基于分支限界算法的橫折臂混凝土布料機構(gòu)避障布料分析

王小安 李佳偉 黃躍申

1. 上海建工集團股份有限公司 上海 200080；

2. 上海高大結(jié)構(gòu)建造工藝與裝備工程技術(shù)研究中心 上海 201114

混凝土布料機是用于進行混凝土出料導(dǎo)向的關(guān)鍵設(shè)備。在超高層建筑建造過程中布料機構(gòu)的合理選擇對保證工期與質(zhì)量尤為重要。隨著超高層建筑工程施工現(xiàn)場工業(yè)化建造方式的不斷發(fā)展，混凝土布料機呈現(xiàn)出新的發(fā)展趨勢和要求，其與整體鋼平臺模架等大型裝備逐漸要求實現(xiàn)一體化，其施工操作也逐漸要求實現(xiàn)智能化[1-3]。

超高層建筑施工過程中，結(jié)構(gòu)頂部通常布置有大型塔機、施工升降機等高出結(jié)構(gòu)施工面的機械設(shè)備，對同樣布置在結(jié)構(gòu)頂部的混凝土布料機構(gòu)而言，為實現(xiàn)高效連續(xù)的混凝土澆筑，其需要具備繞過大型塔機等障礙物實現(xiàn)背面區(qū)域混凝土布料施工的能力。目前常用的豎折臂布料機雖然布料能力強，但避讓障礙物的能力較差，現(xiàn)場常常存在澆筑死角區(qū)域。針對上述問題，有關(guān)研究人員提出一種橫折臂混凝土布料機構(gòu)[4]，它主要由一個可全回轉(zhuǎn)的基座、水平臂架和連接臂架的關(guān)節(jié)組成，連接臂架的關(guān)節(jié)平置、轉(zhuǎn)軸豎直，臂架在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。目前混凝土布料機構(gòu)的智能化控制技術(shù)研究多集中在傳統(tǒng)的豎折臂布料機上[1,5-6]，針對橫折臂布料機構(gòu)的研究基本空白。為確保橫折臂布料機具有有效的避障能力，有必要將其置于具有大型塔機等障礙物的超高層結(jié)構(gòu)頂部實際環(huán)境中，進行澆筑全覆蓋能力分析。

分支限界法是按照廣度優(yōu)先的方式對解空間（狀態(tài)空間）進行搜索求得最優(yōu)解，對有約束條件的優(yōu)化問題的求解尤為高效[7-10]。因此，在橫折臂布料機構(gòu)躲避障礙物可行性分析中可應(yīng)用該方法。

本文針對橫折臂混凝土布料機構(gòu)，對其躲避障礙的可行性進行理論分析，并基于分支限界法設(shè)計高效可行的求解算法，為橫折臂混凝土布料機構(gòu)智能化控制技術(shù)研究提供了理論基礎(chǔ)。

1 橫折臂混凝土布料機構(gòu)的簡化模型

解決橫折臂混凝土布料機構(gòu)避障布料問題的關(guān)鍵在于橫折臂混凝土布料機構(gòu)臂架和障礙區(qū)域的相對位置關(guān)系分析，因此應(yīng)首先建立包含表征橫折臂布料機構(gòu)、結(jié)構(gòu)布料區(qū)域和障礙區(qū)域的位置函數(shù)的數(shù)學模型。

1.1 橫折臂布料機構(gòu)狀態(tài)函數(shù)

1.1.1 三折臂布料機構(gòu)的狀態(tài)函數(shù)

為描述橫折臂布料機構(gòu)的空間布料位置，需建立一個統(tǒng)一坐標系。由于橫折臂各臂節(jié)在同一平面內(nèi)相對轉(zhuǎn)動，同時考慮到建筑結(jié)構(gòu)布料區(qū)域和障礙區(qū)域用平面位置描述不影響問題的求解，因此建立一個以橫折臂布料機構(gòu)的中心（起點）為坐標原點O的平面坐標系，坐標系的x、y軸可參考建筑結(jié)構(gòu)軸線和障礙區(qū)域的位置，以簡化模型的原則確定，如圖1所示。

