關(guān)于弧度制中幾點(diǎn)誤讀的分析

王姿婷 朱一心 王 安

(首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 100048)

1 問題提出

在小學(xué)及初中教材中,平面角的度量是先以角度制形式出現(xiàn)的,即將一個圓周角表示成360°.在此基礎(chǔ)上展開了關(guān)于平面角的比較、平面幾何圖形的研究,并在含有特殊角的直角三角形中討論三角函數(shù).而高中教材中,任意角的三角函數(shù)則以弧度制的認(rèn)識開始,即將一個圓周角表示成2π(rad).關(guān)于引入弧度制的必要性,有幾種常見的說法:1.“借助單位圓建立角度與對應(yīng)弧長的關(guān)系,用對應(yīng)弧長刻畫角的大小;因?yàn)殚L度單位與實(shí)數(shù)單位一致,這就使得三角函數(shù)的自變量與函數(shù)值的取值都是實(shí)數(shù),符合對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)定義”;2.“角度作為自變量表示三角函數(shù),還存在一個突出問題,就是自變量的值與函數(shù)值不能進(jìn)行運(yùn)算(例如, 60°與sin60°不能相加),阻礙了三角函數(shù)通過運(yùn)算法則形成其他初等函數(shù)”;3.“(角度制中)自變量的取值是60進(jìn)位制的角度,不是10進(jìn)位制的實(shí)數(shù),不符合對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)定義”[1,P.111].文獻(xiàn)[9]主要針對上述第一個說法進(jìn)行論述,本文增加了對后面幾種說法的分析;與文獻(xiàn)[10]相比,在實(shí)數(shù)的進(jìn)位制表示與度量單位間進(jìn)率的區(qū)別,以及自變量的值與函數(shù)值不能運(yùn)算等問題有了更清晰的表述,同時更深入了物理量綱的討論.

2 基本概念

2.1 數(shù)與量

在討論度量制的內(nèi)容之前,先對“數(shù)”和“量”的相關(guān)概念進(jìn)行劃分,以避免因語義不同帶來的表達(dá)偏差.

數(shù)(作為名詞),是人們從生產(chǎn)和生活實(shí)踐中抽象出來的,如自然數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)等.從現(xiàn)實(shí)世界中客觀對象的多少開始,人們對數(shù)有了最原始的感受.一方面,數(shù)可以表達(dá)各種現(xiàn)實(shí)對象的數(shù)值特征,另一方面,數(shù)又是人類創(chuàng)造出的形式化表達(dá),這種形式化的本質(zhì)不依賴于現(xiàn)實(shí)對象的特殊屬性,甚至不依賴于表達(dá)數(shù)的符號.

量(作為名詞),泛指可以定性區(qū)別和定量確定的屬性,如現(xiàn)實(shí)中的距離、面積、重量等.類似地,數(shù)學(xué)中的測度“作為線段的長度,平面圖形的面積,空間圖形的體積等概念的抽象與擴(kuò)充”[2,P.841],也可以理解為“量”.

度量(作為動詞),就是通過比較,對給定的量賦予數(shù)值(根據(jù)文獻(xiàn)[3,P.7],這種賦值具有可列可加性)的過程(有時度量也作名詞,指某種度量方法).在度量時,首先要選取一個與給定量同類的量作為標(biāo)準(zhǔn),即作為單位(通常稱為單位量,也稱為度量單位),進(jìn)而約定比較的方式,得到其定量指標(biāo)——度量值(即數(shù)值(1)數(shù)值是物理對度量值的稱呼,因度量值本質(zhì)上是一個數(shù),故數(shù)值一詞的用法在數(shù)學(xué)和物理中無明顯區(qū)別.).度量值一般賦值為給定量與單位量之間的比值(2)與擁有天然不可分割單位的量(例如一個人)相對的,有些量無法通過“數(shù)個數(shù)”來確定給定量與天然單位間的數(shù)量關(guān)系(例如線段長度),這類量可以無限細(xì)分,而度量則提供了處理這些量的辦法,其無限細(xì)分的性質(zhì)也成了其度量值(實(shí)數(shù))連續(xù)性的直觀對應(yīng).關(guān)于天然不可分割單位的量的簡單描述,見項(xiàng)武義主編教材[17,P.12]..例如某人的身高h(yuǎn)為1.7m,就是將人抽象成一條線段,它恰好是人為選取的長度單位1m的1.7倍.不同的度量標(biāo)準(zhǔn)和方法稱為不同的度量制.“單位本身也是一個量(3)單位一般相當(dāng)于“數(shù)值等于1的量”(也有某些約定作為單位的特定量其數(shù)值并非1).通常地,單位這個詞也被用于特定度量制中單位量的名稱符號,如1.7m中的m,但其本質(zhì)與1m無異.……單位與量之間只有定性的關(guān)系,加上數(shù)以后才有定量的關(guān)系”[4.P10].一個量總是可以表達(dá)為量值的形式,即“數(shù)值與單位的積”[4.P3],如1.7m,就是度量值1.7與單位m的積.“當(dāng)說明某物理量為多少時,必須同時說明單位,否則沒有意義”[5,P.13].有時會有“面積為4”的數(shù)學(xué)結(jié)果,這種說法蘊(yùn)含著“4平方單位”或者“面積的度量值為4”的簡化,在解釋物理現(xiàn)象時不能單獨(dú)稱“面積4”.

