數(shù)學(xué)方法在高中生物遺傳學(xué)中的應(yīng)用舉例

黃清亮

1牛頓二項(xiàng)式定理在生物學(xué)科中的應(yīng)用舉例

二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克·牛頓于1665年提出。該公式為：（a+b）n=C0nanb0+C1nan-1b1+C2an-2b2+...+Cn-1a1bn-1+Cna0bn.

很明顯，上述定理中的通項(xiàng)式為：T=Cran-rbr.r+1n

下面介紹利用上述通式解決遺傳學(xué)相關(guān)計(jì)算問題。

【例1】弱智為隱性基因控制，正常雜合的雙親若有4個(gè)孩子，請(qǐng)回答：14個(gè)孩子均不正常的概率為多少？24個(gè)孩子均正常的概率為多少？33個(gè)正常1個(gè)弱智的概率是多少？答案與解析：假定雙親的基因型為Aa，則子女基因型AA、Aa、Aa，其比例為為1∶2∶1，正常與弱智的比例為（3∶1）于是各種情形之概率與（3/4正常+1/4弱智）4的各項(xiàng)展開式對(duì)應(yīng)：

1全不正常：C04（3/4）0（1/4）4=（1/4）4=1/256;

2全部正常：C4（3/4）4（1/4）0=（3/4）4=81/256;

3431333個(gè)正常1個(gè)弱智：C（3/4）（1/4）=4×（3/4）1（1/4）=27/64.

【例2】（高考題改編）基因型為AaBbDdEeGgHhKk的個(gè)體自交，假定這7對(duì)等位基因自由組合，請(qǐng)回答：11對(duì)等位基因雜合、6對(duì)等位基因純合的概率為多少？25對(duì)等位基因雜合、2對(duì)等位基因純合的概率為多少？

答案與解析：含一對(duì)等位基因Aa的雜合個(gè)體，自交后代基因型為AA、Aa、aa，其中純合體比例為1/2，雜合子比例也為1/2。

同理：

1對(duì)等位基因雜合，6對(duì)等位基因純合的概率為：C17（1/2）1（1/2）6=7/128.

5對(duì)等位基因雜合，2對(duì)等位基因純合的概率為：C57（1/2）5（1/2）2=21/128.

【例3】基因型為AaBb（不連鎖）的個(gè)體自交得到的后代表現(xiàn)型比例是怎樣的？

答案與解析：Aa與Aa雜交，子代基礎(chǔ)型為AA、Aa、aa（1∶2∶1），即A（_3/4）、_a（a1/4）。

同理：Bb與Bb雜交，后代為B_（3/4）、bb（1/4）。

將，1/4代入二項(xiàng)式（a+b）n=（3/4+1/4）2

=（3/4）2+2×3/4×1/4+（1/4）2=9/16+6/16+1/16。

這說明雙顯個(gè)體A_B_所占比例為9/16，單顯個(gè)體A_bb和aaB_各自占3/16，雙隱個(gè)體占1/16。

2放大縮小原理在遺傳學(xué)比例計(jì)算中的應(yīng)用

在解答遺傳學(xué)問題時(shí)，常要對(duì)配子比例、基因型比例、表現(xiàn)型比例進(jìn)行分配。例如，Aa個(gè)體自交后代的基因型、表現(xiàn)型比例可以寫成如圖1所示。

第一種寫法：

第二種寫法：

上述第二種寫法，其實(shí)就是在第一種算法基礎(chǔ)上放大4倍的效果。這兩種寫法孰優(yōu)孰劣，其實(shí)是因題而異，如果能在計(jì)算過程中恰當(dāng)?shù)剡x擇其中一種寫法，可以在一定程度上提升解題的速度和結(jié)果的準(zhǔn)確性。

【例4】在一個(gè)生物種群中AA∶Aa=3∶4，若所有個(gè)體進(jìn)行自由交配，其后代基因型比和表現(xiàn)型比分別為多少？

答案與解析：1方法一：分?jǐn)?shù)形式（圖2）。

由于雌雄配子比例一致，因此，可直接利用棋盤法，見表1。

2方法二：整數(shù)形式（圖3）。

利用棋盤法計(jì)算結(jié)果見表2。

基因型AA∶Aa∶aa的比例為25∶10∶4;表現(xiàn)型顯性∶隱性的比例為45∶4。兩種方法都可以得到以上結(jié)果，但在直觀性和簡(jiǎn)潔性上，整數(shù)形式要優(yōu)于分?jǐn)?shù)形式，而計(jì)算某種基因型概率時(shí)，分?jǐn)?shù)形式則會(huì)顯得更直接。

【變式】在一個(gè)生物種群中AA與Aa的比例為3∶4，若所有個(gè)體進(jìn)行自由交配，a雌配子有1/3致死，其后代基因型比和表現(xiàn)型比分別為多少？

答案與解析：該題采用整數(shù)形式解題比較方便。原雌配子A與a的比例為5∶2，a雌配子有1/3致死，則雌配子A與a比例變?yōu)?∶（4/3），即15∶4。利用棋盤法計(jì)算結(jié)果見表3。

由表3可知，基因型：AA∶Aa∶aa的比例為75∶50∶8;

