考慮計算延遲的Boost變換器異步切換控制方法

王榮浩

(中國人民解放軍陸軍工程大學國防工程學院，南京 210007)

電能是保障電氣設施設備有效運行的最重要的能量形態(tài)，是電氣設備正常工作的基礎能源. 不同的電氣設備對電壓等級的需求也不同，直流供電系統(tǒng)中電壓等級的變換主要依靠直流DC-DC變換器. Boost電路作為直流變換器的主要拓撲結構，具有體積小、效率高等優(yōu)點. 此外，為了提高電能質量，電氣設備輸入側普遍采用功率因數(shù)矯正技術，而Boost電路是常用的功率因數(shù)矯正裝置的主拓撲電路. Boost電路拓撲在供配電系統(tǒng)及電氣設備中的應用越來越廣泛. 文獻[1]根據(jù)混雜切換理論建立Boost功率變換器的混雜模型，分別討論變換器在連續(xù)模式(CCM)和斷續(xù)模式(DCM)兩種工作模式下的切換控制方法. 文獻[2]闡述了利用分段仿射切換模型對Boost變換器進行建模的方法，并概括了以此模型為基礎的公共Lyapunov函數(shù)、多Lyapunov函數(shù)以及模型預測控制方法. 文獻[3]建立了用于儲能節(jié)能系統(tǒng)的雙向DC-DC變換器切換系統(tǒng)模型，構造了系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)，通過Lyapunov函數(shù)推導出系統(tǒng)切換控制律. 文獻[4]引入混雜系統(tǒng)理論，建立了基于切換系統(tǒng)的開關變換器統(tǒng)一模型，基于該模型的參數(shù)矩陣，提出系統(tǒng)Lyapunov 函數(shù)的構造方法，通過構造Lyapunov 函數(shù)得出系統(tǒng)切換律，分析該切換律條件下系統(tǒng)在切換平衡點的穩(wěn)定性，并總結出建立該統(tǒng)一模型的一般方法和具體步驟. 文獻[5]建立了Boost變換器的切換仿射線性系統(tǒng)模型，然后根據(jù)凸組合穩(wěn)定條件及無源性理論，基于公共Lyapunov函數(shù)方法構造切換律，保證系統(tǒng)在任意切換下的二次穩(wěn)定性. 文獻[6]基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，利用線性矩陣不等式(LMI)優(yōu)化方法設計了Boost變換器的切換控制器參數(shù)，相比于傳統(tǒng)PI控制方法，所提出的切換策略具有更強的參數(shù)魯棒性和暫態(tài)過程的快速性. 文獻[7]研究了一種有限時間彈性切換控制方法并用于Boost變換器電路模型的控制，實驗結果表明電壓能夠在有限時間內收斂至平衡態(tài)附近，比漸近穩(wěn)定控制具有更加良好的暫態(tài)特性. 文獻[8]基于切換系統(tǒng)的公共Lyapunov函數(shù)方法研究了Boost變換器電路的二次穩(wěn)定性，基于該穩(wěn)定性的控制器允許電路參數(shù)在一定范圍內波動，具有較強的魯棒性.

綜上，目前采用切換系統(tǒng)建模及分析方法是研究Boost變換器電路穩(wěn)定性的有效手段. 基于切換系統(tǒng)處理方法進行Boost變換器的分析和設計相較于傳統(tǒng)的小信號平均模型方法更能夠體現(xiàn)變換器的本質特征. 然而，實際的Boost變換器控制電路廣泛采用數(shù)字控制器，目前已有的基于狀態(tài)切換控制理論的Boost變換器分析和設計均不考慮占空比控制律的計算時間. 由于數(shù)字控制在計算占空比時需要計算時間，當前開關周期計算所得到的占空比可能用于下一個開關周期，因此會產生數(shù)字延遲. 若在設計控制器時對此估計不足，在實際應用中輸出電壓很可能會出現(xiàn)較大紋波甚至產生混沌分岔現(xiàn)象[9]，使得理想狀況下的分析和設計方法失去原本的穩(wěn)定控制效果. 已有文獻在用切換系統(tǒng)處理方法研究Boost變換器控制電路時很少考慮控制作用和模型切換之間的這種延遲現(xiàn)象. 對于控制的延遲效應在切換系統(tǒng)研究領域稱為異步切換控制模式[10]. 此外，數(shù)字控制延遲效應的存在會導致系統(tǒng)穩(wěn)定時間變長，甚至狀態(tài)失穩(wěn)，而有限時間控制能很好地提升系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標，且確保系統(tǒng)響應的快速性[11]. 因此，利用有限時間異步切換控制方法研究Boost變換器的穩(wěn)定性問題具有重要意義.

