從《兩個基本計數(shù)原理》談原理課教學(xué)設(shè)計

殷寧

數(shù)學(xué)抽象是六大核心素養(yǎng)之一，也是最難的核心素養(yǎng)?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法和思想，認(rèn)識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系。本節(jié)課要講的《兩個基本計數(shù)原理》屬于原理和命題教學(xué)，也是數(shù)學(xué)抽象的范疇。

【教學(xué)內(nèi)容分析】

計數(shù)原理是數(shù)學(xué)中的重要研究對象之一，分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理是解決計數(shù)問題的最基本、最重要的方法，也稱為基本計數(shù)原理，它們?yōu)榻鉀Q很多實(shí)際問題提供了思想和工具。在本章中，學(xué)生將依次學(xué)習(xí)計數(shù)基本原理、排列、組合、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用，了解計數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，會解決簡單的計數(shù)問題。

【學(xué)情分析】

在學(xué)習(xí)計數(shù)公式之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過簡單的古典概型求概率，樹狀圖、窮舉法，但是并沒有具體的計數(shù)公式對問題進(jìn)行歸納定型。

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

通過實(shí)例總結(jié)出兩個基本原理，讓同學(xué)們理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的特征;能夠正確的區(qū)分“類”和“步”，能利用兩個原理解決一些簡單的實(shí)際問題。

【重難點(diǎn)】

重點(diǎn)：歸納地得出分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理。

難點(diǎn)：正確理解“完成一件事情”的含義;根據(jù)實(shí)際問題的特征，正確地區(qū)分“分類” 或“分步”;把具體的自然語言轉(zhuǎn)化成抽象的符號語言。

【教學(xué)過程】

【課前思考】

①如果使用2個大寫的英文字母后接4個阿拉伯?dāng)?shù)字的方式構(gòu)成汽車牌照號碼（英文字母中的I和O不用，以免和數(shù)字1，0混淆），那么能組成多少種汽車牌照號碼？

②新高考3+1+2模式中，共可能有多少種選科組合方法？

③乘積（a+b+c+d）（m+n）（x+y+z）展開后共有多少項(xiàng)？

④從0、1、2、3這4個數(shù)中選出3個不同的數(shù)字排成一列，求能組成一個三位數(shù)的概率？

【問題情境】

問題1：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車。一天中，火車有3班，汽車有2班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同走法？

問題2：由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條。從A村經(jīng)過B村去C村，共有多少種不同的走法？

問題3：某校運(yùn)動會前，各班開展了報名工作。跳遠(yuǎn)類有2個項(xiàng)目;田徑類3個項(xiàng)目;集體類有4個項(xiàng)目;小明要從這些比賽項(xiàng)目中選擇一項(xiàng)報名，他一共有多少種不同的選法？

問題4：跳遠(yuǎn)類有2個項(xiàng)目，田徑類有3個項(xiàng)目，小明要從這兩個類型的比賽項(xiàng)目中各選一項(xiàng)報名，他一共有多少種不同的選法？

【學(xué)生活動】

問題1：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車。一天中，火車有3班，汽車有2班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同走法？

問題2：由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條。從A村經(jīng)過B村去C村，共有多少種不同的走法？

問題3：某校運(yùn)動會前，各班開展了報名工作。跳遠(yuǎn)類有2個項(xiàng)目;田徑類3個項(xiàng)目;集體類有4個項(xiàng)目;小明要從這些比賽項(xiàng)目中選擇一項(xiàng)報名，他一共有多少種不同的選法？

問題4：跳遠(yuǎn)類有2個項(xiàng)目，田徑類有3個項(xiàng)目，小明要從這兩個類型的比賽項(xiàng)目中各選一項(xiàng)報名，他一共有多少種不同的選法？

思考1：你能將上述4個問題歸類嗎？

生：問題1和問題3是一類，問題2和問題4是一類。

思考2：你還能再舉出一些類似的例子嗎？

生：如3位密碼鎖的設(shè)置過程;如選出兩名課代表。

設(shè)計意圖：以問題串的形式引發(fā)學(xué)生自主歸納，并自己舉例，引發(fā)所有人對“分類”和“分步”的反思和辨析，進(jìn)一步明確兩種類型的差異，經(jīng)歷分類與識別的過程。

思考3：能否歸納出分類計數(shù)問題和分步計數(shù)問題的特征和計算方法？

生：分類計數(shù)問題分為兩類，分步計數(shù)問題分為兩步。每類有不同的解決方法，只要把這些方法數(shù)加起來就行。分步計數(shù)問題只要把每一步的方法數(shù)乘起來即可。

追問1：分類計數(shù)問題一定就是分成兩類嗎？分步計數(shù)問題一定就是兩個步驟嗎？

追問2：每類方法下有多少種方法，能表示出來嗎？每個步驟的方法數(shù)如何用數(shù)學(xué)語言表示？

設(shè)計意圖：都是計數(shù)原理，即統(tǒng)計完成某件事不同方法種數(shù)的原理，因此都要先弄清是怎樣一件事，如何才算完成這件事.不同點(diǎn)：分類計數(shù)原理中的n類辦法相互獨(dú)立，且每類里的每種方法都可獨(dú)立完成這件事;分步計數(shù)原理中的各個步驟互相依存，每一步都不能獨(dú)立完成該件事，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成。

揭示本節(jié)課課題：《兩個基本計數(shù)原理》

【課堂小結(jié)】

今天學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？它們的“區(qū)別”和“聯(lián)系”是什么？

【你學(xué)會了嗎？】

如果使用2個大寫的英文字母后接4個阿拉伯?dāng)?shù)字的方式構(gòu)成汽車牌照號碼（英文字母中的I和O不用，以免和數(shù)字1，0混淆），那么能組成多少種汽車牌照號碼？

設(shè)計意圖：以最開始提出的問題結(jié)尾，營造首尾呼應(yīng)之感，以檢驗(yàn)本節(jié)課教學(xué)成果，延續(xù)學(xué)生對本節(jié)課內(nèi)容的研究興趣。

【教學(xué)反思】

本節(jié)課是一節(jié)概念原理課，對于具體數(shù)學(xué)概念的抽象過程，應(yīng)是特殊→一般→特殊，這是一個從具體到抽象再到具體的過程。本節(jié)課從幾個具體簡單的數(shù)學(xué)問題入手，引導(dǎo)學(xué)生尋找規(guī)律，對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析和建構(gòu)，從中歸納和概括出數(shù)學(xué)概念和原理，這既是教學(xué)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。本節(jié)課問題1，2，3，4的結(jié)果學(xué)生很容易得出，但是在從具體數(shù)字到數(shù)學(xué)符號語言的飛躍過程中，學(xué)生仍然出現(xiàn)了不小的困難。在實(shí)施過程中，學(xué)生無法獨(dú)立表達(dá)出“在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法，……，在第n類方式中有mn種不同的方法”，說明本節(jié)課的數(shù)學(xué)概念抽象過程在具體操作中需要進(jìn)一步細(xì)化。

在教學(xué)設(shè)計當(dāng)中，目前有一點(diǎn)遺憾，那就是未能將本節(jié)課的《兩個基本計數(shù)原理》和已有知識不落痕跡地結(jié)合，比如加法原理和分類討論思想的一致性，乘法原理是樹狀圖的原理呈現(xiàn)，樹狀圖是乘法原理的窮舉化表達(dá)等，希望給學(xué)生創(chuàng)造接受新知識并納入已有知識網(wǎng)絡(luò)的契機(jī)，這個創(chuàng)造在后續(xù)的學(xué)習(xí)中持續(xù)進(jìn)行。