圖1 橫折臂布料機構(gòu)數(shù)學模型

在該坐標系中可以唯一確定3節(jié)橫折臂布料機構(gòu)各臂節(jié)的位置狀態(tài)的一組函數(shù)稱為該橫折臂布料機構(gòu)的狀態(tài)函數(shù)。橫折臂布料機構(gòu)有3個臂節(jié)，每個臂節(jié)所在位置可簡化為有向直線段，故橫折臂布料機構(gòu)的狀態(tài)函數(shù)FL可用一組3條有向線段表示，記為L，如圖1所示。由于各線段是直線，線段的起點為坐標原點，則橫折臂布料機構(gòu)的3條線段的終點坐標分別為：{(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)}，則線段組L上的點可用式（1）表示：

式中，i＝1時，出現(xiàn)的(x0,y0)為線段L的起點，即原點(0,0)。由于xi－1、xi的相對大小關(guān)系不定，為便于推導(dǎo)計算，規(guī)定線段Li的定義域x∈[ximin,ximax]，ximin＝min{xi－1,xi}、ximax＝max{xi－1,xi}。線段定義域在y坐標軸上的，可作相應(yīng)規(guī)定和推導(dǎo)，下同。定義域所在坐標軸的不同對問題的分析推導(dǎo)沒有本質(zhì)影響，故下文推導(dǎo)默認各線段的定義域在x坐標軸上。

顯然，通過式（1）的描述，線段組L與這3條線段的終點坐標組成的一組有序點列{(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)}唯一對應(yīng)，則3節(jié)橫折臂布料機構(gòu)的狀態(tài)可用這組空間點列表示，即式（2）：

L:{(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)} （2）

另一方面，有向線段可用向量表示，向量的起、終點分別為臂節(jié)的近端、遠端，方向為臂節(jié)的近端指向遠端，單獨考察每個臂節(jié)的向量，可表示為式（3）：

由于現(xiàn)場施工控制中，橫折臂布料機構(gòu)的臂節(jié)方位角無法精準辨別，而相對于方位角，臂節(jié)之間的角度或轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角直觀可測，便于直接應(yīng)用，故橫折臂布料機構(gòu)的狀態(tài)函數(shù)以臂節(jié)相對轉(zhuǎn)角的表示形式FL(β1,β2,β3;R1,R2,R3)有更大的參考作用，有利于橫折臂布料機構(gòu)的數(shù)字化控制。

1.1.2 結(jié)構(gòu)布料區(qū)域位置函數(shù)

建筑結(jié)構(gòu)布料區(qū)域是指建筑施工過程中需要混凝土澆筑的墻、柱等位置，一般來說結(jié)構(gòu)的布置多為直線段。因此在上述坐標系中，可以用同樣的線段表達方式確定建筑結(jié)構(gòu)布料區(qū)域的位置。若建筑結(jié)構(gòu)布料區(qū)域由N條線段組成，則建筑結(jié)構(gòu)布料區(qū)域位置函數(shù)FS(x,y)為式（8）：

1.1.3 障礙區(qū)域位置函數(shù)

建筑結(jié)構(gòu)施工現(xiàn)場一般有塔機和施工升降機等機械設(shè)備，施工升降機最高點通常高出作業(yè)面（平臺）3～4 m，可適當提高橫折臂布料機構(gòu)的高度，以越過施工升降機的高點，而塔機的高差較大，難以采取經(jīng)濟有效的方法克服，布料機構(gòu)工作時的障礙一般有施工用的塔吊。

一般地，假設(shè)存在某一障礙區(qū)域S，該區(qū)域S邊界Lobs可通過M條線段無限逼近，且M條線段是封閉的，則邊界Lobs可以用M條線段表示。同樣的，由于各線段是直線，邊界Lobs與這V條線段的終點坐標組成的一組有序點列{(x1,y1), ,(xj,yj), ,(xM,yM)}唯一對應(yīng)。

