超胞聲子晶體板的輕量化設計與研究

郭兆楓，陳傳敏，喬釧熙，倪 園

(1.華北電力大學環(huán)境科學與工程系，河北省燃煤電站煙氣多污染物協(xié)同控制重點實驗室，保定 071003；2.華北電力大學，區(qū)域能源系統(tǒng)優(yōu)化教育部重點實驗室，北京 102206；3.中國電力科學研究院有限公司，武漢 430074；4.中國電力科學研究院有限公司,電網環(huán)境保護國家重點實驗室,武漢 430074)

0 引 言

隨著社會發(fā)展，社會用電量逐年遞增，相應的變電站建設隨之增多。由此帶來的噪聲污染已經對變電站附近居民產生了極大影響，同時，也會對電網的建設產生一定的影響。變電站的噪聲由于其頻譜具有低頻且峰值穩(wěn)定的特性，導致常規(guī)材料對其噪聲進行控制時，或特別笨重或無法對其有效降噪。例如現(xiàn)有應用于變電站降噪的技術手段基本上采用BOX-IN的方法，其基體充斥著很厚的鋼板，導致安裝十分繁瑣費力，且對低頻噪聲的隔聲效果一般。另一種針對變電站降噪的常用結構為微穿孔板，雖然重量較輕，但需要很厚的空腔才能發(fā)揮其性能，因此也需要占用大量空間。而聲子晶體不僅可以根據(jù)所需調控其帶隙，并且可通過局域共振使帶隙突破質量定則。因此，使用聲子晶體這種新型人工超材料對變電站噪聲進行控制具有很強的針對性及適用性。

聲子晶體是作為光子晶體這一概念的類比而提出的。1992年，Sigalas和Economou[1]首次在理論上證實了將球形材料埋入某一基體材料后形成的周期性點陣結構具有帶隙特性，并在金、鉛球與鋁或者硅基體所形成的復合材料結構中同樣證實了帶隙的存在。1993年，Kushwaha等[2]通過采用平面波方法對鎳柱在鋁合金基體中形成的復合結構進行計算，獲得了聲波帶隙，進一步明確提出了“聲子晶體”的概念——它是由兩種或兩種以上的彈性介質材料周期性排列成的能夠展示出聲學帶隙或禁帶的人工復合型結構。

聲子晶體帶隙產生的機理源于布拉格散射機理和局域共振機理[3-6]。在基于布拉格散射的聲子晶體結構中，聲波被周期性排列的散射體所散射，使得在某段特定入射頻率的聲波經散射后產生相位相消，最終導致該頻率范圍內的聲波或彈性波無法透過該聲子晶體，這個范圍就叫做帶隙[7]。而在局域共振型結構中，帶隙可以出現(xiàn)于波長遠大于晶格常數(shù)的頻率區(qū)域，由于相比布拉格散射型具有明顯的低頻隔聲優(yōu)勢，因此常選擇局域共振型聲子晶體應用于低頻噪聲控制工程[8-11]。

Wu等[12]應用有限元方法(FEM)分析雙基局部共振聲子晶體(LRPC)的帶隙特性時，考慮了晶胞數(shù)量、基板的曲率和邊界約束等應用的關鍵因素。結果表明，具有小曲率和邊界約束的非無限雙基LRPC結構仍然可以產生預期的帶隙。并且使整個晶體的振動水平急劇降低了15 dB，內部噪音也降低了9 dB。Zuo等[13]研究了具有雙基板的LRPC。結果表明，上下板之間的結構不對稱有利于降低導通頻率，有效增大帶隙。秦浩星等[14]通過建立聲子晶體負泊松比蜂窩基座的等效動力學模型,研究該基座局域共振減振機理。研究結果表明，當聲子晶體固有頻率與基座固有頻率接近時，能有效降低基座發(fā)生結構共振時的響應幅值。最終建立了聲子晶體蜂窩基座的優(yōu)化設計模型，該模型能夠有效抑制結構的低頻共振現(xiàn)象。舒海生[15]等提出了一種局域共振型角式聲子晶體梁，采用傳遞矩陣法進行了理論分析和數(shù)值求解,并進一步在有限元軟件中做了仿真驗證，結果表明該角梁能夠通過縱波與橫波的轉換，使得三個自由度上的振動均能在同一頻帶內得到有效衰減，一方面滿足了工程上的多維減振需求，另一方面也拓展了聲子晶體減振應用場合。綜上所述，常規(guī)局域共振型聲子晶體板由于基于能帶理論和局域共振理論，在帶隙頻率降低的過程中，散射體的尺寸也相應增大，使常規(guī)聲子晶體隔聲板在控制變電站等低頻噪聲時，沒有體現(xiàn)出應有的質量更輕、隔聲效率更高等優(yōu)勢，給其工程應用及發(fā)展帶來諸多限制與困擾。

