混沌天牛須算法在分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)優(yōu)化中的應(yīng)用

王 粟，蔡文成，曾 亮

(湖北工業(yè)大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，湖北 武漢 430068)

在工業(yè)控制中，PID控制器憑借結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本低、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)成為了應(yīng)用最為廣泛的控制器[1]。隨著微積分和控制理論的不斷深入，分?jǐn)?shù)階PID控制的設(shè)計(jì)也日漸成熟。分?jǐn)?shù)階PID控制器由于多了兩個(gè)可調(diào)參數(shù)λ和μ，相較于整數(shù)階控制器能夠更靈活地控制受控對(duì)象[2]。

在實(shí)際應(yīng)用中，分?jǐn)?shù)階PID控制器有三種常用的整定方法：1)相位裕量與幅值裕量法，利用相位裕量和幅值裕量與控制器參數(shù)的數(shù)學(xué)關(guān)系式求出;2)主導(dǎo)極點(diǎn)法，利用主導(dǎo)極點(diǎn)的特點(diǎn)來(lái)確定；3)基于Bode理想傳遞函數(shù)的分?jǐn)?shù)階控制器參數(shù)整定法，根據(jù)Bode理想傳遞函數(shù)作為參考系統(tǒng)來(lái)確定[3]。

上述三種方法通過(guò)計(jì)算或?qū)嶒?yàn)可以得出控制器參數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)受控系統(tǒng)的有效控制，但也存在一些問(wèn)題，例如：整定規(guī)則多，計(jì)算量大，方法復(fù)雜，而且當(dāng)受控系統(tǒng)發(fā)生變化時(shí)，又需要重新計(jì)算[4]。這些問(wèn)題的存在使分?jǐn)?shù)階PID控制器很難滿足當(dāng)今工業(yè)控制中實(shí)時(shí)性、快速性、穩(wěn)定性的要求，因此尋找一種快速、穩(wěn)定的算法就顯得尤為重要。

隨著人工智能算法的迅速發(fā)展，本質(zhì)上，控制器參數(shù)整定也是一種尋優(yōu)過(guò)程，有關(guān)學(xué)者提出了利用智能算法對(duì)分?jǐn)?shù)階PID控制器參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)。張艷珠[5]等人提出了遺傳算法尋優(yōu)，齊戰(zhàn)[6]等人提出了基于改進(jìn)狀態(tài)空間模型的遺傳算法尋優(yōu)；金滔[7]等人提出了粒子群算法參數(shù)尋優(yōu)，趙華東[8]等人提出了基于改進(jìn)慣性權(quán)重和學(xué)習(xí)因子的粒子群算法尋優(yōu)，那景童[9]提出了模糊自適應(yīng)粒子群算法尋優(yōu)；吳正平[10]提出了改進(jìn)生理地理學(xué)優(yōu)化算法尋優(yōu)；熊兼海[11]提出基于模糊免疫的分?jǐn)?shù)階控制器設(shè)計(jì)。

天牛須搜索(Beetle Antennae Search，簡(jiǎn)稱BAS)算法是學(xué)者受天牛覓食的啟發(fā)提出的一種仿生算法。該算法有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：第一，不需要知道函數(shù)具體形式和梯度信息[12]；第二，能夠降低運(yùn)算量，縮短尋優(yōu)時(shí)間[13]。這兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)應(yīng)用于控制器參數(shù)整定十分合適，因此汪玉風(fēng)[14]等人利用天牛須算法的優(yōu)點(diǎn)對(duì)PID控制器進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)。本文作者在閱讀大量有關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，提出一種基于混沌天牛須算法的分?jǐn)?shù)階PID控制器參數(shù)尋優(yōu)，仿真結(jié)果顯示該方法收斂速度快、精確度高。

1 分?jǐn)?shù)階PID控制器實(shí)現(xiàn)

分?jǐn)?shù)階PID控制器由Podlubny教授最先提出，一般格式簡(jiǎn)記為PIλDμ，傳遞函數(shù)為：

(1)