本文根據(jù)切換系統(tǒng)異步控制理論對Boost變換器進行建模并控制，檢測電感電流值和電容電壓值，并利用多Lyapunov函數(shù)和平均駐留時間方法計算占空比來控制功率開關器件的動作，從而實現(xiàn)Boost變換器的有限時間混雜狀態(tài)切換. 當控制律所依賴的電路模型的切換和晶體管的開關動作之間存在延遲時，利用異步切換控制方法對延遲效應進行了分析與估計，進而減少了輸出電壓的高頻振動，具有良好的控制性能.

1 Boost功率變換器異步切換建模

Boost開關變換器電路結構如圖1所示，其中L為電感值，iL為流經電感的電流瞬時值；C為電容值，uC為電容兩端的電壓瞬時值；R為電阻阻值，v0為電阻兩端的瞬時電壓；D和T分別為鉗位二極管和晶體管；E為外部輸入電壓值. 當晶體管處于導通狀態(tài)時電路的拓撲如圖2所示. 此時電感兩端產生輸入電流，電源通過電感向電容兩端充電. 位于電容和電感之間的鉗位二極管可防止電容對地放電. 在直流電輸入作用下，電源對電容的充電

圖1 Boost變換器電路原理圖

圖2 Boost電路充電過程

過程使得流經電感的電流會成比例地線性增加，通常這個比例由電感值來決定. 流經電感的電流不斷增加使得電感處于持續(xù)儲能狀態(tài).

(1)

(2)

當晶體管處于截止狀態(tài)時，此時由于電感中儲存了一定能量，電感會通過鉗位二極管向電容兩端充電，電感自身處于放電過程，由于流經電感兩端的電流不會發(fā)生突變，因此電流值不會瞬間變?yōu)榱?，而是由充電過程結束時的電流值緩慢降到零. 電感自身的放電過程使得電容兩端電壓不斷升高，最終導致輸出電壓值超過輸入電壓，至此升壓過程完畢. 晶體管截止時的等效電路如圖3所示.

圖3 Boost電路放電過程

(3)

綜合式(2)和(3)可得

(4)

式中，u在{0,1}上取值. 定義拉格朗日函數(shù)

(5)

代入拉格朗日方程

(6)

(7)

整理得

(8)

(9)

由此可得，Boost開關變換器在晶體管導通和截止時具有2種不同的電路狀態(tài)模型，通過控制晶體管的通斷，Boost電路在2個不同的狀態(tài)方程間切換，即

當u=1時

(10)

當u=0時

(11)

Boost開關變換器模型可以用更一般的切換系統(tǒng)方程描述，即

(12)

S′={(t0+Δ0,σ(t0)),(t1+Δ1,σ(t1)),…,

(tk+Δk,σ(tk)),…}

(13)

與式(12)不同的是，模型式(13)考慮了由切換控制律計算時間導致的晶體管開關觸發(fā)動作的延遲效應，該異步切換模型更具有實際意義.

圖4 開關電路異步觸發(fā)模式

2 有限時間異步切換控制方法

針對式(10)和(11)所描述的切換狀態(tài)方程，已有文獻多采用傳統(tǒng)的基于狀態(tài)切換控制方法研究輸出電壓的穩(wěn)定性問題，即依賴實時檢測到的iL和uC值構造系統(tǒng)的切換律，從而控制晶體管的導通或截止. 這種方法最大的缺陷是無法獲取系統(tǒng)切換的時間信息，基于狀態(tài)的切換假定狀態(tài)量的檢測和控制律的計算是瞬時完成的，在實際應用中計算時間延遲會導致當前的控制律和系統(tǒng)模型切換之間出現(xiàn)不匹配，經過控制作用的周期性累積，最終使得系統(tǒng)出現(xiàn)無法預知的控制效果. 而依賴時間的切換控制方法基本思想是通過限定切換頻率達到系統(tǒng)穩(wěn)定的效果，由于其建立在時間度量基礎上，因此能夠對計算時間做出估計并實施控制，可以有效避免計算延遲帶來的控制效果惡化以及由此產生的無法預知的后果.

不失一般性，針對式(13)討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性. 首先給出系統(tǒng)駐留時間和有限時間穩(wěn)定的相關定義.