為了解決這個問題，本文提出一種局域共振型聲子晶體板的輕量化設計方法，根據(jù)變電站噪聲頻譜特性，對聲子晶體板進行超胞復合。本文設計的輕量化超胞聲子晶體板不僅在帶隙上匹配變電站噪聲頻譜特性，而且在重量及尺寸上相比其他局域共振型聲子晶體大大降低。為今后變電站的噪聲控制提供了一種輕質的降噪超材料，同時對局域共振型聲子晶體的輕量化設計提供了新思路與方法。

1 聲子晶體的輕量化設計方法

首先，在確定材料組成后建立能帶計算模型與聲傳輸損失(STL)仿真模型。使波矢K在倒格矢空間上掃略過不可約布里淵區(qū)的高對稱點(Γ-X-M-Γ)，便可計算得到能帶圖。其中，能帶計算模型及其不可約布里淵區(qū)如圖1所示。

圖1 能帶計算模型及其不可約布里淵區(qū)

之后選取隔聲仿真模型包含的元胞數(shù)。本文對1個元胞、2×2個元胞、3×3個元胞、4×4個元胞及5×5個元胞構成的模型進行隔聲頻譜與能帶對應驗證，如圖2所示。發(fā)現(xiàn)1個元胞及2×2個元胞的對應關系不夠匹配，而3×3個元胞已達到十分匹配的結果，再增加單元數(shù)對結果影響不大且會增大計算量，降低計算效率。同時，周期性邊界條件下的隔聲仿真也顯示出與3×3個元胞一致的結果。由于實際工程中不存在無限周期性結構，為了指導下一步的工程應用，因此選擇3×3個元胞作為隔聲仿真研究對象。

在能帶計算模型中，通過類改性方法，計算該結構下局域共振性能最大的包覆層半徑與散射體半徑之比。定義元胞尺寸a=66.67 mm，板厚h=10 mm，包覆層外半徑R1=30 mm。散射體的半徑R2為變量，以0.1 mm為步長，令R2從28 mm到2 mm進行參數(shù)化計算其能帶。得到當R2=14.1 mm時，該結構的第一完全帶隙起點達到最低40.695 Hz，即此時局域共振性能達到最大，如圖3所示。計算其包覆層半徑與散射體半徑之比為R2/R1=0.47。并做R2=14.1 mm時聲子晶體板的能帶圖，如圖4所示。圖中共計算了10階能帶，包含了兩個X-M方向的方向帶隙與一個完全帶隙。由于完全帶隙具有更優(yōu)秀的聲學性能，因此對完全帶隙進行分析。發(fā)現(xiàn)完全帶隙的上下邊界分別由第3階和第6階能帶構成，頻率范圍為40.695～47.233 Hz，帶寬約7 Hz。在帶隙中存在兩階平直帶，即第4階和第5階，由于平直帶體現(xiàn)的是聲子晶體板的共振特性，因此對完全帶隙不存在切分的影響。

圖2 不同元胞數(shù)下能帶與隔聲對應關系

圖3 帶隙起點頻率隨R2變化曲線

在隔聲量仿真模型中，定義元胞尺寸a=66.67 mm，板厚h=10 mm，包覆層外半徑R1=30 mm。散射體的半徑R2為變量，以0.1 mm為步長，令R2從28 mm到2 mm進行參數(shù)化計算隔聲量。發(fā)現(xiàn)其隔聲峰值對應的頻率值隨著散射體半徑的減小以及包覆層厚度的增加，呈現(xiàn)出先減小再增大的趨勢。與能帶顯示出同樣的規(guī)律，驗證了本文方法的正確性。