表現(xiàn)型顯性∶隱性的比例為125∶8

如果上述情況，還采用分?jǐn)?shù)形式表達(dá)，過程將變得非常繁瑣。因此，遇到此類情況，棋盤法最好采用整數(shù)形式，并且在計(jì)算某種基因型的概率時(shí)也很簡(jiǎn)潔，如上述棋盤中Aa個(gè)體所占的比例的計(jì)算，總的后代個(gè)體數(shù)=（5+2）×（15+4）=133，而Aa為50，因此，后代中Aa個(gè)體的概率為50/133。

【例5】AaBb（兩對(duì)等位基因不連鎖）個(gè)體自交得到的F1中的所有雙顯個(gè)體，再分別自交，則它們的F2中各表現(xiàn)型比例為多少？

答案與解析：本題若采用常規(guī)算法，可以得出正確答案，但解題速度上較慢，如果采用如下方法，可快速得出答案。AaBb自交后代如圖4所示。

雙顯個(gè)體的基因型有AABB、AaBB、AABb、AaBb，其比例為1∶2∶2∶4。

1不考慮前面系數(shù)直接寫出后代表現(xiàn)型比（圖5）。

2將后邊后代個(gè)體總數(shù)統(tǒng)一成比例1∶2∶4。

未進(jìn)行放大前，上述幾種基因型自交后代個(gè)體總數(shù)比例為1∶4∶4∶16，很明顯要將該比例變換成1∶2∶2∶4，只需要將前三種基因型的個(gè)體的后代總數(shù)進(jìn)行放大，即分別放大4倍，放大2倍，放大2倍，然后，得到圖6所示結(jié)果。

3將各種表現(xiàn)型個(gè)體比例對(duì)應(yīng)累加。最終得到表現(xiàn)型比為：雙顯∶一顯一隱∶一隱一顯∶雙隱=25∶5∶5∶1

3加法原理和乘法原理在遺傳概率計(jì)算中的運(yùn)用

加法原理：當(dāng)一個(gè)事件出現(xiàn)時(shí)，另一個(gè)事件就被排除，這樣的兩個(gè)事件即為互斥事件。這種互斥事件發(fā)生的概率為兩個(gè)事件發(fā)生的概率之和。

乘法原理：當(dāng)兩個(gè)互不影響的獨(dú)立事件，同時(shí)發(fā)生或相繼發(fā)生時(shí)，其概率為兩個(gè)事件各自獨(dú)自發(fā)生的概率的乘積。

在計(jì)算兩種遺傳病的患病概率問題時(shí)，各患病情況的概率即是運(yùn)用加法原理和乘法原理進(jìn)行計(jì)算。

單獨(dú)考慮一種病時(shí)，若甲病患病概率為m甲，則不患甲病的概率為1-m甲;若乙病患病概率為n乙，則不患乙病的概率為1-n乙;兩種病都要考慮時(shí)，結(jié)果見表4。

其實(shí)，在進(jìn)行各類遺傳概率計(jì)算時(shí)，均是交替運(yùn)用加法原理和乘法原理。例如，計(jì)算某種表現(xiàn)型概率時(shí)，除直接計(jì)算外，也可將與之相關(guān)的各種基因型概率進(jìn)行相加。計(jì)算兩對(duì)等位基因以上某種基因型概率，可以先分別單獨(dú)計(jì)算一對(duì)等位基因的某種基因型概率，再利用乘法原理得出結(jié)果。再如，利用哈代-溫伯格定律計(jì)算基因型頻率、基因頻率，也是上述兩種原理的應(yīng)用。

4數(shù)學(xué)極限思想的應(yīng)用

完全顯性的一對(duì)相對(duì)性狀的雜合子（Aa）連續(xù)自交，子Fn代的各種情況及比例見表5。

利用數(shù)學(xué)中極限的觀點(diǎn)，如果n→+∞，則Fn雜合子所占比例無限接近于0，純合子則無限接近于1，而顯性純合子和隱性純合子則無限接近于1/2。這種利用數(shù)學(xué)中的極限思想來幫助學(xué)生理解生物學(xué)相關(guān)知識(shí)的方法，將有助于啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維學(xué)習(xí)自然學(xué)科的興趣和意識(shí)。

5集合思想在遺傳學(xué)概念學(xué)習(xí)中的運(yùn)用

圖7為子集模型，清楚地反映了幾個(gè)生物學(xué)概念包含與被包含之間的關(guān)系，有助于學(xué)生理解知識(shí)的內(nèi)涵與外延，以此達(dá)到建構(gòu)知識(shí)體系的目的。

圖8為交集模型，用數(shù)學(xué)中交集圖示核苷酸的組成，很直觀地表述了DNA與RNA在化學(xué)組成上的區(qū)別，有助于學(xué)生對(duì)相關(guān)概念的辨析和理解。

此外，數(shù)學(xué)中的反證法在遺傳學(xué)中也常有應(yīng)用，至此，就不一一贅述。

教學(xué)過程中，生物學(xué)教師若經(jīng)常能以數(shù)學(xué)思維引領(lǐng)學(xué)生理解內(nèi)化紛繁復(fù)雜的生物學(xué)核心概念，這也將改變以往學(xué)生普遍認(rèn)為生物是理科中文科的認(rèn)知。因此，教師在挖掘生物與數(shù)學(xué)之間的交叉問題上，可以多做思考和探索。