基于VMD-Teager的非平穩(wěn)振動時頻特性研究

李占龍,劉林霞,李 虹,孫 寶,曹俊琴

(1.太原科技大學 機械工程學院，太原 030024； 2.太原科技大學 電子信息工程學院，太原 030024；3.太原科技大學 應用科學學院，太原 030024)

大型特種車輛因工況復雜、工作環(huán)境多變等因素，在行駛過程中必然引起強烈的振動，不僅會對車輛的關鍵部件造成損傷，更會直接影響駕駛?cè)藛T的舒適性。因此，對車輛振動特性的研究是十分有必要的。在振動信號采集過程中常受其他信號的干擾，最終采集的信號多為復雜非平穩(wěn)振動信號，給信號處理及振動特性分析增加了難度。因此，如何對非平穩(wěn)振動信號有效分解并提取其有用成分，是亟待深入研究的問題。

針對此類機械設備中的非平穩(wěn)振動信號，許多學者做了大量研究。張俊紅等[1]采用經(jīng)驗模態(tài)分解(Empircical Mode Decomposition，EMD)對柴油機機體振動信號進行分解，并以分解后分量經(jīng)小波時頻變換得到的時頻分析結果為依據(jù)對柴油機結構進行優(yōu)化，最終整機振動強度明顯降低。李小珍等[2]利用傳統(tǒng)小波變換研究高速鐵路軌道、橋梁等位置的振動傳遞特性，得出了不同位置振動響應與車速間的關系。賈繼德等[3]將同步壓縮小波變換(SWT)與短時傅里葉變換(STFT)、連續(xù)小波變換(CWT)等方法作比較，結果表明，SWT對信號的重構效果均優(yōu)于其他方法，最后將其應用到發(fā)動機振動信號分析中，有效揭示了發(fā)動機磨損信號的變化規(guī)律。

2014年，國外學者K.Dragomiretskiy等[4]提出了一種新的自適應非平穩(wěn)信號處理方法—變分模態(tài)分解(Variational mode decomposition,VMD)，VMD克服了EMD分解存在的模態(tài)混疊等問題，且不涉及類似小波變換中小波基函數(shù)的選擇問題。近年來越來越多的學者將其應用于眾多領域的信號分析中[5-8]。文獻[9-10]將VMD分別應用于銑削加工顫振檢測和滾動軸承振動狀態(tài)監(jiān)測中，成功實現(xiàn)了顫振檢測提取和軸承運行狀態(tài)的特征提取。由于在求解信號的瞬時頻率時，Teager能量算子不需做復數(shù)計算，響應快，可快速跟蹤瞬時變化信號的頻率和幅值，與Hilbert變換相比，對揭示瞬時頻率的突變情況有很好的效果，且Teager能量算子解調(diào)比Hilbert解調(diào)能力強[11]，許多學者選擇Teager能量算子對分解后分量進行解調(diào)。馬增強、徐波等人將變分模態(tài)分解和Teager能量算子結合成功應用到滾動軸承和重型機械設備的故障特征提取中[12-13]。

本研究采用VMD與Teager能量算子解調(diào)結合對3種典型非平穩(wěn)振動信號進行分析，通過VMD對非平穩(wěn)振動信號進行分解，并利用Teager能量算子解調(diào)作時頻分析，以研究該類信號的時頻特性。

1 理論方法

1.1 變分模態(tài)分解

VMD算法實質(zhì)是基于經(jīng)典維納濾波、希爾伯特變換和混頻理論，在變分框架中解決復雜信號分解的變分問題求解過程。通過搜尋約束變分模型最優(yōu)解來實現(xiàn)信號自適應分解，將一個實信號f分解為K個帶寬有限的模態(tài)，并得到每個模態(tài)的帶寬和對應的中心頻率。

VMD將分解得到的每個模態(tài)(即本征模態(tài)函數(shù)IMF)重新定義為一個調(diào)幅調(diào)頻信號，表達式如下：

uk(t)=Ak(t)cos[φk(t)]

(1)