作隔聲峰值頻率與隔聲量隨R2變化曲線，如圖5所示，發(fā)現(xiàn)輕量化聲子晶體的隔聲頻率為該元胞尺寸下的最低頻(33 Hz)，且隔聲量效果大于70 dB。為同系列聲子晶體中質量最輕，兼有良好降噪效果的聲子晶體隔聲板，說明輕量化設計后聲子晶體板的局域共振性能得到最大釋放。

2 超胞聲子晶體板的結構

對變壓器類設備進行聲壓級測量，并通過傅里葉變換得到其頻譜圖，如圖6所示。確定需要設計的聲子晶體隔聲頻率值。通過頻譜圖可看到峰值主要集中在50 Hz、100 Hz、200 Hz和400 Hz，由于頻率越低波長越長，其衰減更小、危害更大，因此選擇50 Hz和100 Hz作為超胞聲子晶體板的設計頻率。

圖4 R2=14.1 mm時能帶圖

圖5 聲傳輸損失峰值頻率與聲傳輸損失隨R2變化曲線

圖6 變壓器聲壓級頻譜圖

本文設計的超胞聲子晶體板的基質由環(huán)氧樹脂制成，包覆層為硅橡膠，散射體為金屬鎢。材料參數(shù)如表1所示。為了使聲子晶體板更加輕薄，定義元胞尺寸a=66.67 mm，板厚h=5 mm，包覆層外半徑R1=30 mm。通過能帶理論及輕量化聲子晶體數(shù)值仿真方法，使波矢K掃略過元胞的不可約布里淵區(qū)后得到當R2=15.9 mm時，該結構的第一帶隙起點達到最低，即此時局域共振性能達到最大。計算其包覆層半徑與散射體半徑之比R2/R1=0.53。

表1 材料參數(shù)

為了確定隔聲峰為50 Hz時的幾何參數(shù)，在保持元胞尺寸a，板厚h不變的基礎上，對50 Hz模塊的包覆層外半徑r1和散射體半徑r2進行參數(shù)化計算。保持r2/r1=0.53，以0.01 mm為步長，令r1從30 mm到2 mm進行參數(shù)化計算其隔聲量。得到當r1=15.60 mm，r2=8.268 mm時，在50 Hz出現(xiàn)隔聲峰。為了確定隔聲峰為100 Hz時的幾何參數(shù)，保持元胞尺寸a，板厚h不變，對100 Hz模塊的包覆層外半徑r3和散射體半徑r4進行參數(shù)化計算。保持r4/r3=0.53，以0.01 mm為步長，令r3從30 mm到2 mm進行參數(shù)化計算其隔聲量。得到當r3=7.72 mm，r4=4.092 mm時，在100 Hz出現(xiàn)隔聲峰。最后將50 Hz與100 Hz的幾何參數(shù)進行復合。通過數(shù)值仿真方法，設計了一種共價八元環(huán)結構。由于結構的復合會產生模態(tài)的變化，因此需要對幾何參數(shù)進行微調。最終得到當50 Hz模塊與100 Hz模塊間距l(xiāng)=33 mm，r1=15.6 mm、r2=8.268 mm、r3=7.85 mm、r4=4.16 mm時，輕量化超胞聲子晶體板同時在50 Hz及100 Hz具有明顯的隔聲峰。超胞有限結構如圖7所示。

圖7 超胞有限結構

3 聲傳輸損失

STL仿真模型如圖8所示。從上到下分別是完美匹配的層(PML)、入射區(qū)、材料區(qū)、出射區(qū)和PML?？梢酝ㄟ^公式(1)獲得STL。

(1)

其中，P1是入射區(qū)的聲壓，P2是出射區(qū)的聲壓。

通過圖9可知，本文設計的輕量化超胞聲子晶體板排在前二的聲傳輸損失峰分別出現(xiàn)在50 Hz和100 Hz，其中50 Hz處的聲傳輸損失為67 dB，100 Hz處的聲傳輸損失為48 dB。同時，在92 Hz處也出現(xiàn)了一個聲傳輸損失為43 dB的峰值。判斷原因為復合后造成固有模態(tài)增多，使其在聲波激勵作用下的模態(tài)振型更加豐富，進而出現(xiàn)了92 Hz的隔聲峰與94 Hz的隔聲谷。