定義1[12]對于任意的切換信號σ(t)和t2>t1≥0，用Nσ(t1,t2)表示在時間段[t1,t2]上σ(t)的切換次數(shù)，對于給定的N0≥0和τa>0，若有如下關系式成立：

則正常數(shù)τa稱為平均駐留時間，非負常數(shù)N0稱為振動幅度. 由于N0是固定常數(shù)，如文獻[13]所述，本文選擇N0=0.

平均駐留時間反映了開關電路在一段時間內的切換頻率，其定義表明為了保持穩(wěn)定性，系統(tǒng)在某個時間段內切換頻次需限定在一定范圍內，不宜過高. 實際上過高的切換頻率是導致開關電路產生混沌的根本原因[14].

定義2給定正常數(shù)c1、c2、Tf和切換信號σ(t)(c1

(14)

式中，fi(·):Rn→Rn(?i∈N)為非線性連續(xù)函數(shù)，若系統(tǒng)狀態(tài)滿足‖x(0)‖≤c1?‖x(t)‖

有限時間穩(wěn)定性定義給出了電路系統(tǒng)在指定時間段內的狀態(tài)特性，相較于傳統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性更關注于系統(tǒng)暫態(tài)性能指標，且能夠確保電路輸出響應的快速性.

考慮式(13)的非切換形式：

(15)

式中，A∈Rn×n,B∈Rn×1為非切換形式下的系統(tǒng)參數(shù)矩陣.式(15)的行為軌跡可由如下結論來描述.

引理環(huán)C1:={x:xTx≤c1}和C2:={x:xTx≤c2}是系統(tǒng)式(15)的給定狀態(tài)域，若存在正常數(shù)ξ>0、正定矩陣P>0使得

ATP+PA≤ξP

(16)

且參數(shù)c1、c2滿足

(17)

式中，λmax(·)和λmin(·)分別表示矩陣的最大和最小特征值，則當

(18)

對于初始狀態(tài)x0∈C1，x0=x(0)，式(15)的所有軌跡滿足x(t)∈C2，?t∈[0,Tf].

證明對于系統(tǒng)式(15)，構造候選Lyapunov函數(shù)

V(t)=xT(t)Px(t)

則所構造的Lyapunov函數(shù)關于時間t的導數(shù)滿足

ξλmax(P)‖x‖2+2‖x‖‖PB‖

(19)

在狀態(tài)域C2:={x:xTx≤c2}中，對式(19)兩邊積分可得

(20)

當t∈[0,Tf]，‖x0‖≤c1時，有

λmax(P)‖x0‖2+c2[ξλmax(P)c2+2‖PB‖]Tf≤

(21)

‖x‖≤c2

(22)

由此可得

(23)

因此‖x(0)‖≤c1?‖x(t)‖≤c2，?t∈[0,Tf]. 證畢.

式(23)針對一般的非切換系統(tǒng)給出了系統(tǒng)穩(wěn)定運行時間與系統(tǒng)運行狀態(tài)界之間的定量關系，作為特例當切換系統(tǒng)只含單個子系統(tǒng)時，系統(tǒng)穩(wěn)定運行時間隨允許的運行狀態(tài)界c2的增大(減小)而增大(減小). 引理中的式(16)和(17)揭示了單個系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定時系統(tǒng)參數(shù)需要滿足的條件，該條件將被擴展至切換系統(tǒng)的情形，且引理證明中式(21)所揭示的單個系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)任意時刻值與初始值之間的關系將被用于切換系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定定理的證明. 進一步討論切換情形下的有限時間控制方法，對于切換系統(tǒng)式(13)，給出如下有限時間異步切換控制律的設計定理.

定理環(huán)C1:={x:xTx≤c1}和C2:={x:xTx≤c2}是系統(tǒng)式(13)的給定狀態(tài)域，若存在正常數(shù)ν+,ν->0，ρ1,ρ2>1和正定矩陣Pi,Pj,Pij>0(i,j∈N，i≠j)使得

(24)

(25)

Pj<ρ1Pij,Pij<ρ2Pi

(26)

且有

(27)

式中

式中，Δ[0,Tf]表示在時間段[0,Tf]上占空比的總計算時間，且系統(tǒng)平均駐留時間滿足

(28)

則對于初始狀態(tài)x0∈C1，式(13)的所有軌跡滿足x(t)∈C2，?t∈[0,Tf].