為確定每個模態(tài)的帶寬，需構造變分模型，步驟如下：

1) 對每個模態(tài)uk(t)進行希爾伯特(Hilbert)變換，得到模態(tài)函數(shù)的解析信號：

(2)

2) 對得到的解析信號乘以指數(shù)項e-jωkt，可調(diào)整估計的中心頻率，將對應的頻譜調(diào)制到相應的基頻帶：

(3)

3) 對式(2)中的解調(diào)信號先進行H1高斯平滑估計，通過計算其梯度的平方L2范數(shù)，最終得到估計的各模態(tài)分量帶寬。約束變分模型表達式如下：

(4)

式(4)中，{uk}={u1,…,uk}為分解得到的k個IMF分量；{ωk}={ω1,…,ωk}代表各IMF分量對應的中心頻率；f為原始信號。

為求取上述約束變分模型的最優(yōu)解，即各個模態(tài)函數(shù)，引入二次懲罰因子α和拉格朗日乘法算子λ(t)，構造如下形式的Lagrange表達式：

(5)

(6)

利用在L2范數(shù)下的Parseval/Plancherel傅里葉等距變換法,將式(6)變換到頻域中，其表達式為

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

迭代停止條件為

(12)

其中，判定精度ε>0。

圖1 VMD算法流程框圖

1.2 基于互信息準則的VMD分解個數(shù)的確定

利用VMD算法對信號作分解時，需提前設定懲罰因子α和模態(tài)分解個數(shù)K的值。本文中懲罰因子α根據(jù)參考文獻[11]取2 000，分解個數(shù)K根據(jù)互信息準則來確定。

互信息(mutual information)可表示兩隨機變量信息熵的差值，即兩隨機變量間的相關程度，其定義如下：

I(M|N)=H(M)-H(M|N)

(13)

式中,M、N為兩個不同的隨機變量；H(M)為M的信息熵；H(M|N) 為N對應M的條件信息熵。對上述互信息作歸一化處理Ii/max(Ii)，通過比較歸一化后的互信息值與閾值0.02[14]的大小，以確定VMD算法分解個數(shù)K。

1.3 Teager能量算子解調(diào)

Teager能量算子是一種非線性差分算子，時間分辨率高，計算過程簡單快速，可及時跟蹤信號的波形變化，經(jīng)常用于信號解調(diào)分析中[15]。對實信號經(jīng)VMD得到的各IMF分量作Teager能量算子解調(diào)，計算各分量的瞬時頻率和瞬時幅值，通過得到的實信號時頻分布信息繪制二維時頻圖來作時頻分析。

對于連續(xù)時間信號和離散信號，Teager能量算子的定義分別如下：

(14)

ψ[s(n)]=s2(n)-s(n+1)s(n-1)

(15)

式中，s(n)為原始離散時間信號。

由式(15)可知，離散時間信號每一時刻算子的計算量小，只需3個樣本數(shù)據(jù)即可。通過式(16)可求出單分量調(diào)幅調(diào)頻信號的瞬時頻率和瞬時幅值[11]：

(16)

1.4 VMD-Teager時頻分析法

文中采用的VMD-Teager方法流程圖如圖2所示。首先利用VMD方法對原始非平穩(wěn)振動信號進行分解，再將分解得到的各IMF分量作Teager能量算子解調(diào)，得到各分量的瞬時頻率和瞬時幅值，進而作時頻分析。

2 算例分析

現(xiàn)場采集的機械設備振動信號普遍存在強脈沖干擾和背景噪聲，某些旋轉(zhuǎn)機械結構和往復做功機械結構均存在間斷性信號。為研究VMD-Teager方法對典型非平穩(wěn)振動信號的有效性，構造了分別含噪聲、間斷和脈沖干擾信號的3組典型非平穩(wěn)振動信號，對比研究了VMD和EMD方法的分解能力，并對各分量作Teager能量算子解調(diào)，對其時頻分析以進一步評價VMD-Teager方法的有效性。

