中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中問題設(shè)置的分析與啟示

王 嶸 王翠巧

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

問題在數(shù)學(xué)中的重要性不言而喻.最新課程文件《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》[1]首次明確了數(shù)學(xué)課程的“四能”：從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力.那么教科書中關(guān)于問題及問題能力構(gòu)建的情況如何呢？為此，我們從教科書中問題設(shè)置數(shù)量的歷史性變化入手，分析問題設(shè)置的變化以及新變化帶來的學(xué)習(xí)機會，以期在義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書修訂之際，為數(shù)學(xué)教科書中的問題設(shè)置及問題能力構(gòu)建提供一些有益的啟示與建議.

1 問題設(shè)置的歷史變化

對于基礎(chǔ)教育課程，2000年是教學(xué)大綱向課程標(biāo)準(zhǔn)的變化節(jié)點.鑒于此，通過統(tǒng)計人教版九十年代和2000年之后共三個版本的中學(xué)數(shù)學(xué)教科書[2-7]中的問題數(shù)量，我們發(fā)現(xiàn)初中教科書中問題的數(shù)量逐套減少，而高中教科書中問題的數(shù)量逐套增加.為了進一步了解問題數(shù)量變化之處，根據(jù)問題在教科書中所處的位置，我們又將教科書劃分為正文和習(xí)題部分，而正文又進一步劃分為知識講解和例題部分，這三部分的問題數(shù)量統(tǒng)計數(shù)據(jù)如圖1和圖2所示.

圖1

圖2

可以看到，無論是初中還是高中，九十年代教科書中的問題，基本就是題目，其中又以習(xí)題，即用于學(xué)生練習(xí)的題目為主，比重達到了81%；2000年以后，習(xí)題的比重下降了近20%，而知識講解部分比重增加了近20%.

事實上，作為教科書主體問題的例題和習(xí)題，因其在知識學(xué)習(xí)和能力培養(yǎng)方面的重要價值，一直是我國數(shù)學(xué)教科書的特色之一，而教師由教科書中的眾多經(jīng)典例題和習(xí)題出發(fā)編制變式問題進行教學(xué)，也成為我國中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的特色之一[8].如今，與以往教科書相比，在2000年后的中學(xué)教科書中，問題不僅是例題和習(xí)題，知識講解部分增加了大量的新問題.那么這些新問題作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的載體，它們?yōu)閿?shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了哪些機會，又從哪些角度培養(yǎng)了數(shù)學(xué)能力呢？

2 新問題及其類型的分析

數(shù)學(xué)問題能夠把學(xué)生的注意力引向特定的學(xué)習(xí)內(nèi)容，促使他們積極思考、理解和運用數(shù)學(xué).不同認(rèn)知要求的問題往往會帶來不同的學(xué)習(xí)機會，而高認(rèn)知要求的問題需要學(xué)生進行有聯(lián)系、綜合地思考.教科書中的知識講解本身就是一個新知識學(xué)習(xí)的過程，那么知識講解中的問題必然承擔(dān)著為學(xué)生提供學(xué)習(xí)機會的任務(wù).因此，我們采用從一個問題所提供的學(xué)習(xí)機會角度對問題進行分類，將知識講解中的問題分為兩種機會五種類型：如果是讓學(xué)生擁有一項知識，根據(jù)認(rèn)知水平，分為了解和理解兩類；如果是讓學(xué)生經(jīng)歷一個思維過程，根據(jù)思維方式，分為抽象與概括、探究與發(fā)現(xiàn)、反思與歸納三類.

根據(jù)這種分類方法，我們從類型分布和知識領(lǐng)域分布兩個角度分別統(tǒng)計了現(xiàn)行中學(xué)教科書[4][7]中這五類問題的數(shù)量，來分析新問題為學(xué)生提供學(xué)習(xí)機會的情況.

2.1 知識講解部分問題的類型分布

圖3是初中和高中知識講解部分中不同類型問題數(shù)量的百分比，可以發(fā)現(xiàn)初中階段了解和理解并重，高中階段更加注重知識的理解；同時，初高中都很注重讓學(xué)生去探索與發(fā)現(xiàn).