在物理層面,“由于量與量之間常常是相互聯(lián)系的,因此沒有必要對每個量的單位都逐一規(guī)定,只需選取基本的物理量作為基本量(4)基本量與單位量是有區(qū)別的,單位量是某類量在某種度量制中的標(biāo)準(zhǔn),而基本量則是某一量制(物理名詞)中選出的一組彼此相互獨(dú)立的量,其它的量是由基本量以乘和除的代數(shù)關(guān)系導(dǎo)出的.國際單位制SI中,選擇長度、質(zhì)量、時間、熱力學(xué)溫度、電流、物質(zhì)的量和發(fā)光強(qiáng)度這七個量作為基本量.,基本量的單位稱為基本單位.由基本量導(dǎo)出的其他物理量稱為導(dǎo)出量,導(dǎo)出量的單位稱為導(dǎo)出單位.表示每個物理量如何由基本量組成的公式,稱為該物理量的量綱公式,簡稱量綱”[6,P.88].通常將結(jié)合某些特定的物理定律及概念,對量之間的量綱關(guān)系作相關(guān)界定或分析的方法稱為量綱分析.

2.2 角度制與弧度制

3 對引入弧度制的必要性相關(guān)觀點(diǎn)的分析

3.1 “借助單位圓建立角度(7)嚴(yán)格講這應(yīng)該是平面角而不是角度,以免與角度制中的用詞混淆.與對應(yīng)弧長的關(guān)系,用對應(yīng)弧長刻畫角的大小(8)由弧度制定義,“弧長刻畫角的大小”的說法易引起誤解,見注③及下頁注④.;因?yàn)殚L度單位與實(shí)數(shù)單位一致,這就使得三角函數(shù)的自變量與函數(shù)值的取值都是實(shí)數(shù),符合對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)定義.”

一方面,“長度單位與實(shí)數(shù)單位一致”的說法混淆了不同類的單位量,長度單位是1m,1km等單位量,而實(shí)數(shù)單位是數(shù)值1,二者一致的說法無從談起.誠然,線段通過度量可以對實(shí)數(shù)進(jìn)行幾何直觀表征,但現(xiàn)代數(shù)學(xué)中實(shí)數(shù)系統(tǒng)的建立無需借助于線段或其他具象,若將實(shí)數(shù)與長度等同視之,實(shí)數(shù)系統(tǒng)中許多運(yùn)算將變得無法解讀,如開方、取對數(shù)等.就好比于將自然數(shù)停留在現(xiàn)實(shí)存在的物體個數(shù)層面上理解,那“1個對象×1個對象+1個對象”也是無法進(jìn)行的.

另一方面,角度制和弧度制下定義的三角函數(shù)都是實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射,具體分析如下：

角度制和弧度制雖采用了不同的單位量,但兩種度量制下的度量值都是實(shí)數(shù).例如1度和1弧度,單位量的不同不會引起這個“1”的實(shí)數(shù)屬性發(fā)生變化.“這兩種度量制,都能夠?qū)崿F(xiàn)在平面角的集合與實(shí)數(shù)集之間建立一一對應(yīng)關(guān)系”[8,P.8].任意給定一個實(shí)數(shù)作為度量值,都能在相應(yīng)的度量制下唯一決定一個平面角(例如在弧度制下,度量值2對應(yīng)了2 rad的平面角,在角度制下度量值2則對應(yīng)著2°的平面角),進(jìn)而又能唯一決定其對應(yīng)的三角函數(shù)值.