由于區(qū)域S邊界封閉，第1條線段的起點應(yīng)是第M條線段的終點，為便于表示和推導(dǎo)分析，在上述有序點列{(x1,y1), ,(xj,yj), ,(xM,yM)}前增加一個點(x0,y0)，并令(x0,y0)＝(xM,yM)，即障礙區(qū)域的邊界表示為一組有序點列〔式（9）〕：

1.2 橫折臂混凝土布料機構(gòu)避障分析

橫折臂混凝土布料機構(gòu)能夠避開障礙區(qū)域，幾何上分析即線段組L與障礙區(qū)域S無公共點，其充要條件是線段組L與邊界Lobs各組成線段無公共點，當且僅當邊界Lobs中的所有線段與線段組Li(x)（i＝1,2,3）均無公共點時，認為橫折臂混凝土布料機構(gòu)可以避開障礙區(qū)域。一般地，先分析線段組Li(x)（i＝1,2,3）與邊界Lobs中任意線段Lobsj的幾何位置情況，然后分析邊界Lobs中所有線段的幾何位置情況。

1.2.1 避開障礙線段

3節(jié)橫折臂布料機構(gòu)可以避開該障礙線段Lobsj，則線段組L中的每條Li與障礙線段Lobsj不相交，即方程（11）均無解。

方程無解的情況很多，沒有一個可執(zhí)行的通用公式計算，求解難度較大。通過考察線段組Li(x)（i＝1,2,3）和障礙線段Lobsj定義域的關(guān)系，可將方程無解的情況總體分為2種：

1）線段組Li(x)（i＝1,2,3）和障礙線段Lobsj無重合的定義域，則方程必然無解。

2）線段組Li(x)（i＝1,2,3）和障礙線段Lobsj有重合的定義域，這種情況下只需驗證定義域重合的線段不相交即可。

這種驗證式的求解方法較為簡單，求解也容易，可大大降低求解難度，提高求解效率。

1.2.2 定義域重合關(guān)系判別

針對障礙線段Lobsj對每個線段Li(x)（i＝1,2,3）進行定義域關(guān)系分析。由于障礙線段Lobsj定義在x∈[xobsjmin,xobsjmax]上，因此僅需考察每個線段Li(x)（i＝1,2,3）的定義域與[xobsjmin,xobsjmax]的關(guān)系即可。記線段Li(x)（i＝1,2,3）中定義域與[xobsjmin,xobsjmax]有交集的線段組成的集合為{L*ij}( {Li(x),i＝1,2,3})，滿足該條件的線段{L*ij}要求其定義域[ximin,ximax]中至少有一點落在區(qū)間[xobsjmin,xobsjmax]內(nèi)，記該點為x*。根據(jù)定義域的定義，可得到式（12）和式（13）：

實際上，式（14）是2個線段定義域重合的判別條件。針對任意的障礙線段Lobsj，通過該式均可以找出所有線段組Li(x)（i＝1,2,3）中與線段Lobsj有重合定義域的線段。而當Li(x)（i＝1,2,3）中不存在滿足式（14）的線段時，則沒有重合定義域，方程式（11）無解。

1.2.3 重合定義域下避障條件

綜上，可以得出橫折臂混凝土布料機構(gòu)避開障礙區(qū)域的充要條件如下：

在障礙區(qū)域的邊界Lobs中，針對任意的障礙線段Lobsj，橫折臂布料機構(gòu)的狀態(tài)函數(shù)FL所對應(yīng)的線段組Li(x)（i＝1,2,3）不滿足式（14）或在滿足式（14）的條件下同時滿足式（15）。

