深入淺出：數(shù)學(xué)概念教學(xué)的備課歷程與教研思考①
——以“函數(shù)的概念”為例

張 敏

(江蘇省沙溪高級中學(xué) 215421)

1 問題提出

眾所周知，備課對課堂教學(xué)具有定向作用，備好課是上好課的一個必要條件. 備課的結(jié)果往往是以一份教學(xué)設(shè)計(jì)呈現(xiàn)出來，在“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，教師想獲取一份質(zhì)量較高的教學(xué)設(shè)計(jì)不是一件難事，問題在于拿著這樣一份優(yōu)秀教案未必能演繹一節(jié)精彩的課，究其原因，就是呈現(xiàn)出來的教學(xué)設(shè)計(jì)已經(jīng)掃除了備課時的痕跡，沒有親自經(jīng)歷“深入”備課的研究歷程，由此很難做到“淺出”.在平時與同行的交談中還發(fā)現(xiàn)另一種現(xiàn)象，有些教師在備課時確實(shí)花了很多時間和精力，可備出的課還是不盡如人意.因此，在當(dāng)前新課標(biāo)新教材的背景下，加強(qiáng)備課研究，理應(yīng)成為提高工作質(zhì)量和效益的最重要的教研環(huán)節(jié).

函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，其在整個數(shù)學(xué)發(fā)展中具有突出的地位，函數(shù)的思想和方法貫穿高中數(shù)學(xué)課程的始終，并且函數(shù)概念因?yàn)槠涓叨鹊某橄笮猿蔀閹熒铍y把握的概念之一，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的良好載體. 有鑒于此，本文以“函數(shù)的概念”為例，結(jié)合自身備課經(jīng)歷，就如何進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)的備課談一點(diǎn)拙見和思考，敬請同行專家們批評指正.

2 備課歷程

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱“新課程標(biāo)準(zhǔn)”)強(qiáng)調(diào)：要將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學(xué)活動的全過程；要深入理解數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵、價值、表現(xiàn)、水平及其相互聯(lián)系；要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)目標(biāo)在教學(xué)中的可實(shí)現(xiàn)性.理解數(shù)學(xué)概念能較好讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地，重視數(shù)學(xué)概念已成共識，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)研究更要“不惜時、不惜力”. 這是因?yàn)閿?shù)學(xué)概念高度凝結(jié)著數(shù)學(xué)家的思維，是數(shù)學(xué)地認(rèn)識事物的思想精華，是數(shù)學(xué)家智慧的結(jié)晶，蘊(yùn)含了最豐富的創(chuàng)新教育素材.

就目前現(xiàn)狀而言，針對數(shù)學(xué)概念，無論是教師的教還是學(xué)生的學(xué)，都存在諸多困難. 從意義創(chuàng)生的角度，教師對教材的理解可分為意義復(fù)原式教材理解和意義創(chuàng)生式教材理解.傳統(tǒng)的教師一般只停留在意義復(fù)原式教材理解的層面，但優(yōu)秀的教師會從意義復(fù)原式走向意義創(chuàng)生式，這是優(yōu)秀教師對于教材理解的轉(zhuǎn)向.教師對教材創(chuàng)生式理解的過程同時也是一種教師自我理解的過程，筆者結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐，梳理了數(shù)學(xué)概念的備課歷程，就好比建造房屋，需要經(jīng)歷“打地基、搭框架、精裝修”三個階段，也就是說“前理解—理解—自我理解”是意義創(chuàng)生式教師教材理解的邏輯框架，以此實(shí)現(xiàn)教師對教材的自我理解.“一切理解都是自我理解”，教師教材理解應(yīng)在整體性視域中根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生的需要，從整體上理解教材的編寫思路，深入挖掘教材中隱含的思想、觀點(diǎn)和方法，從而增強(qiáng)教師對新課標(biāo)新教材的自我理解能力，提高教學(xué)設(shè)計(jì)的科學(xué)性和課堂教學(xué)的實(shí)施能力.

2.1 打地基——自我理解

這個階段所做的工作就是廣泛學(xué)習(xí)，以己昭昭才能使人昭昭，實(shí)現(xiàn)自我理解. 理解數(shù)學(xué)概念的意義以及所教數(shù)學(xué)知識的程度是制約教學(xué)設(shè)計(jì)水平提高的重要因素. 理解什么，怎么理解，下面從三個方面闡述.

(1)理解數(shù)學(xué)

章建躍博士指出：“理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提. 大量課堂觀察表明，數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量低下的原因，追本溯源，主要來自于教師的數(shù)學(xué)理解不到位. 很難想象一個對所教知識似懂非懂的人能引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考. ”其中，理解數(shù)學(xué)概念主要從以下幾個方面入手.