因此,基于兩種度量制下定義的三角函數(shù)都是實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射,不會因單位量的選取不同而造成差異.這在李忠《為什么要使用弧度制》[9]以及朱一心《弧度制教學(xué)中相關(guān)問題的問答》[10]中均有指出.

3.2 “角度作為自變量表示三角函數(shù),還存在一個突出問題,就是自變量的值與函數(shù)值不能進(jìn)行運(yùn)算(例如, 60°與sin60°不能相加),阻礙了三角函數(shù)通過運(yùn)算法則形成其他初等函數(shù).”

下面分三點(diǎn)來闡述該表述涉及到的問題:

(1)弧度單位的省略

在平面角的兩種度量制中,約定“用弧度制表示角(10)依原文,此處的角指的是平面角.時,‘弧度’二字或‘rad’通常略去不寫,而只寫該平面角所對應(yīng)的弧度數(shù)”[7,P.174],即角度制下，一個量值必須帶著“°”,在弧度制中,量值可略去單位“rad”.這種人為約定能帶來書寫和表達(dá)上的便利,但隨之而來的問題是,它模糊了弧度制下量值與度量值(弧度數(shù))的區(qū)別.

(2)平面角的量綱問題

平面角的單位弧度(rad)通常被約定略去不寫,除了表達(dá)便利性外,還有量綱層面的考慮.

“在1960年的第11屆國際計(jì)量大會(CGPM)將平面角的單位弧度(rad)和立體角的單位球面度(sr)規(guī)定為國際單位制的輔助單位,提出它們既可作基本單位使用,也可作導(dǎo)出單位使用,并認(rèn)為平面角和立體角既可認(rèn)為是基本量,也可認(rèn)為是導(dǎo)出量……而1995年召開的第20屆國際計(jì)量大會正式?jīng)Q定:在SI中稱為弧度和球面度的這兩個輔助單位是一種無量綱的導(dǎo)出單位,因而在SI的分類中應(yīng)當(dāng)取消輔助單位”[11,P.42].根據(jù)文獻(xiàn)[4,P.74],度(°)是我國選定的SI制外單位(11)不屬于SI的單位..

(3)數(shù)學(xué)與物理中的運(yùn)算

數(shù)學(xué)上的運(yùn)算是同類對象之間的二元映射,受到運(yùn)算結(jié)構(gòu)本身的性質(zhì)約束,不涉及任何描述物理屬性的單位,更不涉及量綱分析.事實(shí)上,數(shù)學(xué)抽象化的過程已經(jīng)舍棄了具體的物理屬性.

物理關(guān)系常常借用數(shù)學(xué)運(yùn)算來表達(dá),這具有顯見的簡約性和便利性,但它們需要滿足物理的特定要求.例如量綱公式只表達(dá)一個定性關(guān)系而非定量關(guān)系、等號兩端各代數(shù)項(xiàng)的量綱必須相同、只有同類量才可以相加或相減等.

數(shù)學(xué)提供的是運(yùn)算的合理性,被運(yùn)用到單位或者量綱上,是出于物理方程經(jīng)由數(shù)學(xué)運(yùn)算的結(jié)果需要解釋自洽的考慮.注意到這點(diǎn),才不會混淆數(shù)學(xué)運(yùn)算和物理討論兩方面的歸因.

不難發(fā)現(xiàn),“角度作為自變量表示三角函數(shù),還存在一個突出問題,就是自變量的值與函數(shù)值不能進(jìn)行運(yùn)算(例如,60°與sin60°不能相加),阻礙了三角函數(shù)通過運(yùn)算法則形成其他初等函數(shù)”是用無因果關(guān)系的名詞堆砌的偽問題.本質(zhì)上是因?yàn)閷⒅庇^表征的量與數(shù)混為一談?wù)兄铝瞬槐匾募姅_.不同類的量之間運(yùn)算無意義,與度量制的選取無關(guān),更不影響數(shù)的運(yùn)算意義.這就好比“2cm+(2cm)2”無意義,但顯然我們不能據(jù)此斷言“此處單位(cm)的選取不當(dāng)”或是“x+x2這一數(shù)學(xué)運(yùn)算不合理”.