1.3 橫折臂布料機構(gòu)布料范圍

布料范圍是混凝土布料機構(gòu)的重要工作性能參數(shù)，一般與布料機構(gòu)各臂節(jié)長度和臂節(jié)間轉(zhuǎn)角范圍有關(guān)。這里將各臂節(jié)間關(guān)節(jié)視為全回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，即其轉(zhuǎn)角范圍為（－π,π）。根據(jù)向量的模的運算，易得橫折臂布料機構(gòu)布料距離的上限和下限，得出混凝土布料機構(gòu)的布料范圍如式（16）所示：

橫折臂布料機構(gòu)的布料范圍的確定，對橫折臂布料機構(gòu)的設(shè)計有重要意義，在之后的求解過程中作為約束條件，也有劃分解空間的重要作用。結(jié)構(gòu)布料施工時，橫折臂混凝土布料機構(gòu)臂節(jié)長度參數(shù)已知，其布料范圍可以通過式（16）進一步確定，因此在避障布料問題求解時可以作為已知約束條件加以使用。

1.4 最佳布料狀態(tài)

布料機構(gòu)在布料作業(yè)時的終端在建筑結(jié)構(gòu)布料區(qū)域位置函數(shù)上，由于3節(jié)橫折臂布料機構(gòu)的關(guān)節(jié)是全回轉(zhuǎn)的，所以一般情況下，3節(jié)橫折臂布料機構(gòu)仍有一個自由度，(β1,β2,β3)有無窮多種組合，即橫折臂布料機構(gòu)的狀態(tài)函數(shù)有無窮多解。引入一個評價函數(shù)記為V(x,y)，衡量在相應(yīng)位置布料時的橫折臂布料機構(gòu)的狀態(tài)優(yōu)劣程度，其最佳狀態(tài)下的解即是最優(yōu)解。

結(jié)合工程實際，當橫折臂關(guān)節(jié)所受的彎矩越大時，橫折臂布料機構(gòu)的整體安全穩(wěn)定性越差，在橫折臂臂節(jié)長度和質(zhì)量分布確定的情況下，關(guān)節(jié)所受的彎矩與關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角大小正相關(guān)。橫折臂布料機構(gòu)避障布料的評價函數(shù)可按式（17）選取：

由表達式可知，該評價函數(shù)的值域為（0,1]，其工程意義在于評價函數(shù)的值越大表示橫折臂布料機構(gòu)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角越小，機械關(guān)節(jié)損害越小，整體受力上也更為安全可靠。

2 基于分支限界法的避障布料求解分析

2.1 分支限界法

結(jié)合工程實際，模型中的求解目標是驗證橫折臂布料機構(gòu)在避開障礙的條件下對所有建筑結(jié)構(gòu)布料的能力基礎(chǔ)上，找到每個位置的最佳布料狀態(tài)，式（18）則是最佳布料狀態(tài)的衡量指標。

分支限界法的基本思想是對有約束條件的優(yōu)化問題的所有可行解空間進行搜索。在橫折臂布料機構(gòu)避障布料問題中，其解是針對所有建筑結(jié)構(gòu)區(qū)域的任意位置找到一組可避開已知障礙區(qū)域的最優(yōu)布料狀態(tài)。

基于上述分析結(jié)果，橫折臂布料機構(gòu)布料范圍、障礙區(qū)域關(guān)鍵影響范圍、橫折臂布料機構(gòu)臂節(jié)角度等約束條件都可構(gòu)成可行解空間的分割條件。因此相較于窮舉法等傳統(tǒng)算法，在本工程中應(yīng)用分支限界法求解具有明顯的優(yōu)勢。

2.2 算法求解步驟分析

針對橫折臂布料機構(gòu)避障布料問題，應(yīng)用分支限界法的求解流程如圖2所示。結(jié)合本工程所具有的約束條件，生成的分支限界算法求解步驟如下：

圖2 算法求解流程

1）初始化數(shù)學模型，對橫折臂布料機構(gòu)狀態(tài)函數(shù)、障礙區(qū)域函數(shù)、結(jié)構(gòu)布料區(qū)域函數(shù)進行賦值。