我們在針對某一數(shù)學(xué)概念進(jìn)行備課時，不妨按照以上列表進(jìn)行資料的收集與整理.真正做到“入乎其內(nèi)”，深入理解數(shù)學(xué)概念，為后面進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

(2)理解學(xué)生

理解學(xué)生的核心是理解學(xué)生的數(shù)學(xué)思維規(guī)律，而數(shù)學(xué)概念的理解主要讓學(xué)生經(jīng)歷完整的抽象過程，并概括出概念的本質(zhì)特征.

對于函數(shù)概念而言，學(xué)生已掌握了初中函數(shù)的概念，集合的基本知識，學(xué)生的難處在于從“變量說”到“集合——對應(yīng)說”的轉(zhuǎn)變，尤其是學(xué)生初中時期主要是用解析式表示函數(shù)，對圖象、表格表示的函數(shù)往往認(rèn)識不到位，所以要想辦法幫助學(xué)生認(rèn)識“對應(yīng)關(guān)系”這一函數(shù)概念的核心.

(3)理解教學(xué)

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)和規(guī)律，只有遵循規(guī)律，教學(xué)質(zhì)量和效益才能得到保證.

教之道在于度，教師所儲備的知識也不是一次性和盤托出.通過“理解數(shù)學(xué)”環(huán)節(jié)，獲取的是數(shù)學(xué)知識的“學(xué)術(shù)形態(tài)”，而“理解教學(xué)”環(huán)節(jié)就是基于“理解學(xué)生”，開發(fā)出數(shù)學(xué)知識的“教育形態(tài)”，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識從“冰冷的美麗”到“火熱的思考”.

“打地基”的目的就是以己昭昭，在備課過程中如何獲取這些知識，可以圍繞新課標(biāo)、新教材，以及優(yōu)秀專業(yè)論文汲取養(yǎng)分，也可以向優(yōu)秀教師學(xué)習(xí)借鑒.當(dāng)然，這個過程也要循序漸進(jìn)，螺旋式上升，不斷充實(shí)與更新.在此階段，我們還要廣泛涉獵，收集一些有利于理解數(shù)學(xué)概念的試題，以備后用.比如，在“函數(shù)概念”備課時，可類舉如下備用試題：

試題下列哪些y是x的函數(shù)，為什么？

(2)y=1(x∈R)；

(5)如果集合A=B={x|-5≤x≤5}，那么以下四個圖像所表示的x與y之間的關(guān)系是集合A到B的一個函數(shù)關(guān)系嗎？為什么？

(6)某位學(xué)生的幾次考試成績情況如下：

序號數(shù)x123456成績y909390缺考9892

2. 2 搭框架——科學(xué)設(shè)計(jì)

中學(xué)階段學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，通常采用的是概念形成的方式，即從典型、豐富的具體實(shí)例出發(fā)，經(jīng)過自己的實(shí)踐活動，由具體到抽象，由特殊到一般，從中歸納、概括出一類事物的共同本質(zhì)特征，從而理解和掌握概念.

就函數(shù)概念教學(xué)而言，關(guān)鍵是要為學(xué)生鋪設(shè)概括函數(shù)概念的通道，模擬數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)概念的過程.基于以上對函數(shù)概念的認(rèn)識和理解，我們搭建如下的框架結(jié)構(gòu).

其中，創(chuàng)設(shè)情境：給出了三到四個具體情境，每個情境的函數(shù)表示方法各不相同，讓學(xué)生感知圖象、表格、解析式等都只是函數(shù)的表示形式，而非函數(shù)的本質(zhì)屬性.歸納共性：分析實(shí)例，逐個歸納，提煉共性，重點(diǎn)是讓學(xué)生理解函數(shù)的本質(zhì)是一種對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)關(guān)系就像“住酒店”(每個人只能住一個房間，多個人可以住同一個房間，但一個人不能住多個房間)，為后面從對應(yīng)關(guān)系視角建構(gòu)新的函數(shù)定義做好鋪墊.概括定義：三種數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確嚴(yán)謹(jǐn)建構(gòu)出新的函數(shù)概念，當(dāng)一個核心概念建立后，為了表述和研究方便，往往需要建立相應(yīng)的輔助性概念，進(jìn)而給出定義域、值域的定義.深化理解：即數(shù)學(xué)運(yùn)用環(huán)節(jié)，正反舉例，及時鞏固、深化學(xué)生對函數(shù)概念的認(rèn)識.這是一種創(chuàng)造性理解，“理解不是一種單純重構(gòu)過程，而始終是一種創(chuàng)造過程”，是需要發(fā)揮自己的創(chuàng)造力，顯然，沒有師生的創(chuàng)造性理解，再好的教材也很難在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)揮出良好的作用。

2.3 精裝修——精致優(yōu)化

精裝修的過程就是一個反復(fù)打磨的過程，注重對細(xì)節(jié)的雕琢.就“函數(shù)的概念”一課，主要針對實(shí)例的選擇和問題的提出進(jìn)行精雕細(xì)琢.