式中：KP為比例增益；KI為積分增益；KD為微分增益；λ和μ分別為積分階次和微分階次。

本文采用Oustaloup法對(duì)控制器中的微積分算子近似處理[15]，基本步驟如下：

1)確定近似頻段的范圍[ωb,ωh]和近似階次N；

(2)

(3)

(4)

3)最后根據(jù)式(5)得出分?jǐn)?shù)階Laplace算子sα的整數(shù)階有理傳遞函數(shù)的表達(dá)形式；

(5)

實(shí)現(xiàn)了從分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)到整數(shù)階傳遞函數(shù)的近似后，采用simulink模塊封裝技術(shù)，即可設(shè)計(jì)出分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)模塊。

2 天牛須算法

BAS算法是2017年提出的智能優(yōu)化算法，其生物原理為：天牛通過(guò)左右須感應(yīng)到的食物氣味的強(qiáng)弱來(lái)判斷其大致方向，如果左邊的觸角收到的氣味強(qiáng)度比右邊大，就會(huì)向左飛，反之則向右飛，依據(jù)這一原理天牛就可以快速準(zhǔn)確地找到食物[16]。

根據(jù)天牛的覓食原理，建立通用系統(tǒng)模型，過(guò)程如下：

1) 隨機(jī)生成天牛種群所在的位置以及天牛須的朝向，并對(duì)其進(jìn)行歸一化處理；

(6)

其中，Dim為空間維度，rands()為matlab中生成隨機(jī)矩陣函數(shù)。

2) 建立天牛左右須與天牛個(gè)體的質(zhì)心對(duì)應(yīng)的空間坐標(biāo)方程；

(7)

其中，xi表示天牛個(gè)體的質(zhì)心在第i次迭代的位置，d0表示天牛須之間的距離，xli表示天牛左須在第i次迭代的位置，xri表示天牛右須第i次迭代的位置。

3) 確定天牛下一步移動(dòng)的方向；

根據(jù)系統(tǒng)所選的適應(yīng)度函數(shù)，計(jì)算天牛左右須的適應(yīng)度值，并往適應(yīng)度值小的觸須方向移動(dòng)。

4) 迭代更新天牛的位置；

xi+1=xi-eta·b·sign(f(xri)-f(xli))

(8)

其中，eta為步長(zhǎng)因子，通常取0.95左右，sign(·)為符號(hào)函數(shù)，其作用是返回參數(shù)的正負(fù)值，f(·)表示為適應(yīng)度函數(shù)。

3 混沌天牛須算法

混沌是一種非線性科學(xué)概念，是指系統(tǒng)對(duì)因?qū)Τ踔得舾卸憩F(xiàn)出的不可預(yù)測(cè)的、類似隨機(jī)性的運(yùn)動(dòng)。該現(xiàn)象普遍存在于自然界，具有遍歷性、隨機(jī)性、規(guī)律性等特點(diǎn)[17]。

從數(shù)學(xué)形式上看，Logistic映射是一種非常簡(jiǎn)單的混沌映射，所以本文使用Logistic映射產(chǎn)生混沌序列變量。Logistic映射的公式為：

Xn+1=Xn·μ·(1-Xn)

(9)

式中，μ∈[0,4]，是Logistic參數(shù)。需要注意的是，當(dāng)Xn∈[0,1]時(shí)，Logistic映射工作處于混沌狀態(tài)。

本文設(shè)計(jì)的混沌優(yōu)化步驟如下，基本思想是把混沌變量通過(guò)Logistic線性映射到優(yōu)化變量的取值空間，然后利用混沌變量進(jìn)行搜索。

1)按照公式(9)將最優(yōu)天牛位置映射到Logistic方程的定義域[0,1]中，形成混沌變量；

2)將形成的混沌變量按照公式(10)逆映射到函數(shù)解空間中；

(10)

3)利用公式(11)對(duì)個(gè)體進(jìn)行混沌擾動(dòng)；

(11)

式中，X′為經(jīng)過(guò)擾動(dòng)后的新個(gè)體，step為擾動(dòng)步長(zhǎng)，可以由公式(12)確定，

step=a+(b-a)·rand(1,Dim)

(12)