圖2 VMD-Teager時頻分析法流程框圖

2.1 含噪聲非平穩(wěn)振動信號分析

振動信號f1(t)(含噪聲)由調(diào)幅信號f11(t)、調(diào)幅調(diào)頻信號f12(t)和隨機噪聲f13(t)組成，圖3為f1(t)時域圖。圖4為f1(t)分別經(jīng)EMD和VMD方法分解得到的圖形。

(17)

由圖4(a)可知：EMD將信號分解為8個分量，IMF1的幅值和周期分別約為0.9和0.2 s，與f12(t)對應，IMF2在0.4～0.75 s特征與f11(t)相符，但其他時間段波形出現(xiàn)缺失，IMF3～IMF5包含正弦信號，但未明顯觀察出其與f1(t)各組分特征相似，對比圖3原始信號失真嚴重；由圖4(b)可知VMD分解得到3個分量，IMF1的幅值和周期分別約為0.6和0.2 s，與f11(t)的特征相符，IMF2的幅值和周期分別約為0.9和0.2 s，與f12(t)對應，IMF3波形無明顯規(guī)律，與隨機噪聲信號f13(t)對應，可將原始信號f1(t)有效準確分解。

綜上可知：EMD得到的分量個數(shù)較多且存在虛假分量，而VMD可將含噪聲非平穩(wěn)振動信號準確分解，因此，VMD對含噪聲非平穩(wěn)振動信號的分解效果優(yōu)于EMD。下文通過比較VMD與f1(t)的頻譜圖以進一步驗證VMD的有效性。

表1為信號f1(t)經(jīng)VMD方法分解前后頻率和幅值的對比。由表1可知，信號f1(t)經(jīng)VMD方法分解后頻率成分未發(fā)生變化，各頻率成分幅值變化范圍為0.2%～1.6%，進一步說明VMD對含噪聲非平穩(wěn)振動信號具有良好的分解效果。

圖3 非平穩(wěn)振動信號f1(t)及其分量的時域圖

圖4 信號f1(t)的兩種分解圖

表1 信號f1(t)分解前后頻率幅值對比

2.2 含間斷信號非平穩(wěn)振動信號分析

非平穩(wěn)振動信號f2(t)(含間斷信號)由正弦信號f21(t)、線性調(diào)頻信號f22(t)和間斷信號f23(t)組成，圖5為f2(t)的時域圖，圖6為f2(t)經(jīng)EMD和VMD方法分解得到的圖形。

(18)

圖5 非平穩(wěn)振動信號f2(t)及其分量的時域圖

由圖6(a)可知：EMD將信號分解為6個分量，IMF1幅值與f21(t)相符，但在間斷信號f23(t)存在的時候出現(xiàn)了信號失真，IMF2、IMF3的特征對應間斷信號f23(t)，其余分量特征與f2(t)中各信號不符，為虛假分量，對比圖5原信號失真嚴重；由圖6(b)可知VMD分解得到3個分量，其中IMF1與線性調(diào)頻信號f22(t)對應，幅值約為0.8，IMF2、IMF3分別對應正弦信號f21(t)和間斷信號f23(t)，可將原始信號有效準確分解。表2為信號f2(t)經(jīng)VMD方法分解前后頻率和幅值的對比。由表2可知，信號f2(t)經(jīng)VMD方法分解前后頻率成分未變，幅值發(fā)生0.2%～1.2%的變化。綜上，VMD方法不受間斷信號的干擾，可將含間斷信號的非平穩(wěn)振動信號f2(t)有效分解。

圖6 信號f2(t)的兩種分解圖

表2 信號f2(t)分解前后頻率幅值對比

2.3 含脈沖信號非平穩(wěn)振動信號分析

振動信號f3(t)(含脈沖干擾信號)由兩個正弦信號f31(t)、f32(t)和脈沖干擾信號f33(t)組成，其時域圖如圖7所示。圖8為f3(t)EMD和VMD得到的。

(19)