(1)實(shí)例的精致

鑒于函數(shù)概念的抽象性，教學(xué)中應(yīng)通過具體的、現(xiàn)實(shí)的、學(xué)生熟悉且感興趣的情境加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解.在函數(shù)概念的引入、表示、性質(zhì)和應(yīng)用等各階段都要注重實(shí)例，為學(xué)生提供理解函數(shù)概念的“參照物”.選取的實(shí)例要具有承上啟下的作用：既是對初中已學(xué)的函數(shù)概念的進(jìn)一步深入，又是為下一步用集合的語言刻畫函數(shù)概念的本質(zhì)做好伏筆.此外，實(shí)例要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，化抽象為直觀，使得學(xué)生容易理解，有助于學(xué)生有效地區(qū)分函數(shù)的表示形式與函數(shù)的實(shí)質(zhì).

(2)問題的精致

一個好問題勝過一千次說教.教學(xué)中設(shè)置的問題質(zhì)量直接決定著課堂的教學(xué)效果，設(shè)計(jì)的問題一定要“基于學(xué)生已知，通向?qū)W生未知”，能夠促進(jìn)學(xué)生理解，揭示問題的本質(zhì).問題的提出要“適時適度”.比如，本課例中，設(shè)置如下情境引導(dǎo)學(xué)生思考.

情境一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s落到地面擊中目標(biāo). 炮彈的射高為845m，且炮彈距地面的高度h(單位：m)隨時間t(單位：s)變化的規(guī)律是h=130t-5t2，那么炮彈距離地面的高度h是時間t的函數(shù)嗎？為什么？

表2

課例中給出的幾個實(shí)例分析思路一致，不妨教師示范一個，然后讓學(xué)生嘗試獨(dú)立完成其余的實(shí)例，教師適時給予指導(dǎo)，帶領(lǐng)學(xué)生分析每個實(shí)例時要注意強(qiáng)化以下三點(diǎn)：①顯化兩個集合；②體驗(yàn)對應(yīng)關(guān)系；③揭示共同屬性.板書如下：

3 教研思考

3.1 概念教學(xué)要緊扣教材

緊扣教材就是要求教學(xué)要特別重視對基本概念和課本上的基本問題的研究.教師和教材是一個整體，教師的教材理解應(yīng)樹立整體性觀念.教師對教材的理解過程也即教師自我理解、自我精神獲得提高的過程.對數(shù)學(xué)的每一個概念，不僅要講清它的背景，創(chuàng)設(shè)適切的情境，設(shè)計(jì)相應(yīng)的問題，還要理解課本上相應(yīng)的例題、習(xí)題和復(fù)習(xí)題的價值所在.通過這些深入的教材研究，整體把握教學(xué)內(nèi)容，深刻理解教材編寫意圖，讓學(xué)生進(jìn)一步理解新概念的學(xué)科價值與育人價值，以及基于課本的對概念的發(fā)展而精心設(shè)計(jì)一個主題、一個單元、一個章節(jié)的課堂教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言描述問題，用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問題.在問題解決的過程中，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.這是一種教學(xué)藝術(shù)與智慧.比如，本文中表1提及的“函數(shù)概念的來源、本質(zhì)、表述、聯(lián)系”問題，通過新舊知識的廣泛密切聯(lián)系， 揭示了函數(shù)的概念抽象的思維方式，增大了知識的容量， 使概念得到進(jìn)一步鞏固和深化， 增加了知識的靈活運(yùn)用能力， 有利于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)化觀念的形成.此方法若在新授課能加以很好的研究與運(yùn)用，并進(jìn)行一定的聯(lián)系與拓展，那么學(xué)生不僅能加深對函數(shù)的基本概念的理解，同時也掌握了運(yùn)用類比思想和發(fā)展的眼光看待新舊概念的聯(lián)系與發(fā)展，這樣在面對新的數(shù)學(xué)概念時，就會運(yùn)用課本上所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思維，對新概念進(jìn)行深入研究，促使教師把教學(xué)活動的重心放在促進(jìn)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)上，積極探索有利于促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的多樣化教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生在平凡的問題中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的真善美.