圖8 聲傳輸損失仿真模型

圖9 聲傳輸損失

4 機理分析

為了研究超胞聲子晶體的隔聲機理，分別提取50 Hz和100 Hz處的位移變形和聲壓級復合聲強流線如圖10所示。(a)、(b)圖中的箭頭(淺白色)表示固體位移，(c)、(d)圖中的箭頭(深黑色)表示聲強流線。圖10(a)是在50 Hz的聲波激勵下超胞聲子晶體的固體表面位移，顯示出50 Hz的散射體為最大振幅，同時100 Hz的散射體有輕微的反相位位移。在兩種模塊的共同作用下，基體板保持不動，使聲波無法傳播。從圖10(c)中可以看到，聲波大部分的能量都被反射回去，驗證了上述機理。圖10(b)是在100 Hz的聲波激勵下超胞聲子晶體的固體表面位移，顯示出100 Hz的散射體為最大振幅，同時50 Hz的散射體有輕微的反相位位移，此時的位移相比圖10(a)的反相位位移更加微弱。分析原因是由于50 Hz模塊的散射體質量更大，所以當其作為主模態(tài)共振時，作為副模態(tài)的100 Hz模塊的散射體更容易被激發(fā)并表現(xiàn)出來。當100 Hz模塊作為主模態(tài)共振時，作為副模態(tài)的50 Hz模態(tài)的散射體并不容易被激發(fā)并表現(xiàn)出來。也可以說，作為副模態(tài)的50 Hz模態(tài)的散射體只需要非常輕微的反相位振動就可以平衡100 Hz模塊的共振，在兩種模塊的共同作用下，使基體板保持不動，阻止聲波的傳播。從圖10(d)中可以看到，聲波大部分的能量耗散在超胞聲子晶體板中，驗證了上述機理。

通過上述分析，可以發(fā)現(xiàn)超胞聲子晶體的隔聲機理都是由于在某一頻率的聲波激勵下產生了一種主模態(tài)共振，這種主模態(tài)共振會進一步激發(fā)副模態(tài)的反相位共振，基體板會在主副模態(tài)的一正一反的共同作用下保持不動，從而阻止了聲波的傳播。

圖10 50 Hz和100 Hz處的位移變形和聲壓級復合聲強流線

5 結 論

為了促進聲子晶體的工程應用，本文以變電站低頻噪聲為應用背景，提出一種局域共振型聲子晶體板輕量化設計方法。并基于此方法，設計出一種針對變電站噪聲頻譜特性的輕量化超胞聲子晶體板。研究發(fā)現(xiàn)，此聲子晶體板在50 Hz和100 Hz同時具有明顯的聲傳輸損失峰，隔聲量分別為67 dB和48 dB。并且由于超胞復合導致聲子晶體板的模態(tài)增多，使其在聲波激勵作用下的模態(tài)振型更加豐富，從而在92 Hz處也出現(xiàn)了一個聲傳輸損失為43 dB的峰值。并通過振型位移及聲壓級復合聲強流線圖對其隔聲機理進行了分析研究。發(fā)現(xiàn)超胞聲子晶體的隔聲機理都是由于在某一頻率的聲波激勵下產生了一種主模態(tài)共振，這種主模態(tài)共振會進一步激發(fā)副模態(tài)的反相位共振，基體板會在主副模態(tài)的一正一反的共同作用下保持不動，從而阻止了聲波的傳播。

由于變電站噪聲的低頻特性，一般降噪材料難以達到降噪效果和實際應用效果，而超胞聲子晶體板的輕量化設計對于50 Hz和100 Hz同時具有明顯的聲傳輸損失峰，具有優(yōu)良的降噪效果；并且超胞聲子晶體板的基質由環(huán)氧樹脂制成，包覆層為硅橡膠，散射體為金屬鎢，其材料簡單易得。本研究對今后聲子晶體板的工程應用和變電站噪聲控制都有一定的指導意義。