怎樣比較冪函數(shù)式的大小

朱慧

比較冪函數(shù)式的大小問題側重于考查冪函數(shù)的性質(zhì)、圖象、以及指數(shù)冪的運算法則.此類問題的難度一般不大，但對同學們的運算能力要求較高.常見的比較冪函數(shù)式的大小問題有三種類型：比較同底數(shù)冪函數(shù)式的大小、比較同指數(shù)冪函數(shù)式的大小、比較不同底和不同指數(shù)的冪函數(shù)式的大小.下面我們結合實例來探討一下這三類比較冪函數(shù)式的大小問題的解法.

一、比較同底數(shù)冪函數(shù)式的大小

若兩個冪函數(shù)式具有相同的底數(shù)，則需根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通過分類討論來比較其大小.①若底數(shù)比1大，函數(shù)式的大小會隨著指數(shù)的增大而增大；②若指數(shù)大于0，但小于1，函數(shù)式的大小會隨指數(shù)的增大反而變小；③若底數(shù)為負數(shù)，則需借助指數(shù)的奇偶性，通過化簡，將其轉化為上述兩類問題進行求解.此外，還可以運用作商法來進行求解.首先將兩個冪函數(shù)式化為同底數(shù)冪，并相除，底數(shù)不變，將指數(shù)相減，進而將所得的商與1相比較.

二、比較同指數(shù)冪函數(shù)式的大小

對具有相同指數(shù)的冪函數(shù)式，在比較大小時可以其底數(shù)為切入點進行解題.若底數(shù)大于0且小于1，則底數(shù)越小，函數(shù)式越大；若底數(shù)大于1，則底數(shù)越大，函數(shù)式越大.若用上述思路無法解題，則可采用作商法求解，首先對冪函數(shù)式進行化簡，作商后將所得的結果與1進行比較，進而比較出兩個冪函數(shù)式的大小.

解法一主要運用了作商法，解法二主要運用了作差法.無論是運用作商法還是作差法來比較兩個冪函數(shù)式的大小，都需靈活運用指數(shù)冪運算的法則和性質(zhì).

比較同底數(shù)冪函數(shù)式的大小、比較同指數(shù)冪函數(shù)式的大小、比較不同底和指數(shù)的冪函數(shù)式的大小是三種常見的題目.相比較而言，比較不同底、不同指數(shù)的冪的大小問題的難度較大，因此在比較兩個冪函數(shù)式的大小時，同學們要先仔細觀察、比較冪函數(shù)式的底數(shù)、指數(shù)，并進行適當?shù)淖冃?，將其轉化為同底數(shù)冪或同指數(shù)冪的函數(shù)式，以便運用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)快速求得結果.

（作者單位：江蘇省南通市海門證大中學）