòu)強度與振動國家重點實驗室, 陜西 西安 710049)

不同于壓電效應(yīng)與電致伸縮效應(yīng), 撓曲電效應(yīng)是一種新型的力電耦合效應(yīng).撓曲電效應(yīng)的宏觀具體表現(xiàn)為: 晶體中的應(yīng)變梯度會使晶體產(chǎn)生電極化, 即正撓曲電效應(yīng);反之, 晶體中的極化梯度也會在晶體內(nèi)部產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變, 即逆撓曲電效應(yīng).Kogan[1]首先給出了正逆撓曲電效應(yīng)的唯象學(xué)描述:

式中:σ、E、P、u分別為柯西應(yīng)力、電場強度、電極化和位移;f和μ分別是正撓曲電系數(shù)和逆撓曲電系數(shù).壓電系數(shù)為三階張量, 只能存在于非中心對稱材料中;撓曲電系數(shù)為四階張量, 在任何材料中都存在, 這極大地拓寬了力電轉(zhuǎn)換器件的材料選擇范圍.此后, 人們分別從理論[2-3]、分子動力學(xué)模擬[4-5]、實驗測量[6-7]和器件應(yīng)用[8-9]等方面對撓曲電效應(yīng)開展研究.

上述研究均是建立在正確的撓曲電系數(shù)基礎(chǔ)上的, 比如不同晶體點群撓曲電系數(shù)的對稱性及具體的分量.Cross[10]認(rèn)為撓曲電系數(shù)與電致伸縮系數(shù)具有相同的對稱性.Le 等[10]基于Cartan 分解推導(dǎo)了撓曲電張量對稱點群的種類和相應(yīng)的個數(shù).基于高階張量的正交不可約分解和偏張量的多極表示, 唐昌新[12]對撓曲電張量進(jìn)行了對稱分類并分析了獨立分量的個數(shù).文獻(xiàn)[11-12]都只是給出了不同點群獨立撓曲電系數(shù)分量的個數(shù), 并沒有給出撓曲電系數(shù)具體的分量.Shu 等[13]利用18×18 的正交變換矩陣得到了各種晶體點群下?lián)锨娤禂?shù)的對稱分量及獨立分量個數(shù).文獻(xiàn)[12-13]系統(tǒng)地總結(jié)了不同晶體點群下?lián)锨娤禂?shù)獨立個數(shù)及相應(yīng)的矩陣形式, 為撓曲電領(lǐng)域的其他研究夯實了基礎(chǔ).此后關(guān)于撓曲電系數(shù)對稱性的研究工作急劇減少, 直到2018 年, Eliseev 等[14]認(rèn)為撓曲電系數(shù)還存在著隱藏的對稱性, 這將大大減少撓曲電系數(shù)的獨立分量個數(shù), 該工作對撓曲電系數(shù)對稱性的研究注入了新的活力.研究表明: 在某些晶體點群下, 通過正交變換矩陣得到的系數(shù)矩陣并不正確.基于此, 本工作采用Kronecker張量積法分析不同點群下?lián)锨娤禂?shù)的對稱性.

Kronecker 張量積(層積)是張量之間的一種直積, 且正交旋轉(zhuǎn)張量的Kronecker 張量積在對稱性方面有著重要的作用[15].鄭泉水等[16]利用張量層積理論分析了彈性張量和微極彈性張量的對稱性.宋固全等[17]利用Kronecker 張量積分析了不同材料二次彈性張量的對稱種類、獨立分量個數(shù)和矩陣結(jié)構(gòu)形式.

不同于繁雜的正交變換矩陣, 本工作用張量層積理論推導(dǎo)撓曲電張量空間上正交旋轉(zhuǎn)張量的4 次Kronecker 張量層積, 并分析討論了7 大晶系、32 個晶體點群及各向同性材料的撓曲電張量的獨立分量個數(shù)和具體矩陣結(jié)構(gòu)形式.

1 預(yù)備知識

由于只有Lifshitz 不變量fijkl(εijPk,l ?Piuj,kl)和能量相關(guān), 正逆撓曲電系數(shù)滿足關(guān)系f=?μ.因此, 正逆撓曲電系數(shù)滿足同樣的對稱性質(zhì), 二者研究其一即可.本工作以撓曲電系數(shù)μ為研究對象, 它滿足性質(zhì)

式中:μijkl=μ·(eiejekel), (ei,i=1,2,3) 是三維空間中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.具有上述對稱性質(zhì)的四階張量稱之為撓曲電張量空間, 記作F, 且dimF=54.

根據(jù)Neumann 對稱性原理, 撓曲電系數(shù)的對稱性是指:給定材料任意一個對稱變換Q, 該材料的四階撓曲電系數(shù)μ都必須滿足

依據(jù)文獻(xiàn)[15], 式(3)可以采用對稱變換張量Q的4 次Kronecker 冪改寫為

Kronecker 張量積的重要性質(zhì)有

式中:α1,α2,··· ,αp分別是L對應(yīng)特征根λ1,λ2,··· ,λp的特征矢量;α1α2···αp是p個矢量的并積.結(jié)合式(4)和(5)可知,μ的對稱性是指:μ必須是正交變換Q⊕4對應(yīng)特征值為1 的特征張量.