式中，a為參數(shù)下限，取-1；b為參數(shù)上限，取1；Dim為空間維度，rand()為生成隨機(jī)矩陣函數(shù)。

混沌搜索能在一定范圍內(nèi)按其自身的規(guī)律不重復(fù)地遍歷所有狀態(tài)，所以利用混沌擾動(dòng)產(chǎn)生的混沌變量進(jìn)行搜索毫無(wú)疑問(wèn)地比盲目隨意的隨機(jī)搜索更具優(yōu)越性[17]。利用混沌搜索的這一優(yōu)點(diǎn)，本文將兩者有機(jī)結(jié)合在一起，每次天牛位置更新后，利用混沌擾動(dòng)機(jī)制，避免天牛個(gè)體陷入局部最優(yōu)。

算法迭代步驟如下：

步驟1 設(shè)置混沌天牛須算法參數(shù)；

步驟2 初始化天牛須種群；

步驟3 根據(jù)公式(6)進(jìn)行歸一化處理；

步驟4 根據(jù)公式(7)搜尋可行解；

步驟5 根據(jù)公式(8)更新天牛須位置；

步驟6 將最優(yōu)天牛個(gè)體通過(guò)Logistic映射，形成混沌變量；

步驟7 根據(jù)公式(10)逆映射到解空間中；

步驟8 進(jìn)行混沌擾動(dòng)，

步驟9 對(duì)擾動(dòng)后的個(gè)體判斷是否滿足終止準(zhǔn)則，滿足則退出循環(huán)，不滿足則返回步驟3。

4 實(shí)驗(yàn)分析

本文利用Matlab/Simulink對(duì)混沌天牛須算法程序和系統(tǒng)模型進(jìn)行仿真?；煦缣炫ｍ毸惴ㄅcsimulink模型之間連接的橋梁是天牛個(gè)體(即分?jǐn)?shù)階PID控制參數(shù))和該天牛對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值(即控制系統(tǒng)的性能指標(biāo))。

4.1 仿真實(shí)驗(yàn)

混沌天牛須算法參數(shù)設(shè)置為：天牛種群規(guī)模Size=10，維數(shù)Dim=5，左右須距離d=1，初始步長(zhǎng)step=2，步長(zhǎng)系數(shù)eat=0.95，混沌系數(shù)u=4，迭代次數(shù)MaxIter=80，最小適應(yīng)度值MinFit=0.6，選取的被控對(duì)象的傳遞函數(shù)

(10)

選誤差性能指標(biāo)ITAE作為適應(yīng)度函數(shù)

(11)

4.2 仿真分析

經(jīng)過(guò)算法尋優(yōu)，得出的分?jǐn)?shù)階控制器為：

(12)

為了驗(yàn)證利用混沌天牛須算法尋優(yōu)后的分?jǐn)?shù)階PID控制器參數(shù)是否能達(dá)到預(yù)期的控制效果，再使用天牛須算法、粒子群算法對(duì)分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，尋優(yōu)后的控制器傳遞函數(shù)為：

(13)

(14)

各自的性能指標(biāo)見(jiàn)表1。

表1 算法性能指標(biāo)

將控制器參數(shù)帶入到仿真模型中，得出圖1所示的仿真波形。

圖 1 仿真階躍波形

結(jié)合表1 和圖1可以看出混沌天牛須算法相較于天牛須算法和粒子群算法有較好的尋優(yōu)能力。

5 結(jié)束語(yǔ)

分?jǐn)?shù)階PID控制器參數(shù)對(duì)控制器性能起著決定性作用，本文運(yùn)用混沌天牛須算法，通過(guò)引進(jìn)混沌擾動(dòng)機(jī)制，使天牛個(gè)體能夠找到全局最優(yōu)值，尋優(yōu)得出的參數(shù)也具有很好的控制效果。經(jīng)過(guò)仿真結(jié)果對(duì)比，混沌天牛須算法相較于天牛須算法、粒子群算法尋優(yōu)后的參數(shù)更具有效性。更進(jìn)一步，對(duì)于比例系數(shù)，其階次是否也能為分?jǐn)?shù)階，這有待研究。