表1

3.2 概念教學(xué)要重視生成

教學(xué)實(shí)踐告訴我們，在概念教學(xué)過程中，重視并恰當(dāng)?shù)亟鉀Q好“生成”是新課程所倡導(dǎo)的返璞歸真及努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)的最好抓手.其次，課堂“生成”產(chǎn)生和解決是培養(yǎng)學(xué)生能力的重要平臺.課堂“生成”的基本特質(zhì)就是“提出問題”和“解決問題”．這個過程更側(cè)重的是人的能力的培養(yǎng)．知識是會遺忘，能力卻是永恒的.再次，重視生成的課堂才是本真的課堂.課堂上由于每個個體知識、閱歷、認(rèn)知水平等方面的差異性，使得學(xué)生們對同一個問題有不同的思考與認(rèn)知，由此會產(chǎn)生不同的“生成”．當(dāng)學(xué)生并不完全行走在教學(xué)預(yù)設(shè)的軌道上時，師生進(jìn)行互動調(diào)整，積極利用生成的教學(xué)資源，這是一種本真的課堂，是一種以人為本的課堂．概念教學(xué)只有重視生成，學(xué)生就會嘗試用自己的語言闡釋數(shù)學(xué)概念， 結(jié)合文字、符號、圖形或表格等多種語言來描述概念.反之，如果一堂概念教學(xué)新授課只有預(yù)設(shè)，而無生成，那么數(shù)學(xué)課堂改革對培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的意義將不復(fù)存在.課堂要真正還給學(xué)生，必須要讓預(yù)設(shè)與生成形成有機(jī)統(tǒng)一，這樣才能真正打造出更加真實(shí)和精美的課堂．

3.3 概念教學(xué)要突出思維

培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是概念教學(xué)的靈魂.概念教學(xué)要突出思維，首先要重視數(shù)學(xué)概念具體化.在具體化世界，個體通過對外部世界的感知和操作認(rèn)識事物，教學(xué)中要將概念與具體情境聯(lián)系在一起．具體化圖形演示可以促進(jìn)學(xué)生對相關(guān)知識的認(rèn)知，提高教學(xué)高效性．根據(jù)函數(shù)概念發(fā)展的抽象性，教師可以利用動態(tài)幾何軟件演示函數(shù)的概念源于運(yùn)動，本質(zhì)是對應(yīng)關(guān)系，對比初中函數(shù)的概念定義，高中階段選擇集合語言描述更加科學(xué)，并借助精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言，進(jìn)一步幫助學(xué)生深刻理解函數(shù)的定義.因此，隨著數(shù)學(xué)內(nèi)容變得越來越復(fù)雜，由具體化向符號化的轉(zhuǎn)化是必要的．其次，要抓住概念的本質(zhì).在中學(xué)階段，函數(shù)概念幾經(jīng)擴(kuò)充已經(jīng)建立起來.教師所做的工作是進(jìn)一步深化、揭示它的本質(zhì).應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，函數(shù)三大要素之間所必須滿足的條件:定義域集合中的任一個元素x，通過對應(yīng)關(guān)系f，在值域集合中有唯一確定的一個元素y和它對應(yīng)，只有這樣，y才是x的函數(shù).在這里唯一確定性是至關(guān)重要的.我們還必須指出對應(yīng)關(guān)系f的形式是次要的.不管它具有怎樣的具體形式，只要滿足構(gòu)成函數(shù)的條件即可.只有這樣，我們才能更有效地培養(yǎng)學(xué)生把握全局、抓主要矛盾的能力，才能在紛繁復(fù)雜的學(xué)習(xí)過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的內(nèi)在本質(zhì)，進(jìn)一步提升學(xué)生思維水平.教育應(yīng)該是一種慢藝術(shù)，缺乏思維空間的學(xué)習(xí)，正如缺乏空氣、缺乏水份的植物，怎會生長出讓人賞心悅目的美景？我們必須要從突出思維的角度開展概念教學(xué).

本文所闡述的“備課三步曲”——“打地基、搭框架、精裝修”，其實(shí)就是撰寫出教學(xué)設(shè)計(jì)的三個流程，經(jīng)歷了自我理解、科學(xué)設(shè)計(jì)、精致優(yōu)化的過程.唯有深入備課，方能“淺出”一份高質(zhì)量的教案；唯有課前教師的深入，方能在課堂上庖丁解牛般游刃有余的“淺出”.深入淺出，既要做到入乎其內(nèi)，還要出乎其外.每一步都是一次自我歷練和提升的過程，教師的專業(yè)素養(yǎng)和教學(xué)智慧必將得到很大提升.當(dāng)然，再好的設(shè)計(jì)還要到教學(xué)實(shí)施中接受檢驗(yàn)，需要實(shí)踐后進(jìn)行反思再優(yōu)化.