圖7 非平穩(wěn)振動信號f3(t)及其分量的時域波形

圖8 信號f3(t)的兩種分解結果

由圖8(a)可知：EMD將信號分解為6個分量，IMF1與正弦信號f32(t)特征相符，但IMF1受脈沖信號影響較大，導致其波形失真，EMD的其余分量部分特征與f3(t)中各組分特征相符，但各分量間模態(tài)混疊現(xiàn)象嚴重，對比圖7原始信號失真嚴重；由圖8(b)可知：VMD分解得到3個分量，IMF1與f31(t)特征相符，IMF3與脈沖信號f33(t)對應，幅值出現(xiàn)了一定程度的失真。表3為信號f3(t)經(jīng)VMD方法分解前后頻率和幅值的對比。由表3知，f3(t)經(jīng)VMD方法分解前后頻率成分未發(fā)生變化，幅值變化范圍為0～1%，基本可忽略。綜上，VMD方法對含脈沖非平穩(wěn)振動信號的分解效果比EMD方法好，可將此類非平穩(wěn)振動信號中各組分有效分解。

表3 信號f3(t)分解前后頻率幅值對比

同時，利用EEMD對上述三類信號進行了分解，對比結果顯示，EEMD可抑制EMD的模態(tài)混疊，但依然存在算法效率低、分解個數(shù)過多和精度不足的弊端，限于篇幅，本文不做贅述。綜上，VMD分解個數(shù)可進行優(yōu)化，對3種典型非平穩(wěn)振動信號的分解效果均較理想，后文將對VMD的分量作Teager能量算子解調(diào)以進行時頻分析。

3 時頻域分析

對上述3組典型非平穩(wěn)振動信號經(jīng)VMD得到的IMF分量作Teager能量解調(diào)，通過計算所得的瞬時頻率和瞬時幅值繪制二維時頻圖，最后分析頻率隨時間變化的規(guī)律以驗證VMD-Teager方法的有效性。三組典型非平穩(wěn)振動信號的二維時頻圖如圖9所示。

從圖9(a)可以看出：f1(t)的3個分信號的中心頻率56、153、362 Hz被清晰的刻畫出來，其中隨機噪聲f13(t)對應的362 Hz頻率隨時間變化無明顯規(guī)律，與噪聲信號的特征相符；圖9(b)中100 Hz的間斷信號f23(t)在0.2～0.28 s、0.4～0.48 s、0.6～0.68 s和0.8～0.88 s出現(xiàn)，45 Hz的頻率對應正弦信號f21(t)，線性調(diào)頻信號f22(t)也清晰可見；圖9(c)中正弦信號f31(t)、f32(t)分別對應的中心頻率10 Hz、60 Hz 及其邊頻帶清晰可辨，同時在0.25 s、0.45 s、0.65 s、0.85 s處脈沖信號f33(t)也對應出現(xiàn)。綜上可知，VMD方法對3種典型非平穩(wěn)振動信號的分解效果顯著，經(jīng)Teager能量算子解調(diào)作時頻分析可清晰揭示信號的瞬時頻率和幅值隨時間變化的規(guī)律。因此，采用VMD-Teager方法對非平穩(wěn)振動信號作時頻分析效果良好。

圖9 三組非平穩(wěn)振動信號的二維時頻圖

4 結論

針對非平穩(wěn)振動時變信號，提出了基于變分模態(tài)分解(VMD)與Teager能量算子解調(diào)的時頻分析法，并對比研究了對三類典型振動信號(含噪聲、沖擊和間斷信號)的分解能力，利用Teager算子對分解的IMF分量解調(diào)，獲得包含瞬時頻率和瞬時幅值的時頻圖。相關結論如下：

1) 較EMD方法，基于互信息準則優(yōu)化的VMD對典型非平穩(wěn)振動信號的分解精確，抗混疊能力強，分解效果理想。

2) 利用Teager算子對VMD分解的IMF分量解調(diào)，獲得包含瞬時頻率和瞬時幅值的時頻圖，可清晰刻畫出原始信號的中心頻率，有效揭示振動信號的局部時-頻關系，包括噪聲、沖擊和間斷干擾信號的規(guī)律特征。

3) 下一步研究將探討VMD-Teager時頻分析法在復雜機械結構振動控制和故障診斷等領域的應用。