設(shè)三維二階張量空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基為

三維二階對稱張量空間的標(biāo)準(zhǔn)基為

假設(shè)Q是繞e3軸轉(zhuǎn)動θ角的轉(zhuǎn)動張量, 即

式中:I是單位矩陣.經(jīng)過推導(dǎo), 滿足F上的正交變換Q和Q⊕4的特征值和相對應(yīng)的特征張量見表1.表1 中從上到下、從左到右的順序, 記Q⊕4中54 個特征值為則撓曲電系數(shù)μ可以寫為

表1 正交變換Q 和Q⊕4 的特征值和相對應(yīng)的特征張量Table 1 Eigenvalues and corresponding characteristic tensors of Orthogonal transformation Q and Q⊕4

式中:κ= 1,2,··· ,6;?= 1,2,··· ,9.通過Kronecker 張量積, 我們建立分量μijkl、?μκ,?和α1～η2之間的關(guān)系.

2 各種對稱條件下?lián)锨娤禂?shù)張量的表示

利用式(9), 可以得到各晶體點群下?lián)锨娤禂?shù)張量的具體矩陣形式.

(1) 三斜晶系.點群(1,ˉ1), 對稱群生成元為I或?I, 則獨立的撓曲電系數(shù)有54 個, 其矩陣結(jié)構(gòu)為

(2) 單斜晶系.點群(2,m,2/m), 群生成元Q(πe3), 即只有特征根為1、e2iθ、e4iθ所對應(yīng)的特征矢量存在.因此,β1～β20=0,δ1～δ6=0, 獨立的撓曲電系數(shù)有28 個, 其相應(yīng)的撓曲電系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)變?yōu)?/p>

(3) 正交晶系.點群(222,mm2,mmm), 群生成元為Q(πe3),Q(πe1).此時, 獨立的系數(shù)為15 個, 具體矩陣結(jié)構(gòu)形式變?yōu)?/p>

(4) 四方晶系.點群(4,,4m), 群生成元只有特征根1 和e4iθ所對應(yīng)的特征矢量存在.獨立系數(shù)為14 個, 具體矩陣結(jié)構(gòu)形式變?yōu)?/p>

(5) 三方晶系.點群(3,), 群生成元為只有特征根1 和e3iθ所對應(yīng)的特征矢量存在.獨立的系數(shù)為18 個, 具體矩陣結(jié)構(gòu)形式為

點群(32,3m,m), 群生成元此時獨立的系數(shù)為10 個, 具體矩陣結(jié)構(gòu)形式為

(6) 六方晶系.點群(6,ˉ6,6/m), 群生成元為只有特征根1 所對應(yīng)的特征矢量存在.此時獨立的系數(shù)為12 個, 具體矩陣結(jié)構(gòu)形式為

點群(622,6mm,62m,6/mmm), 群生成元為此時獨立的系數(shù)為7 個,矩陣結(jié)構(gòu)形式為

(7) 立方晶系.點群(T,Th), 群生成元為是立方晶體的對角線單位方向.此時有5 個獨立的系數(shù), 其具體的矩陣結(jié)構(gòu)形式為

點群(O,Td,Oh), 群生成元為此時獨立的系數(shù)為3 個, 具體的矩陣結(jié)構(gòu)形式為

(8) 各向同性.點群, 群生成元為Q(θe3),Q(θe1).此時, 獨立的系數(shù)為2 個, 具體的矩陣結(jié)構(gòu)形式為

值得強調(diào)的是, 上述分析得到的撓曲電系數(shù)矩陣都是撓曲電系數(shù)張量μ=μijkleiejekel=為基的分量由分量可以通過簡單的代數(shù)運算得到常用的以eiejekel為基的分量μijkl.

3 討 論

與文獻(xiàn)[13]中的結(jié)果進(jìn)行對比, 可以發(fā)現(xiàn): 對于大部分晶體點群, 撓曲電系數(shù)對稱性結(jié)果一致.然而, 對于部分晶體點群如(4,ˉ4,4m), 撓曲電系數(shù)矩陣結(jié)果并不相同.下面分析二者的差異并論證本結(jié)果的正確性.

點群(4,,4m)的撓曲電系數(shù)矩陣[13]為

本工作中推導(dǎo)的點群(4,,4m)的撓曲電系數(shù)矩陣為

通過對比發(fā)現(xiàn), 文獻(xiàn)[13]中基e1e2e3e3的系數(shù)是?μ32, 本工作中為E6N3, 對應(yīng)的矩陣值0.點群(4,,4m) 的群生成元為在這3 個群生成元下e1e2e3e3變換為?e2e1e3e3,?e1e3e2e2或?e3e2e1e1, 都可以判斷出μ1233須等于0, 即本工作推導(dǎo)出的結(jié)果是更合理的.

4 結(jié)束語

本工作基于張量層積理論建立了滿足撓曲電系數(shù)對稱性的正交張量多重點積表示, 并得到了撓曲電系數(shù)張量在32 個晶體點群及各向同性下的撓曲電系數(shù)具體矩陣結(jié)構(gòu).通過與文獻(xiàn)[13]進(jìn)行對比, 驗證了這些系數(shù)的正確性.這些系數(shù)可為相關(guān)撓曲電研究提供基礎(chǔ).