3.3 “(角度制中)自變量的取值是60進(jìn)位制的角度,不是10進(jìn)位制的實(shí)數(shù),不符合對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)定義”

首先,這個斷言混淆了單位之間的進(jìn)率(15)有時也將同類量的不同單位之間的倍數(shù)關(guān)系描述為“進(jìn)制”,但與記數(shù)法的“進(jìn)制”表達(dá)的含義不同,為區(qū)別兩方面的用語,此處采用進(jìn)率的說法.與數(shù)值的進(jìn)位制.其次,一個數(shù)是否是實(shí)數(shù),由數(shù)本身的性質(zhì)決定,與它是否使用10進(jìn)制表達(dá)無關(guān).

平面角的量值常見有形如1°6'的多單位混合形式的表達(dá),但正如文獻(xiàn)[4,P.128]所指出的,“近年來國際上主張采用十進(jìn)制的數(shù)值來表達(dá),而它們的符號則處于全部數(shù)值之后,例如:1rad=57.29577951…°;17°15′最好給出為17.25°;53°20′24″最好給出為53.34°”.不難發(fā)現(xiàn),上面例舉的式子右邊皆為角度制下的10進(jìn)制數(shù)值表達(dá).可見,角度制中,角度數(shù)通常表達(dá)為10進(jìn)制數(shù),當(dāng)然,數(shù)的表達(dá)可以有多種形式,可選取不同的進(jìn)位制,也可使用不涉及進(jìn)位制的其他特定含義的符號表示,如π.

4 小結(jié)

初等數(shù)學(xué)中的三角函數(shù),從直角三角形中銳角對應(yīng)的三個邊長比開始,然后利用直角坐標(biāo)系推廣到任意角,形成三角函數(shù),得到特殊角的函數(shù)值,誘導(dǎo)公式,倍角/半角三角函數(shù)關(guān)系.微積分中利用連續(xù)函數(shù)和微積分的性質(zhì)得到三角函數(shù)的定義,也得到一系列的函數(shù)性質(zhì)公式.在弧度制下,初等數(shù)學(xué)中得到的公式與微積分中得到的公式,在形式上高度一致.然而,兩者的發(fā)展線索不完全有邏輯的上下游關(guān)系.由此可見,引入弧度并非是某種不利與便利之間的選擇.“在解析運(yùn)算中,弧度制是很方便的,這一點(diǎn)以后會變得很清楚.但是,在實(shí)用中,弧度制又頗為不便,因?yàn)棣袨闊o理數(shù).所以如果我們在圓周上把單位角,即1弧度的角,一次次地標(biāo)出來,它決不會回到圓上原來的點(diǎn).而在建立普通的角度制時就是讓它在1度繼續(xù)標(biāo)出360次后或90°繼續(xù)標(biāo)出四次后,能回到原來的位置”[13,P.285].幸而,關(guān)于弧度制的一些誤讀也正在被澄清.正如文獻(xiàn)[14,P.191]所提及的“在弧度先生看來,他們倆(17)此處指弧度制與角度制.除了‘單位’不同外,沒有本質(zhì)上的差別,而且還關(guān)系密切”.

“學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識和理解在很大程度上也要依靠數(shù)學(xué)課堂教學(xué)”[15],因此教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)盡可能地嚴(yán)謹(jǐn),處理好數(shù)學(xué)的邏輯性與歷史性之間的關(guān)系,體現(xiàn)出“數(shù)學(xué)的本質(zhì)”.當(dāng)然,教學(xué)過程不可能完全遵循演繹邏輯的方式去梳理教學(xué)內(nèi)容,學(xué)生的認(rèn)知方式以及有效教學(xué)的原則也提示我們,有些教學(xué)內(nèi)容確實(shí)需要作適度教學(xué)處理,特別是一些不易理解或者不適合在當(dāng)下“死磕”而應(yīng)日后“細(xì)品”的內(nèi)容.例如北師大版必修二教材[16],先引發(fā)對角度的度量與長度的度量之間關(guān)系的思考,再明確弧度數(shù)的絕對值等于該角所對的弧長與半徑之比,輔之以兩種度量制下量值的轉(zhuǎn)化等內(nèi)容的敘述,給出了弧度制中的關(guān)鍵信息,沒有刻意對角度制局限性和弧度制的優(yōu)越性進(jìn)行評斷.為了說明教學(xué)內(nèi)容的必要性而放大其合理性和必然性,是不合適的.使用弧度制的真實(shí)合理性,在高中階段不見得能完全解釋,然而要避免用事實(shí)背景不清的內(nèi)容來輔證,以免給學(xué)生帶來不必要的誤讀.