① 以橫折臂布料機構(gòu)的中心（起點）為坐標原點，建立全局平面直角坐標系，將工程實際各臂節(jié)長度值賦值給算法程序中的相應(yīng)參數(shù)，初始化橫折臂布料機構(gòu)狀態(tài)函數(shù)FL(β1,β2,β3;R1,R2,R3)。

② 在全局平面直角坐標系下，輸入障礙區(qū)域邊界的角點坐標，初始化障礙區(qū)域位置函數(shù)Lobs(x,y)。

③ 在全局平面直角坐標系下，輸入結(jié)構(gòu)布料區(qū)域各線段端點坐標，初始化結(jié)構(gòu)布料區(qū)域位置函數(shù)FS(x,y)。

2）根據(jù)橫折臂布料機構(gòu)布料范圍條件劃分可行解空間。根據(jù)式（16）可知，通過橫折臂布料機構(gòu)各臂節(jié)長度即可確定該橫折臂布料機構(gòu)可布料的范圍，因此可將解空間分割為3個子空間，分別為A1、A2、A3，如圖3所示。顯然，子空間A1、A3中無法找到滿足狀態(tài)函數(shù)FL(β1,β2,β3;R1,R2,R3)的解，說明這種情況橫折臂布料機構(gòu)在該區(qū)域沒有布料能力，子空間A1、A3的評價函數(shù)值為0。

圖3 布料機構(gòu)布料范圍劃分的解空間

3）根據(jù)障礙區(qū)域關(guān)鍵影響范圍條件劃分可行解空間。如果相鄰臂節(jié)不共線，臂節(jié)之間存在一定夾角，則在臂節(jié)關(guān)節(jié)處會產(chǎn)生一定彎矩和偏心應(yīng)力，不利于機構(gòu)的安全和穩(wěn)定性，因此橫折臂布料機構(gòu)最佳的布料狀態(tài)是所有臂節(jié)共線。將橫折臂布料機構(gòu)中心點視為光源，如圖4所示，根據(jù)障礙區(qū)域是否遮擋光線，將解空間劃分為B1、B2子空間。對于沒有被障礙區(qū)域遮擋的子空間B1，其中的布料位置可與橫折臂布料機構(gòu)中心點通視，狀態(tài)函數(shù)FL(β1,β2,β3;R1,R2,R3)的求解十分容易，可直接應(yīng)用評價函數(shù)求解子空間的最優(yōu)解。對于障礙區(qū)域遮擋的陰影部分，橫折臂布料機構(gòu)不能直線到達這部分區(qū)域位置上布料，這加大了橫折臂布料機構(gòu)布料難度，子空間B2的評價函數(shù)因障礙區(qū)域的影響難以直接確定，繼續(xù)劃分解空間求解。

圖4 障礙區(qū)域關(guān)鍵影響范圍劃分的解空間

4）根據(jù)橫折臂布料機構(gòu)臂節(jié)角度條件分解可行解空間。針對上述子空間B2區(qū)域內(nèi)的某一布料位置，如圖5所示，尋找橫折臂布料機構(gòu)可避開障礙的狀態(tài)函數(shù)的最優(yōu)解。臂節(jié)的關(guān)節(jié)可全回轉(zhuǎn)，故每個臂節(jié)角度范圍為（－π,π]。但當布料位置確定后，各臂節(jié)的長度一定，決定了臂節(jié)間關(guān)節(jié)角度處在一個有限范圍內(nèi)。因此可以將解空間繼續(xù)分割優(yōu)化求解。根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理，第一節(jié)臂節(jié)的終點到布料位置的距離有上下限，因此橫折臂布料機構(gòu)第一臂節(jié)角度β1（方位角α1）限定在一個范圍。結(jié)合子空間B2區(qū)域，根據(jù)角度β1的范圍將解空間劃分為4個子空間，分別為C1、C2、C3、C4，如圖5所示。