證明由開關電路異步觸發(fā)模式可知，當?shù)趇個子系統(tǒng)在時刻tk切換到第j個子系統(tǒng)時，有σ(t)=i，t∈[tk-1,tk)和σ(t)=j，t∈[tk,tk+1)，則實際開關觸發(fā)動作可表示為σ′(t)=i，t∈[tk-1+Δk-1,tk+Δk)和σ′(t)=j，t∈[tk+Δk,tk+1+Δk+1). 選擇如下分段類Lyapunov函數(shù)：

(29)

(30)

式中，Vj為第j個子系統(tǒng)在時間段tk+1-tk-Δk內的類Lyapunov函數(shù)；Vij為第i個子系統(tǒng)切換到第j個子系統(tǒng)時在時間段Δk內的類Lyapunov函數(shù)；Θk-=‖PjBj‖，Θk+=‖PijBj‖. 根據(jù)切換信號σ(t)和σ′(t)與子系統(tǒng)序號的關系可得

Vσ′(tk+Δk)(tk+Δk)≤ρ1Vσ(tk-1)σ(tk)((tk+Δk)-)

(31)

記ζk-=ξ-c2+Θk-，ζk+=ξ+c2+Θk+，則由式(26)和(30)得

V(t)≤V(tk+Δk)+c2ζk-(t-tk-Δk)≤

ρ1ρ2[V(tk-1+Δk-1)+c2ζ(k-1)-(tk-tk-1-

Δk-1)]+ρ1c2ζk+Δk+c2ζk-(t-tk-Δk)≤

(ρ1ρ2)ρ1V(tk-1)+ρ1ρ2ρ1c2ζ(k-1)+Δk-1+

ρ1c2ζk+Δk+c2ζk-(t-tk-Δk)+ρ1ρ2c2ζ(k-1)-·

(tk-tk-1-Δk-1)≤…≤(ρ1ρ2)kρ1V(0)+

(ρ1ρ2)kρ1c2ζ0+Δ0+(ρ1ρ2)kc2ζ0-(t1-t0-Δ0)+

(ρ1ρ2)k-1ρ1c2ζ1+Δ1+(ρ1ρ2)k-1c2ζ1-(t2-t1-

Δ1)+…+ρ1c2ζk+Δk+c2ζk-(t-tk-Δk)

(32)

記Θ-=max{Θ0-,Θ1-,…,Θk-}，Θ+=max{Θ0+,Θ1+,…,Θk+}，則由式(32)可得

(33)

由平均駐留時間的定義，在時間段[0,Tf]內系統(tǒng)的總切換次數(shù)為k+1=Nσ(0,Tf)=Tf/τa，則在時間段[0,Tf]內有

(34)

基于式(29)，對于?i,j∈N，i≠j有

(35)

且

(36)

由于

‖x(0)‖≤c1

(37)

則有

(38)

由式(34)和(38)，如下關系式成立：

(39)

由式(39)可知，若

(40)

則可確保‖x(t)‖

特別地，當Δ[0,Tf]=0，即理想狀況下不考慮占空比控制律的計算時間，則有如下推論.

推論環(huán)C1:={x:xTx≤c1}和C2:={x:xTx≤c2}是系統(tǒng)式(13)的給定狀態(tài)域，若存在正常數(shù)ν>0，ρ>1和正定矩陣Pi,Pj>0(i,j∈N，i≠j)使得

(41)

Pi<ρPj

(42)

且有

(43)

(44)

則對于初始狀態(tài)x0∈C1，式(13)的所有軌跡滿足x(t)∈C2，?t∈[0,Tf].

3 基于時間切換的Boost電路仿真

Boost升壓電路的控制框圖如圖5所示. 圖中，iL為流經電感的電流實際測量值；uC為電容兩端的電壓實際測量值；iref和uref分別為變換器的穩(wěn)態(tài)電流值和穩(wěn)態(tài)電壓值. 基于數(shù)字計算機的控制器以一定的采樣周期采集Boost變換器的電量參數(shù)，并將采集到的數(shù)據(jù)進行量化處理，基于量化后的處理數(shù)據(jù)計算控制律，通過數(shù)字驅動電路實施對Boost變換器的控制. 由于控制器檢測信號和計算的延遲，控制器檢測到電感電流值和電容電壓值再計算控制律需要經過一定的時間，然后再發(fā)出指令

圖5 Boost電路控制框圖

信號控制晶體管的導通和截止，因此實際控制律所依賴的Boost變換器電路模型的切換和晶體管的開關動作之間存在一定的時間延遲，由此導致了異步切換現(xiàn)象的發(fā)生.