圖3

具體到每一類，在初中，探索與發(fā)現(xiàn)占比最高，將近40%，其次是了解和理解，這三者之和占比約85%；在高中，探索與發(fā)現(xiàn)、理解的占比幾乎一樣高，這兩者占比達到了70%.同時，無論是初中還是高中，反思與歸納占比都最低，分別為3%和6%.

2.2 知識講解部分問題類型的知識領(lǐng)域分布

圖4和圖5分別是初中和高中知識講解部分問題在不同知識領(lǐng)域的數(shù)量百分比.結(jié)合各個領(lǐng)域的課時量，四個知識領(lǐng)域中問題數(shù)量的分布很均衡，每課時約2個問題.

圖4

圖5

在初中階段，函數(shù)和概率統(tǒng)計領(lǐng)域為擁有知識和經(jīng)歷思維過程提供了幾乎同等的學(xué)習(xí)機會，而代數(shù)和幾何領(lǐng)域為經(jīng)歷思維過程提供了更多的學(xué)習(xí)機會；四個領(lǐng)域為經(jīng)歷思維過程提供的學(xué)習(xí)機會，主要都是探究與發(fā)現(xiàn)，尤其是概率統(tǒng)計，“經(jīng)歷思維過程”就是探究與發(fā)現(xiàn)，幾乎沒有抽象與概括、反思與歸納.

在高中階段，函數(shù)和幾何領(lǐng)域為擁有知識和經(jīng)歷思維過程提供了幾乎同等的學(xué)習(xí)機會，而代數(shù)和概率統(tǒng)計領(lǐng)域則為擁有知識提供了更多的學(xué)習(xí)機會，特別是代數(shù)領(lǐng)域；函數(shù)領(lǐng)域更加偏重探索與發(fā)現(xiàn)，代數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計中理解、探究與發(fā)現(xiàn)并重.

總的來說，初中階段的四個領(lǐng)域一致偏愛探究與發(fā)現(xiàn)；高中階段，代數(shù)領(lǐng)域更偏愛擁有知識，而函數(shù)領(lǐng)域?qū)碛兄R和經(jīng)歷思維過程則同等對待.

3 問題設(shè)置的啟示與建議

問題及問題能力培養(yǎng)一直是我國數(shù)學(xué)課程的關(guān)注點.相應(yīng)地，教科書編者也在培養(yǎng)學(xué)生問題能力方面不斷地做出努力，從例題、習(xí)題到知識講解部分新問題的設(shè)置.可以說，在問題設(shè)置上，教科書已經(jīng)發(fā)生了巨大的變化，這種變化給我們帶來了一些啟示，同時由于這種變化比較新，需要未來教科書編寫研究的關(guān)注和完善，我們也提出一些相關(guān)的建議.

3.1 啟示

(1)教科書的新特征：問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)

近三十多年來，教科書中問題的分布和關(guān)注點在改變.九十年代及以前，問題基本上就是題目——例題和習(xí)題，教科書示范如何解決問題和為學(xué)生提供解決問題的機會；2000年以后，問題遍布了教科書的各個角落，特別是知識講解部分，增加了大約500個問題，這些問題為學(xué)生提供了與擁有知識同等比重的經(jīng)歷思維過程的機會，即讓學(xué)生知道如何去思考.

從初中到高中教科書的知識講解部分，四個知識領(lǐng)域中問題數(shù)量的分布也很均衡，大約都是每課時2個問題；而且呈現(xiàn)問題的方式比較多樣化，既有專門的問題欄目，如“觀察”“思考”“探究”“歸納”，又有穿插于正文的問題和作為旁注的思考小貼士.這都說明“問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”已經(jīng)成為2000年后教科書的一個較為穩(wěn)定又顯著的特征.

(2)豐富的問題類型：提供多種學(xué)習(xí)機會

知識講解部分的問題，不僅類型豐富，而且每一類型下又有各種不同的表現(xiàn)形式.其中，很多形式的問題改變了我們對教科書的固有認(rèn)識，讓我們意識到問題可以很豐富，理解和做數(shù)學(xué)的方式可以多樣化，而且多種學(xué)習(xí)機會還可以滿足不同水平學(xué)生的需求.