圖5 布料機構(gòu)臂節(jié)角度劃分的解空間

5）對分支可行解空間分別求解，并對解進行評價驗證。該層級下各子解空間為末枝子空間，應(yīng)用評價函數(shù)V對各個解進行評估，最終得出最優(yōu)解。

3 工程算例分析

3.1 工程概況

某超高層建筑采用鋼筋混凝土核心筒-鋼框架結(jié)構(gòu)，其核心筒結(jié)構(gòu)典型平面圖如圖6所示。核心筒結(jié)構(gòu)施工采用整體爬升鋼平臺模架技術(shù)，施工用塔機采用內(nèi)置爬升式M900D型塔機，安裝位置如圖中所示。擬采用3節(jié)橫折臂布料機構(gòu)進行核心筒結(jié)構(gòu)的混凝土澆筑施工，臂節(jié)長度參數(shù)依次為11、8、6 m，橫折臂布料機構(gòu)的基座安裝在整體鋼平臺上。

圖6 某超高層建筑核心筒結(jié)構(gòu)典型平面

3.2 計算模型

將上述求解算法采用Matlab軟件進行參數(shù)化編程。以橫折臂混凝土布料機構(gòu)的基座點為原點建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，提取結(jié)構(gòu)布料區(qū)域和障礙區(qū)域的坐標，將坐標和臂節(jié)長度的參數(shù)輸入Matlab程序進行計算。

3.3 結(jié)果分析

通過Matlab程序計算，得到了橫折臂混凝土布料機構(gòu)避障布料的結(jié)果。結(jié)果顯示，該臂節(jié)長度組合的布料機構(gòu)可滿足該建筑核心筒結(jié)構(gòu)的混凝土布料，并且具備避讓障礙的能力。選取部分具有代表性的布料位置（P1ü P10）的最優(yōu)解求解結(jié)果，其橫折臂混凝土布料機構(gòu)的最佳布料狀態(tài)如圖7、圖8所示。從圖中可以看出對于P1ü P10等布料位置，橫折臂混凝土布料機構(gòu)均可滿足布料要求，而圖中P4、P5、P6在障礙區(qū)域的影響范圍內(nèi)，其最佳布料狀態(tài)則顯示布料機構(gòu)的臂節(jié)分別需向障礙區(qū)域的上方、下方轉(zhuǎn)動。

圖7 P1—P5布料位置的最佳布料狀態(tài)求解結(jié)果

結(jié)構(gòu)布料位置（P1ü P10）的評價函數(shù)值如圖9所示。圖中可以看出不同布料位置的最佳布料狀態(tài)不同，各布料位置的評價函數(shù)值均在0.6以上。

圖9 P1—P10布料位置的評價函數(shù)值

通過算例分析結(jié)果可以看出，基于分支限界法設(shè)計的橫折臂混凝土布料機構(gòu)避障布料最佳狀態(tài)的求解算法高效可行，對于結(jié)構(gòu)混凝土布料施工具有一定的指導(dǎo)意義。

4 結(jié)語

本文基于分支限界算法，對橫折臂布料機的避障可行性進行了分析，主要得到如下結(jié)論：

1）通過對橫折臂混凝土布料機構(gòu)、建筑結(jié)構(gòu)布料區(qū)域、障礙區(qū)域的合理簡化，在平面坐標系下建立了橫折臂混凝土布料機構(gòu)避障布料的數(shù)學模型，推導(dǎo)了橫折臂布料機構(gòu)考慮關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的狀態(tài)函數(shù)。

2）通過對橫折臂布料機構(gòu)狀態(tài)函數(shù)和障礙區(qū)域邊界函數(shù)的位置關(guān)系分析，在線段定義域重合的判別條件的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了橫折臂混凝土布料機構(gòu)避開障礙區(qū)域的充要條件。

3）結(jié)合模型的約束條件，基于分支限界算法，進行了橫折臂布料機構(gòu)避障布料問題的求解算法設(shè)計，并通過工程算例驗證了算法的高效可行。