電路中各器件參數(shù)為：電感L=12 μH,電容C=180 μF，電阻R=6 Ω，輸入電壓E=12 V. 將式(10)和(11)寫成標準切換系統(tǒng)式(13)的形式，則系統(tǒng)參數(shù)為

切換信號為

為了便于比較，分別利用同步切換控制方法(不考慮計算延遲)和異步切換控制方法(考慮計算延遲)設計Boost變換器的控制律.

3.1 同步切換控制

從仿真圖中可以看出，在0.9 ms內隨著時間的推移，電壓和電流值最終維持在平衡狀態(tài)值附近. 然而，從電流和電壓接近平衡態(tài)時的曲線可以看出，在平衡態(tài)附近，電流及電壓均出現(xiàn)了高頻振動現(xiàn)象，原因是所采用的控制方法假定計算機中控制律的計算所依賴的電路模型切換與實際的晶體管開關導通/截止動作是同步發(fā)生的. 由于實際系統(tǒng)中存在0.05 ms的控制器檢測信號和計算延遲，計算機依賴當前電參量uC與iL所得到的控制律實際控制的是0.05 ms后的電路模型，這種不匹配使得電流與電壓值在平衡點處發(fā)生了頻率較高的振動.

(a) 系統(tǒng)切換信號時序圖

(b) 電流變化曲線圖

(c) 電壓變化曲線圖

3.2 異步切換控制

依據(jù)定理設計Boost電路的異步切換控制律，為便于比較，系統(tǒng)運行指標參數(shù)與同步切換控制律一致，設置為c1=1，c2=10，Tf=1 ms，控制器設計參數(shù)調整為ρ1=ρ2=1.005，ν-=0.01，ν+=1.02. 通過對式(28)進行計算，系統(tǒng)的平均駐留時間可取為τa=0.18 ms，根據(jù)平均駐留時間的取值為系統(tǒng)選擇切換周期為0.18 ms的周期切換律，脈沖信號頻率為17 kHz. 圖7(a)給出了電路系統(tǒng)的切換與實際控制律切換信號的時序圖，兩者之間存在0.05 ms的時間延遲. 圖7(b)和(c)分別給出了異步切換控制下電流和電壓的變化曲線圖.

對比同步切換控制方法和異步切換控制方法可以看出，異步切換控制的駐留時間長于同步切換下的駐留時間，這是由于計算機檢測信號和控制律計算延遲的存在導致基于計算機實施的控制方法中電路模型的切換與實際的晶體管切換時間不一致，因此電路的切換頻次不宜過高，系統(tǒng)需要在每個子系統(tǒng)中停留足夠長的時間來穩(wěn)定電參量. 雖然2種方法在過渡階段電容輸出電壓均經過1次切換便達到了平衡態(tài)，但考慮在0.9 ms運行時間內異步切換所實施的控制方法的總切換次數(shù)為5，明顯少于同步切換所實施的控制方法的總切換次數(shù)11，未出現(xiàn)高頻振動的現(xiàn)象，控制性能更優(yōu).

(a)系統(tǒng)及控制律切換信號時序圖

(b) 電流變化曲線圖

(c) 電壓變化曲線圖

4 結 論

1) 本文提出了一種有限時間異步切換控制方法來處理Boost開關變換器電路的穩(wěn)定性問題，該方法依賴于駐留時間切換條件，并給出了駐留時間與系統(tǒng)運行狀態(tài)界之間的定量關系. 為了確保系統(tǒng)穩(wěn)定性，除了控制律的設計，占空比的計算時間與切換信號駐留時間之間的關系也通過研究予以確立.

2) 本文通過分析變換器電路結構的混雜模型，指出在Boost電路分析和設計時計算延遲效應是不可忽略的因素，所提出的基于時間切換的Boost變換器控制方法能夠有效克服計算延遲給電路穩(wěn)定性帶來的影響.

3) 比較了應用同步切換和異步切換2種控制方法的效果，在0.9 ms運行時間內，電路系統(tǒng)的切換與實際控制律切換信號之間存在0.05 ms的時間延遲時，異步切換所實施的控制方法的總切換次數(shù)為5，少于同步切換所實施的切換控制的總切換次數(shù)11，且未出現(xiàn)高頻振動的現(xiàn)象. 仿真結果表明異步切換控制方法能夠有效抑制電路輸出響應在平衡點附近的高頻振動，所提出的有限時間異步控制方法在電路的被控電參量輸出上具有良好的控制性能，對工程應用具有實際的指導意義.