例如在理解型問題中，教科書有兩種特別的表現(xiàn)形式：舉例說明和多元表示(意義)之間的解釋和轉(zhuǎn)換.對于前者，教科書在給出一個概念后，要求學(xué)生舉各種例子：數(shù)學(xué)例子和實際例子，正例和反例.例如集合知識講解部分有4個這類問題，“舉幾個空集的例子”“舉例說明，用自然語言、列舉法和描述法表示集合時各自的特點”等. 舉例說明的一個好處是學(xué)生為了給出適切的例子，就需要思考“概念的內(nèi)涵是什么”，有助于概念的理解.對于后者，隨著年級的上升，這種多元表示(意義)之間的解釋和轉(zhuǎn)換的要求越來越多，特別是高中后期，在學(xué)習(xí)解析幾何、向量、復(fù)數(shù)、概率統(tǒng)計時，這類問題很常見，“聯(lián)系地”學(xué)習(xí)成為一種常態(tài).

再如在探究與發(fā)現(xiàn)型問題中，有這樣一類問題，它們通常出現(xiàn)在教科書的節(jié)引言中，例如問題“同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示，類似地，平面內(nèi)任一向量是否可以由同一平面內(nèi)的兩個不共線向量表示呢？”，我們認(rèn)為這是一個“大問題”，即可以引出或分解成幾個問題，產(chǎn)生一些新知識或方法，具有一定的延展性.類似于這樣的大問題，可能會為有能力的學(xué)生打開自主探究的一扇門，另辟蹊徑，突破教科書已有的學(xué)習(xí)路線.

3.2 建議

雖然問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)成為教科書的一項特征，但是問題類型的分布存在差異，特別是有的問題類型在某些領(lǐng)域中就沒有；而且，研究過程中分析問題時，有些現(xiàn)象也讓我們感到困惑，例如，某些問題在教科書中似乎并沒有起到引導(dǎo)思考的作用等.因此，我們認(rèn)為無論是問題類型的分布還是問題本身，都需要進一步精致化.

(1)問題設(shè)置：一種系統(tǒng)的規(guī)劃

數(shù)學(xué)教科書中知識講解部分的問題，需要一個系統(tǒng)的考慮.就像教科書中的習(xí)題有不同的層次一樣，各類問題的比例也需要一種系統(tǒng)規(guī)劃.我們認(rèn)為至少可以考慮如下兩點：一是調(diào)整某些問題類型的占比，比如初中教科書中“探究與發(fā)現(xiàn)”型占比近50%，“反思與歸納”型占比才3%.每一種類型對學(xué)生的思維有不同的作用，帶給學(xué)生的學(xué)習(xí)機會也不同，就像反思與歸納，既是提高問題解決能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，也有助于問題提出能力的培養(yǎng).因此，各種類型問題的占比需要系統(tǒng)考慮，就目前狀況而言，反思與歸納型問題、抽象與概括型問題需要加強.二是突破某些知識領(lǐng)域中問題類型的空白，比如初中概率統(tǒng)計領(lǐng)域中幾乎沒有抽象與概括、反思與歸納，高中代數(shù)領(lǐng)域幾乎沒有抽象與概括.雖然知識領(lǐng)域?qū)τ趩栴}類型的偏好和知識的特點有一定的關(guān)系，但是偏好到幾乎空白的程度仍然是不恰當(dāng)?shù)?因此，各個知識領(lǐng)域也需要系統(tǒng)考慮問題的類型，以實現(xiàn)合理配比.

(2)問題設(shè)置：提升問題的有效性

在教科書中，有些問題似乎是為了引出下文，而不是在于引發(fā)學(xué)生的思考，例如，緊隨問題“怎樣判斷直線與平面平行呢？”之后就是“根據(jù)定義，判定直線與平面是否平行，只需要判定直線與平面有沒有公共點”.類似于這種自問自答方式下的問題，我們感覺更多地是改變平鋪直敘的行文方式，至多激發(fā)學(xué)生的一點興趣，并不能為學(xué)生提供充分的思考機會，沒有充分發(fā)揮知識講解部分“問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”的作用.因此，類似于這種問題，我們建議改變問題的呈現(xiàn)方式，提升問題的有效性，以保持教科書問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)特征的一貫性.